Сдвиг (механика)

Окружность круглого стержня, закрученного на угол φ из-за кручения, испытывает деформацию сдвига γ и напряжение сдвига τ.
Квадрат, нарисованный на окружности, будет искажен в параллелограмм из-за кручения.

В механике сдвиг возникает в результате действия пары сил смещения , сдвигающей силы или поперечной силы , на тело и приводит к сдвиговому искажению области между силами. Это означает, что ранее прямоугольная область будет деформирована в параллелограмм , см. Также: Сдвиг (геометрия) . Пара сил также может быть вызвана моментом, действующим на тело . Пара сил, которая лежит на линии, вызывает вместо сдвига штамма является штамм тела.

В то же время, что и деформация сдвига , пара сил создает в материале напряжение сдвига , которое также называют напряжением сдвига . Модуль сдвига описывает размер искажения относительно приложенного напряжения сдвига.

В механике сплошной среды сдвиг и деформация сдвига используются как синонимы, см. Раздел « Кинематика сдвига» .
В технической механике под сдвигом также понимается нагрузка сдвига , см. Раздел « Динамика сдвига» .

Из чистого сдвига используется , когда рассматриваются в плоскости сечения не нормальные штаммы или нет нормальных напряжений возникают.

Сдвиг возникает, среди прочего, при кручении, как показано на рисунке, или при поперечной силовой нагрузке на балки , но он также существенен в вязких жидкостях ( жидкостях или газах ).

вступление

Сдвиг жидкостей и газов рассматривается в отдельном разделе ниже.

Макроскопическое наблюдение

Сдвиг тела (серый) двумя силами, действующими параллельно друг другу в противоположных направлениях (красный)

Две силы, действующие на тело и действующие параллельно друг другу в противоположных направлениях, вызывают сдвиг тела и поэтому называются поперечными силами , см. Рисунок. В случае кручения поверхности, лежащие параллельно друг другу, скручиваются друг относительно друга, что также представляет собой сдвиг, см. Вводную картинку выше. Длина объекта и его поперечное сечение в идеале остаются неизменными. Срезающие силы всегда действуют по касательной к поверхности тела. Типичные примеры сил сдвига возникают в заклепках и болтовых соединениях, см. Сдвиг (статика) . Режущие кромки ножниц разделяют материал, который нужно разрезать, срезанием ( резка ножницами ).

Микроскопическое наблюдение

Главный сдвиг τ при одноосном растяжении σ

Прочность материалов и механики сплошных сред , заинтересованных в местных условиях в теле при сдвиге, потому что решается ли не тело, например, упруго или пластически деформируется. Местные условия становятся доступными, когда тело мысленно разрезается, и, таким образом, в плоскости разреза возникают режущие напряжения ( векторы с размерной силой на площадь поверхности ), которые зависят от ориентации плоскости разреза. Секущая плоскость может быть размещен в точке , таким образом , что напряжение сдвига, который по определению действует параллельно плоскости резания, является максимальным. Напротив, нормальные напряжения действуют перпендикулярно плоскости резания.

Нагрузки, используемые в макроскопическом анализе, приводят к касательным напряжениям, которые по сравнению с основными нормальными напряжениями (сокращенно главными напряжениями) являются максимальными, а именно равными по величине. Здесь два главных напряжения противоположно равны (см. Также пример ниже), а центральная точка круга напряжений Мора лежит в пространстве напряжений в начале координат, так что максимальное напряжение сдвига такое же большое, как и главные напряжения. Круг напряжений Мора также показывает, что максимальные напряжения сдвига возникают под углом 45 ° к направлениям основных напряжений , которые, в свою очередь, перпендикулярны плоскостям резания, в которых напряжения сдвига не возникают, см. Рисунок.

Если два главных напряжения одинаковы, круг напряжений Мора вырождается в точку. Если все три основных напряжения одинаковы, то материальная точка находится под всесторонним давлением / растяжением, и напряжения сдвига отсутствуют ни в одной плоскости. Во всех остальных случаях существуют плоскости сечения, в которых возникает максимальное и не равное нулю напряжение сдвига.

Случаи, представленные в макроскопическом анализе, представляют собой наиболее неблагоприятные нагрузки с точки зрения гипотезы напряжения сдвига , поскольку согласно этой гипотезе напряжения сдвига ответственны за разрушение материала. Поэтому стоит обратить особое внимание на компоненты тяги и соответствующим образом отрегулировать систему отсчета.

Кинематика сдвига

Растяжение и срез касательных (красный и синий) на линиях материала (черный) в процессе деформации

Чтобы проиллюстрировать сдвиг, вы можете представить книгу : если вы переместите книжные обложки параллельно друг другу, то стопка корешка и страниц образует угол, отличный от 90 °. Отклонение от прямого угла представляет собой деформацию сдвига или скольжение γ.

Математически локальная деформация рассматривается как на рисунке справа. Две материальные линии, пересекающие друг друга в эталонном состоянии (верхняя часть рисунка) (которые можно представить как линии, нацарапанные на поверхности), образуют прямой угол , который измеряется между их касательными векторами и . Как обычно, координаты x и y нумеруются последовательно по схеме x → 1 и y → 2. В процессе деформации, описываемой функцией движения, угол γ между касательными векторами изменяется согласно ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {X}}}$${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {Y}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ chi}}}$

${\ displaystyle \ sin (\ gamma): = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {y}}} {| \ mathrm {d} { \ vec {x}} || \ mathrm {d} {\ vec {y}} |}} = {\ frac {2 {\ hat {G}} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} \ cdot { \ hat {G}} _ {2}} {{\ sqrt {1 + 2 {\ hat {G}} _ {1} \ cdot \ mathbf {E} \ cdot {\ hat {G}} _ {1} }} {\ sqrt {1 + 2 {\ hat {G}} _ {2} \ cdot \ mathbf {E} \ cdot {\ hat {G}} _ {2}}}}} = {\ frac {2E_ {12}} {{\ sqrt {1 + 2E_ {11}}} {\ sqrt {1 + 2E_ {22}}}}}}$ с участием ${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {1} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {X}}} {| \ mathrm {d} {\ vec {X}} |}}, \, {\ hat {G}} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {Y}}} {| \ mathrm {d} {\ vec {Y}} |}} \, .}$

Тензор E - это безединичный тензор деформации Грина-Лагранжа , компоненты которого относятся к базовой системе, образованной векторами в опорном состоянии , а « » - скалярное произведение векторов Фробениуса . Компонент - это деформация сдвига в плоскости 1-2, а и - нормальные деформации, возникающие в направлениях 1 и 2. ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {1,2}}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle E_ {12}}$${\ displaystyle E_ {11}}$${\ displaystyle E_ {22}}$

В случае небольших искажений тензор искажения Грина-Лагранжа переходит в линеаризованный тензор искажения , и знаменатель в приведенной выше дроби может быть установлен равным единице с результатом ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$${\ Displaystyle \ грех (\ гамма) \ приблизительно \ гамма}$

${\ displaystyle \ gamma \ приблизительно 2 {\ hat {G}} _ {1} \ cdot {\ varepsilon}} \ cdot {\ hat {G}} _ {2} = 2 \ varepsilon _ {12} = {\ frac {\ partial u_ {1}} {\ partial X_ {2}}} + {\ frac {\ partial u_ {2}} {\ partial X_ {1}}} \,.}$

Компоненты относятся к декартовой системе координат, которая выровнена параллельно векторам , в которой X _{1,2 -} координаты, u _{1,2 -} смещения, а ε ₁₂ - деформация сдвига. ${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {1,2}}$

Скорость сдвига рассчитывается в состоянии γ = 0 ° с помощью Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d из

${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} = 2 {\ hat {g}} _ {1} \ cdot \ mathbf {d} \ cdot {\ hat {g}} _ {2} = 2d_ {12} = {\ frac {\ partial v_ {1}} {\ partial x_ {2}}} + {\ frac {\ partial v_ {2}} {\ partial x_ {1}}} \ quad {\ text {with}} \ quad {\ hat {g}} _ {1} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}}} {| \ mathrm {d} {\ vec {x}} |}} \ quad {\ text {и}} \ quad {\ hat {g}} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {y}}} {| \ mathrm {d} {\ vec {y }} |}} \,.}$

Здесь взаимно ортогональные касательные векторы выбираются в деформированном состоянии. Компоненты относятся к декартовой системе координат, которая теперь выровнена параллельно векторам , в которых x _{1,2 -} координаты, v _{1,2 -} скорости, а d _{12 -} скорость деформации сдвига. С небольшими перекосами и скоростью сдвига: ${\ displaystyle {\ hat {g}} _ {1,2}}$${\ displaystyle {\ hat {g}} _ {1,2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {d} \ приблизительно {\ точка {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} \ приблизительно 2 {\ hat {G}} _ {1} \ cdot {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} \ cdot {\ hat {G}} _ { 2} = 2 {\ dot {\ varepsilon}} _ {12} = {\ frac {\ partial {\ dot {u}} _ {1}} {\ partial X_ {2}}} + {\ frac {\ частичный {\ dot {u}} _ {2}} {\ partial X_ {1}}} \ приблизительно {\ frac {\ partial {\ dot {u}} _ {1}} {\ partial x_ {2}} } + {\ frac {\ partial {\ dot {u}} _ {2}} {\ partial x_ {1}}} \,.}$

Сдвиг в геологии

В геологии различают чистый сдвиг двух концевых звеньев (также соосный сдвиг или чистое сжатие ) и простой сдвиг (также несоосный сдвиг ). Простой сдвиг включает в себя дополнительный вращательный компонент по сравнению с чистым сдвигом. Эти два компонента также используются при обсуждении транспрессивной (сжатие плюс поперечное движение) и транспрессивной (растяжение плюс поперечное движение) тектоники .

Динамика твердого сдвига

Сдвиговая нагрузка - это сила или момент, при котором нагруженное тело выполняет срезное движение, по крайней мере, локально. Эта внешняя нагрузка преобразуется в напряжения в теле, в частности в напряжения сдвига. Напряжение сдвига возникает не только при внешнем напряжении, но и, например,

• в случае термической нагрузки на тела, которые соединены друг с другом на большой площади и имеют разные коэффициенты теплового расширения ,
• из-за скрытых напряжений в случае неоднородного затвердевания, например, во время сварки, или
• для покрытий, усадка которых после нанесения отличается от усадки основного материала.

При сдвиге - или, как правило, при напряжении сдвига - это напряжение сдвига τ и деформация сдвига γ или скольжение в геометрически линейной области и линейная упругость в соотношении

${\ Displaystyle \ тау = G \ гамма \,.}$

Константа пропорциональности G - это модуль сдвига (также: модуль сдвига или скольжения). Напряжение сдвига также называется напряжением сдвига при сдвиге и, как и модуль сдвига, имеет размерность силы на площадь. Таким образом, единицей СИ является Паскаль (Па), т. Е. Н / м² - Ньютон на квадратный метр .

При разрезании в упругой области тела поверхности материала смещаются локально , обратимо, параллельно друг другу. Поверхность может деформироваться, как это происходит, например, при кручении некруглого стержня или поперечной силовой нагрузке на балку. Если предел прочности на сдвиг превышен , заготовка срезается (см. Примеры разрушения при кручении ). За пределами диапазона упругости до достижения предела прочности на сдвиг пластические материалы деформируются пластически , что обсуждается ниже.

Сдвиг кристаллических материалов

Если сдвигающая нагрузка превышает предел упругости , пластичные кристаллические материалы, особенно металлы, вызывают смещения дислокаций . В кристаллическом материале части кристалла смещаются друг относительно друга во время сдвига. Плоскость, которая отделяет части кристалла друг от друга, является плоскостью скольжения , которая вместе с направлением скольжения образует систему скольжения . В примере с книгой плоскостями скольжения будут страницы книги, которые теперь скользят друг по другу в направлении скольжения, перпендикулярном корешку книги в плоскости бумаги. Если нормальный вектор плоскости скольжения и в скольжения направления в плоскости, то напряжение сдвига в системе скольжения (GS) задаются тензор напряжений : ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {m}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$

${\ displaystyle \ tau ^ {(GS)} = {\ vec {n}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ vec {m}} \ quad {\ text {with}} \ quad { \ vec {m}} \ cdot {\ vec {n}} = 0 \,.}$

Если критическое напряжение сдвига превышает напряжение сдвига в системе скольжения, атомы соскальзывают друг с друга по обе стороны от плоскости скольжения, и происходит пластическая деформация. ${\ displaystyle \ tau _ {\ text {krit}}}$${\ Displaystyle \ тау ^ {(GS)}}$

Сдвиг поликристаллических материалов

В поликристаллических изотропных материалах ориентация кристаллов изменяется вместе с кристаллическими зернами, деформации которых могут мешать друг другу, тем самым увеличивая предел текучести при сдвиге . Связь между пределом текучести при сдвиге и критическим напряжением сдвига - это фактор Тейлора M: ${\ displaystyle \ sigma _ {F}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {F} = M \ tau _ {\ text {krit}} \,.}$

Для гранецентрированной кубической решетки M = 3,1, а для объемно-центрированной кубической решетки M = 2,9. Фактор Тейлора рассчитывается на основе статистических свойств кристаллических зерен в поликристалле.

Термопластический сдвиг

Термопласты можно пластически деформировать, локально растягивая цепные молекулы, из которых они состоят. Это создает - особенно под давлением - полосы сдвига , которые ориентированы под углом от 45 ° до 60 ° к направлению нагружения, где происходят локальные большие пластические деформации 100% и более, за исключением небольших деформаций.

Сдвиг жидкостей

Формирование ламинарного пограничного слоя между синей линией и плоской поверхностью (нижняя линия).

Сдвиг также является значительным в жидкостях, и скорости сдвига в них рассчитываются, как описано в разделе, посвященном кинематике. Однако в жидкостях и газах без трения скорости сдвига не вызывают сдвиговых напряжений. В жидкости в основном рассматривались в жидкости механики являются ньютоновской жидкости , скорость которых поле слушается в уравнениях Навье-Стокса . Материальная модель ньютоновской жидкости:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p (\ rho) \ mathbf {1} +2 \ mu \ mathbf {d} + \ lambda \ operatorname {Sp} (\ mathbf {d}) \ mathbf { 1} \ ,.}$

Здесь р этого давления обычно зависят от плотности р, λ и μ является первой и второй константой Ламу , Sp является следом и 1 единичного тензор . Таким образом, напряжения сдвига пропорциональны вышеупомянутому тензору скорости деформации, который макроскопически заметен как вязкость . ${\ displaystyle 2 \ mu \ mathbf {d}}$

На стенках, где условие прилипания не позволяет жидкости двигаться параллельно стенке, напряжение сдвига приводит к образованию пограничного слоя, в котором скорость равна скорости в основном потоке, см. Рисунок. Если жидкость течет в направлении оси x параллельно стене, а нормаль к стене указывает в направлении оси y, то напряжение сдвига на расстоянии от плоской стенки составляет: ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ tau (y) = \ mu {\ dot {\ gamma}} _ {xy} = 2 \ mu {\ hat {g}} _ {x} \ cdot \ mathbf {d} \ cdot {\ hat {g}} _ {y} = \ mu \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial x}} \ справа) = \ mu {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} \ ,,}$

поскольку здесь можно пренебречь членом со скоростью, перпендикулярной стенке. В частности, напряжение сдвига стенки определяется как ${\ displaystyle v_ {y}}$

${\ displaystyle \ tau _ {w}: = \ tau (y = 0) = \ left. \ mu {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} \ right | _ {y = 0} \,.}$

Неньютоновские жидкости демонстрируют нелинейную зависимость касательных напряжений от скорости сдвига.

пример

Сдвиг квадрата (желтый) в параллелограммах

В плоскости xy точки единичного квадрата испытывают сдвиг ${\ Displaystyle (х, у) \ в [0,1] \ раз [0,1]}$

${\ displaystyle {\ vec {u}}: = {\ begin {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix}}: = {\ begin {pmatrix} \ left (\ gamma - \ varphi \ right) y \\ \ varphi x \ end {pmatrix}} \,.}$

Параметр γ представляет собой скольжение, а φ вызывает вращение. Линеаризованный тензор деформации вычисляется по производным по положению

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} & {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac { \ partial u} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ right) \\ {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial u } {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ right) & {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} 0 & \ gamma - \ varphi + \ varphi \\\ gamma - \ varphi + \ varphi & 0 \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {2 }} {\ begin {pmatrix} 0 & \ gamma \\\ gamma & 0 \ end {pmatrix}}}$

что, в отличие от рисунка, разрешено только при условии, что закон Гука дает тензор напряжений ${\ Displaystyle | \ гамма |, \, | \ varphi | \ ll 10 ^ {\ circ} \,.}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = 2G {\ boldsymbol {\ varepsilon}} + \ lambda \ operatorname {Sp} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) \ mathbf {1} = 2G {\ boldsymbol { \ varepsilon}} = G {\ begin {pmatrix} 0 & \ gamma \\\ gamma & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ tau \\\ tau & 0 \ end {pmatrix} } \ ,,}$

как функция модуля сдвига G и первой постоянной Ламе λ. Оператор Sp образует сумму диагональных элементов ( след ) и является единичным тензором . Напряжения сдвига имеют величину тензора деформаций и напряжений, здесь - в рамках геометрически линейного рассмотрения - нет нормальных составляющих. ${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ Displaystyle \ тау = G \ гамма \,.}$

В секущих плоскостях с нормальными векторами

${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {1,2}: = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} 1 \\\ pm 1 \ end {pmatrix}} }$

касательные напряжения не возникают, потому что векторы напряжения пересечения указывают точно в нормальном направлении ( являются главными напряжениями и являются соответствующими направлениями главных напряжений). ${\ displaystyle {\ vec {t}} _ {1,2}: = {\ boldsymbol {\ sigma}} \ cdot {\ hat {n}} _ {1,2} = \ pm \ tau {\ hat { n}} _ {1,2}}$${\ displaystyle \ pm \ tau}$${\ displaystyle {\ hat {n}} _ {1,2}}$

Линеаризованный тензор деформации представляет собой симметричную часть градиента смещения

${\ displaystyle \ mathbf {H}: = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ gamma - \ varphi \\\ varphi & 0 \ end {pmatrix}} \,.}$

Добавив нелинейную составляющую

${\ displaystyle \ mathbf {H ^ {\ top} \ cdot H} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ varphi \\\ gamma - \ varphi & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 & \ gamma - \ varphi \\\ varphi & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ varphi ^ {2} & 0 \\ 0 & (\ gamma - \ varphi) ^ {2} \ конец {pmatrix}}}$

линеаризованный тензор деформации дает тензор деформации Грина-Лагранжа

${\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {H + H ^ {\ top} + H ^ {\ top} \ cdot H}) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} \ varphi ^ {2} & \ gamma \\\ gamma & (\ gamma - \ varphi) ^ {2} \ end {pmatrix}} \,.}$

Когда квадрат срезается для образования параллелограмма той же площади, нормальные деформации возникают с большими сдвиговыми движениями, см. Эффект Пойнтинга .

Замечания

1. ↑ Переменная чувствительна к регистру. Переменные, написанные заглавными буквами, относятся к эталонному состоянию, а переменные, написанные строчными буквами, - к текущему состоянию, которое может быть сильно деформировано и искажено относительно эталонного состояния.

Смотри тоже

Твердый:

• Закон Шмида напряжения сдвига
• Сдвиг (геология)
• Диаграмма сдвига напряжение-сдвиг

Жидкости:

• Скорость сдвига
• Устойчивость к сдвиговому напряжению

литература

• Х. Балке: Введение в техническую механику. Теория прочности . 3. Издание. Springer-Vieweg, 2008, ISBN 978-3-642-40980-6 . 
• Х. Альтенбах: Механика сплошной среды: Введение в уравнения, не зависящие от материала и зависимые от материала . Springer, 2012 г., ISBN 3-642-24119-0 . 

Индивидуальные доказательства

1. ↑ ^{а б} Бернхард Гроц: Механика твердых тел. 30 октября 2015, доступ к 3 ноября 2015 . 
2. ↑ Обзор значений: сдвиг (механика). Duden онлайн, доступ к 2 ноября 2015 года . 
3. ↑ Дж. Рёслер, Х. Хардерс, М. Бекер: Механическое поведение материалов . 4-е издание. Springer-Vieweg, 2012 г., ISBN 978-3-8348-1818-8 .