Теорема релятивистского сложения для скоростей

Теорема релятивистского сложения для скоростей говорит, как должна определяться скорость объекта в определенной системе отсчета, если объект движется со скоростью относительно второй системы отсчета, которая сама движется со скоростью относительно первой . Теорема может быть получена из преобразования Лоренца для инерциальных систем, движущихся друг относительно друга . ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} '}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

В классической механике скорости складываются векторно ( ) и поэтому не имеют верхнего предела. Но поскольку, согласно специальной теории относительности, скорость объекта не может превышать скорость света , классические уравнения могут быть только приближением. Различия становятся заметными, когда одна или обе добавляемые скорости перестают быть пренебрежимо малыми по сравнению со скоростью света. ${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} '+ {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle c}$

Релятивистская теорема сложения скоростей подтверждена измерениями.

определение

Диаграмма для релятивистского сложения выпрямленных скоростей и в каждом случае выражена в долях скорости света (пояснения см. В тексте статьи). Контурные линии также показывают нормированную результирующую скорость (градация изменена на ). Чем больше две начальные скорости , тем больше результат отклоняется от арифметического сложения: итоговая скорость также не будет превышать скорость света.${\ displaystyle u_ {x} '}$${\ displaystyle v,}$
${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle u_ {x},}$${\ displaystyle c}$
${\ displaystyle {\ tfrac {u_ {x}} {c}}> 0 {,} 9}$

Наблюдатель движется к наблюдателю со скоростью в направлении оси. Для наблюдателя тело движется со скоростью u ' Тогда это тело имеет скорость с составляющими для наблюдателя${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle = (u_ {x} ^ {\ prime}, u_ {y} ^ {\ prime}, u_ {z} ^ {\ prime}) \,.}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$

${\ displaystyle u_ {x} = {\ dfrac {u_ {x} '+ v} {1 + {\ dfrac {u_ {x}' \, v} {c ^ {2}}}}} \ qquad \ qquad \ Leftrightarrow {\ dfrac {u_ {x}} {c}} = {\ dfrac {{\ dfrac {u_ {x} '} {c}} + {\ dfrac {v} {c}}} {1+ { \ dfrac {u_ {x} '} {c}} \ cdot {\ dfrac {v} {c}}}}}$

${\ displaystyle u_ {y} = {\ dfrac {u_ {y} '{\ sqrt {1- \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}} {1+ { \ dfrac {u_ {x} '\, v} {c ^ {2}}}}} = u_ {y}' \, {\ dfrac {1} {\ gamma \ left (1 + {\ dfrac {u_ { x} '\, v} {c ^ {2}}} \ right)}}}$

${\ displaystyle u_ {z} = {\ dfrac {u_ {z} '{\ sqrt {1- \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2}}}} {1+ { \ dfrac {u_ {x} '\, v} {c ^ {2}}}}} = u_ {z}' \, {\ dfrac {1} {\ gamma \ left (1 + {\ dfrac {u_ { x} '\, v} {c ^ {2}}} \ right)}}}$

С участием

• скорость света и${\ displaystyle c}$
• фактор Лоренца (который всегда больше или равно 1)

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}}$

Выраженный без координат: результирующей скорости результатов от простого добавления скоростей и со следующими изменениями: ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} '+ {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

• Скорость меньше в разы .${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {{\ vec {u}} '\ cdot {\ vec {v}}} {c ^ {2}}}}$
• Компоненты скорости, перпендикулярные к , также в разы меньше.${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ gamma}$

интерпретация

Скорости очень малы по сравнению со скоростью света?

${\ displaystyle v \ ll c \ Leftrightarrow {\ frac {v} {c}} \ ll 1 \ ,,}$

знаменатель (а также член под корнем в числителе) практически не отличается от 1

${\ displaystyle \ Rightarrow 1 + {\ frac {u_ {x} '\, v} {c ^ {2}}} \ приблизительно 1 \ ,, \ qquad {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v } {c}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ gamma}} \ приблизительно 1 \ ,,}$

и обычное нерелятивистское сложение скорости дает хорошее приближение:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Rightarrow u_ {x} & \ приблизительно u_ {x} '+ v \\ u_ {y} & \ приблизительно u_ {y}' \\ u_ {z} & \ приблизительно u_ { z} '\ ,. \ end {выровнено}}}$

Пример: в движущемся поезде человек идет в направлении движения относительно поезда. Скорость человека, измеренная наблюдателем, стоящим на набережной , всего на 0,17 нм / ч ниже, чем скорость, полученная простым сложением . Для сравнения: диаметр атома составляет порядка 0,1 нм. Это означает, что «бегун поезда» за час получает почти на два атомных диаметра меньше, чем можно было бы ожидать при нерелятивистских расчетах. В большинстве случаев это незначительно на расстоянии 205 км, особенно потому, что часто игнорируемый закон действительных цифр ограничивает количество значащих цифр. ${\ displaystyle v = 200 \ \ mathrm {км / ч}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle u_ {x} ^ {\ prime} = 5 \ mathrm {км / ч}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle u_ {x}}$${\ displaystyle u_ {x} ^ {\ prime} + v = 205 \ \ mathrm {км / ч}}$

Однако для скоростей, близких к скорости света, есть существенные отклонения от нерелятивистского правила сложения, ср. следующие примеры.

Выводы

Как следствие теоремы сложения, скорость света не может быть превышена даже при наложении двух скоростей.

1-й пример

Будь там

${\ displaystyle v = 0 {,} 75c \ quad}$ и ${\ displaystyle \ quad u_ {x} '= 0 {,} 75c \,.}$

потом

${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {0 {,} 75c + 0 {,} 75c} {1 + 0 {,} 75 \ cdot 0 {,} 75}} = {\ frac {1 {,} 5c} {1 {,} 5625}} = 0 {,} 96c <c}$

а не около 1,5 гр .

2-й пример

Если скорость для наблюдателя такая же, как скорость света, то для наблюдателя она такая же.${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}.}$

Например,

${\ displaystyle u_ {x} '= 0 \ ,, \ quad u_ {y}' = c \ ,, \ quad u_ {z} '= 0 \ ,,}$

затем сдаться

${\ displaystyle u_ {x} = v \ ,, \ quad u_ {y} = c / \ gamma \ ,, \ quad u_ {z} = 0 \,.}$

Так следует

${\ displaystyle {\ sqrt {u_ {x} ^ {2} + u_ {y} ^ {2} + u_ {z} ^ {2}}} = {\ sqrt {v ^ {2} + c ^ {2 } \ left (1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right)}} = {\ sqrt {c ^ {2}}} = c \,.}$

Вывод

Чтобы упростить формулу, все скорости даны как кратные скорости света в натуральных единицах . Тогда время и длина имеют одну и ту же единицу измерения, а безразмерная скорость света равна${\ displaystyle c = 1.}$

Из обратного преобразования Лоренца (замена на - ) ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle t = {\ frac {t '+ v \, x'} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad x = {\ frac {x '+ v \, t' } {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad y = y '\, \ quad z = z'}$

для дифференциалов следует, поскольку преобразование линейно,

${\ displaystyle \ mathrm {d} t = {\ frac {\ mathrm {d} t '+ v \, \ mathrm {d} x'} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {d} x '+ v \, \ mathrm {d} t'} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} \, \ quad \ mathrm {d} y = \ mathrm {d} y '\, \ quad \ mathrm {d} z = \ mathrm {d} z' \,.}$

Следовательно, для скоростей, которые наблюдатель определяет ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

${\ displaystyle u_ {x} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} x '+ v \, \ mathrm {d} t '} {\ mathrm {d} t' + v \, \ mathrm {d} x '}} = {\ frac {{\ frac {\ mathrm {d} x'} {\ mathrm {d} t '}} + v} {1 + v \, {\ frac {\ mathrm {d} x '} {\ mathrm {d} t'}}}} = {\ frac {u_ {x} '+ v} {1 + v \, u_ {x} '}} \,}$

${\ displaystyle u_ {y} = {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} y '{\ sqrt {1-v ^ {2 }}}} {\ mathrm {d} t '+ v \, \ mathrm {d} x'}} = {\ frac {{\ frac {\ mathrm {d} y '} {\ mathrm {d} t' }} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, {\ frac {\ mathrm {d} x '} {\ mathrm {d} t'}}}} = {\ frac {u_ {y} '{\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, u_ {x}'}} \,}$

${\ displaystyle u_ {z} = {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} z '{\ sqrt {1-v ^ {2 }}}} {\ mathrm {d} t '+ v \, \ mathrm {d} x'}} = {\ frac {{\ frac {\ mathrm {d} z '} {\ mathrm {d} t' }} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, {\ frac {\ mathrm {d} x '} {\ mathrm {d} t'}}}} = {\ frac {u_ {z} '{\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1 + v \, u_ {x}'}} \.}$

При разбивке по удаленным переменным получаются следующие отношения:

${\ displaystyle u_ {x} '= {\ frac {u_ {x} -v} {1-v \, u_ {x}}} \, \ quad u_ {y}' = {\ frac {u_ {y} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}} {1-v \, u_ {x}}} \, \ quad u_ {z} '= {\ frac {u_ {z} {\ sqrt {1- v ^ {2}}}} {1-v \, u_ {x}}} \.}$

веб ссылки