Теория силы

Теория прочности в технической механике

Прочность материалов является филиалом инженерной механики . Его основные области применения - строительство ( строительное проектирование ) и машиностроение . Их законы используются для исследования того, могут ли конструкции или машины выдерживать возложенные на них нагрузки , то есть не ломаться или не деформироваться чрезмерно . Из-за включения деформации часто используются расширенные термины теории прочности и деформации .

С их помощью сравниваются напряжения и деформации, возникающие в теле при нагрузках, с допустимыми значениями. Допустимые напряжения в основном определяются используемым материалом и допустимыми деформациями при использовании компонентов.

В случае упругих деформаций в дополнение к теории прочности используется термин « эластостатик» . Пластические деформации - предмет теории пластичности .

В прозрачном поликарбонате напряжения видны благодаря поляризационному двулучепреломлению.

история

В древние времена и в средние века строители использовали традиции, опыт и интуицию для определения прочности зданий и машин, чтобы они не выходили из строя и не были чрезмерными. Первые конкретные эксперименты по поведению различных материалов под действием нагрузки были выполнены Галилео Галилеем в начале 17 века. Систематические и надежные результаты были достигнуты примерно с 1800 года, в частности, Клод Луи Мари Анри Навье , Адемар Жан Клод Барре де Сен-Венан , Габриэль Ламе , Симеон Дени Пуассон и Кристиан Отто Мор . Имена этих ученых все еще можно найти сегодня в терминах теории силы, названной в их честь. Область теории прочности включает в себя большую часть теории упругости и пластичности , а также ползучести (вязкости) твердых тел. Теория прочности сегодня используется, в частности, для расчетов в строительстве и машиностроении .

Основы

напряжение

Кубоид с механическим напряжением

Главные напряжения в плоском напряженном состоянии

Механическое натяжение (сокращенно: натяжение) и деформация - две фундаментальные величины теории прочности. Прочность в основном связана с микро- и макроуровнем , где в механике сплошных сред , строго говоря, присутствуют только напряжения. Эти напряжения объединяются в результирующие силы и моменты на уровне поперечного сечения и взаимодействуют с расчетом конструкции . Прочность материалов также связана с напряжениями в поперечном сечении, которые вызывают результаты напряжений - они приравниваются к внутренним силам в теории первого порядка в проектировании конструкций. Следующие результаты представляют особый интерес для структурного анализа: нормальная сила , сила сдвига , изгибающие моменты и крутящий момент . Распределение этих нагрузок внутри тела представлено напряжением. Элементарная концепция натяжения, когда натяжение равно силе на площадь, была введена Огюстен-Луи Коши в 1822 году. ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T}$

Нормальное напряжение вызывается нормальными силами или компонентами силы, ортогональными наблюдаемой поверхности . Отсюда следует, что среднее напряжение в продольном направлении - это нормальная сила, приходящаяся на площадь поперечного сечения. ${\ Displaystyle N = \ int \ sigma _ {xx} \, \ mathrm {d} A}$ ${\ Displaystyle \ langle \ sigma _ {хх} \ rangle = {\ tfrac {N} {A}}}$

Изгибающий момент также зависит от напряжения в продольном направлении от: . ${\ displaystyle M_ {y} = \ int \ sigma _ {xx} \ cdot z \ \ mathrm {d} A}$

Сдвиговые силы поглощаются поперечными сечениями через напряжение сдвига. В случае прямоугольных поперечных сечений с высотой h (в направлении z) и осью x в центре тяжести, которые напряжены в главных осях инерции , следует отметить, что напряжения сдвига в Теория упругости имеет квадратичный ход по поперечному сечению, так как на свободной поверхности (в общем) для касательных напряжений применяются и из-за симметрии тензора напряжений подразумевается, что касательные напряжения для нуля. ${\ Displaystyle V_ {z} = \ int \ tau _ {xz} \, \ mathrm {d} A}$ ${\ displaystyle \ tau _ {xz}}$ ${\ Displaystyle \ тау _ {zx} = 0}$ ${\ Displaystyle \ тау _ {xz} = 0}$ ${\ displaystyle z = \ pm h / 2}$

Вышеупомянутых уравнений недостаточно для точного определения размеров поперечного сечения, существует бесконечное количество комбинаций параметров поперечного сечения (например, ). Кроме того, даже компоненты напряжения взаимодействуют на материальном уровне (например, необходимо учитывать сравнительное напряжение ); и в целом (как в теории упругости, так и в теории пластичности ) необходимо продемонстрировать для каждого волокна материала соответствие определенным критериям прочности . ${\ displaystyle A, S_ {y}}$

Строго говоря, напряжение - это тензорная величина, чтобы прояснить это, она называется тензором напряжений : ${\ displaystyle \ mathbf {\ sigma} = {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} & \ tau _ {xy} & \ tau _ {xz} \\\ tau _ {yx} & \ sigma _ {yy } & \ tau _ {yz} \\\ tau _ {zx} & \ tau _ {zy} & \ sigma _ {zz} \ end {bmatrix}}}$

На главной диагонали есть три нормальных напряжения. След тензора напряжений инвариантен относительно системы координат. Остальные элементы представляют напряжения сдвига. Из-за симметрии тензора напряжений существует три независимых касательных напряжения. Путем преобразования главной оси каждое напряженное состояние может быть преобразовано в систему координат, в которой все касательные напряжения исчезают (проблема собственных значений / собственных векторов).

Круг напряжений Мора - это графический метод определения главных напряжений, их направлений и главных касательных напряжений .

искажение

Определение искажения с помощью бесконечно малого линейного элемента. Слева - разгруженное эталонное состояние, справа - загруженное текущее состояние.

В механике деформируемых тел каждое натяжение тела сопровождается искажением - и, следовательно, деформацией - этого тела. Элементарная концепция искажения обычно называется искажением, т.е. ЧАС. понимается как частное от изменения длины к исходной длине: ${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {\ Delta l} {l}}}$

Деформация, как и напряжение, является величиной растяжения:

Поскольку в техническом применении рассматриваемые производные смещения (т.е. искажения и повороты твердого тела) обычно малы по сравнению с 1 ( ), обычно используется линеаризованный тензор деформации вместо тензора деформации Грина-Лагранжа . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ delta u_ {i}} {X_ {j}}} \ ll 1}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {xx} & \ varepsilon _ {xy} & \ varepsilon _ {xz} \\\ varepsilon _ {yx} & \ varepsilon _ {yy } & \ varepsilon _ {yz} \\\ varepsilon _ {zx} & \ varepsilon _ {zy} & \ varepsilon _ {zz} \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ begin {bmatrix} E_ {xx} & E_ {xy} & E_ {xz} \\ E_ {yx} & E_ {yy} & E_ {yz} \\ E_ {zx } & E_ {zy} & E_ {zz} \ end {bmatrix}}}$

Основные диагональные элементы тензора линейной деформации описывают деформацию , определяемую как относительное изменение длины линейного элемента . Другие элементы тензора деформации описывают сдвиг , определяемый как симметричная половина изменения угла между двумя первоначально ортогональными линейными элементами в точке пересечения. Изменение угла соответствует удвоению компонент деформации сдвига в тензоре деформации. ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {xx} = {\ tfrac {\ partial u} {\ partial X}}}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {ij} = \ varepsilon _ {ij} + \ varepsilon _ {ji}}$

Диаграмма напряжение-деформация

Пример диаграммы напряжение-деформация

Диаграмма напряжение-деформация часто является результатом измерений (например, испытания на растяжение ) и устанавливает взаимосвязь между напряжением и деформацией путем нанесения напряжения на абсциссу и напряжения (обычно нормального напряжения) на ординату . Для пластичных материалов функциональные отношения часто можно разделить на линейно-упругий диапазон, нелинейно-упругий диапазон и пластический диапазон. Для теории прочности достаточно линейно-упругого диапазона, в зависимости от материала и применения. Однако для стальных , бетонных и деревянных конструкций диапазон упругости (за исключением особых случаев) остается в статическом расчете . В деревянных и бетонных конструкциях обычно предполагается, что деформации линейны по поперечному сечению ( предположения Бернулли ), однако в соответствии с действующими стандартами предполагается наличие пластикового плато (например, распределение блоков или параболо-прямоугольное распределение) в отношении распределение напряжений в бетонной конструкции . В стальной конструкции есть поперечное сечение классификация в текущей стандартизации , который определяет , какие процессы допустимы, причем профили стандартизированы в строительстве являются I. d. Обычно встречаются высший класс (а именно класс 1). Тем не менее, они в основном проверены только для класса 2 (пластификация поперечного сечения, но не предполагается возможность вращения) или только для класса 3 (эластичность), что является безопасным.

В линейно-упругом диапазоне график описывает прямую линию; применяется обобщенный закон Гука . Вот тензор упругости . Модули упругости можно определить с помощью ультразвукового контроля . Модуль упругости также определяется испытаниями (одноосными или многоосными) на сжатие или растяжение в линейно-упругом диапазоне. Величины упругости являются важными величинами для проектирования тел в теории прочности. ${\ Displaystyle \ sigma = \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$

Предел текучести обычно определяется со ссылкой на диаграмму "напряжение-деформация". Критерии разрушения для (одно- или многоосной) прочности часто определяются из диаграммы «напряжение-деформация». Эти сильные стороны используются при выборе материала для конкретного применения. Таким образом, в строительной отрасли часто используется железобетон , и в этом случае в статическом расчете i. d. Обычно стали приписываются только растягивающие напряжения, а бетону - только сжимающие.

Диаграмма сдвига напряжение-сдвиг

Диаграмма напряжение сдвига-сдвиг часто является результатом измерения напряжения на образце при сдвиге . На диаграмме напряжение сдвига - сдвиг сдвиг отложен по оси абсцисс, а напряжение сдвига - по оси ординат. В линейно-упругом диапазоне график диаграммы напряжение сдвига - сдвиг является линейным. В прочности материалов, упругие в линейном диапазоне применяется: . Константа пропорциональности - это модуль сдвига . ${\ Displaystyle \ тау = G \ гамма}$ ${\ displaystyle G}$

Термические напряжения

При повышении температуры материал обычно расширяется ( тепловое расширение ); при понижении температуры он сжимается. Это соотношение можно линеаризовать и смоделировать с помощью следующих уравнений:

{\ Displaystyle \ mathbf {\ varepsilon _ {T}} = \ Delta T \ cdot \ alpha}

а также

{\ displaystyle \ Delta l = L_ {0} \ cdot \ mathbf {\ varepsilon _ {T, xx}}}

.

Вот

${\ displaystyle \ Delta T}$ изменение температуры
${\ displaystyle \ alpha}$ коэффициент теплового расширения
${\ displaystyle \ Delta l = l-L_ {0}}$ изменение длины тела
${\ displaystyle L_ {0}}$ его первоначальная длина.

Если расширение предотвращено:

{\ Displaystyle \ mathbf {\ varepsilon} = \ mathbf {\ varepsilon _ {T} + \ varepsilon _ {\ sigma}} = 0}

,

отсюда следует, что деформация, вызванная напряжением ( ограничением ), равна отрицательному температурному расширению:

{\ Displaystyle \ Rightarrow \ mathbf {\ varepsilon _ {\ sigma}} = - \ mathbf {\ varepsilon _ {T}} = - \ Delta T \ cdot \ alpha}

.

Момент инерции площади

Таблица геометрических моментов инерции из лексикона всей техники 1904 г.

Свойства материала и геометрия тела влияют на его поведение под нагрузкой. Геометрический момент инерции - это чисто геометрическая мера сопротивления поперечного сечения тела деформации из-за изгиба и кручения . Различают момент инерции полярной области, моменты инерции осевой области и моменты отклонения . ${\ displaystyle I_ {p}}$ ${\ displaystyle I_ {xx}}$ ${\ displaystyle I_ {yy}}$ ${\ displaystyle I_ {xy} = I_ {yx}}$

Момент инерции площади также можно интерпретировать в терминах тензора ; это применимо . Тензор инерции площади обозначен, поскольку он уже используется для тождества . ${\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} I_ {p} & 0 & 0 \\ 0 & I_ {yy} & I_ {yz} \\ 0 & I_ {zy} & I_ {zz} \ конец {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I}}$

Собственные значения тензора инерции площади являются максимумами осевого момента инерции площади в системе центра тяжести и называются основными моментами инерции. Соотношения трансформации можно использовать для определения основных моментов инерции .

Для упрощения расчета геометрических моментов инерции сложных площадей поперечного сечения может иметь место разбивка на частичные зоны и расчет геометрических моментов инерции этих частичных площадей. Если центр тяжести частичной области не совпадает с общим центром тяжести, доля Штейнера должна быть добавлена к осевым моментам инерции площади и моментам отклонения согласно теореме Штейнера .

Геометрический момент инерции имеет большое практическое значение, потому что, обладая его знаниями, компоненты могут быть спроектированы так, чтобы быть максимально устойчивыми для данного направления основной нагрузки и данного использования материала. Это причина частого использования профильных сталей , таких как двутавровая балка, вместо твердых материалов.

Заявления о поперечной нагрузке

Следуя соображениям статики (например, проектирования конструкций ) или динамики (например, динамики конструкций ), одинаковые нагрузки назначаются одной и той же нагрузке, со ссылкой на линию, проходящую через упругий стержень. Теория прочности является предметом инженерной инженерии, в которой напряжения возникают в результате таких нагрузок в поперечном сечении.

сгибать

Утверждения о напряжениях и деформациях тел в результате изгиба являются элементарной составляющей теории прочности. В теории балок здесь используется модель балки , поскольку большое количество компонентов, в частности структурные компоненты и валы , можно моделировать как балки.

Различают прямые и наклонные изгибы . Прямой изгиб производится нагружением по главным осям инерции балки; в случае осесимметричных сечений это оси симметрии.

Изгиб нормального напряжения

Нормальное напряжение изгиба изменяется линейно по поперечному сечению.

Когда балка изгибается под действием момента или нагрузки, которая создает изгибающий момент, в балке возникает нормальное напряжение. Поскольку исследуемые балки обычно имеют длину по отношению к их толщине ( тонкая балка ), а прогибы относительно малы, часто предполагается, что нормальное напряжение изгиба изменяется линейно по поперечному сечению (см. Рисунок справа). В случае прямого изгиба нормальное напряжение изгиба зависит только от одной главной оси инерции. Величина наибольших нормальных напряжений изгиба возникает на волокне балки, которое имеет наибольшее или наименьшее значение на этой главной оси инерции. Если нормальная сила отсутствует , точка пересечения нуля напряжения ( нулевая линия или нейтральное волокно ) проходит через центр тяжести поперечного сечения. В этом случае знак напряжения зависит только от знака главной оси инерции в случае прямого изгиба при условии, что продольная ось элемента находится в центре тяжести.

При линейной упругости изгибающее напряжение во время изгиба можно определить следующим образом , исходя из теории балок Бернулли :

${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, y, z) = {\ frac {N (x)} {A (x)}} - {\ frac {M_ {z} (x) \ cdot I_ {yy } (x) + M_ {y} (x) \ cdot I_ {yz} (x)} {I_ {yy} (x) \ cdot I_ {zz} (x) -I_ {yz} ^ {2} (x )}} \ cdot y + {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot I_ {zz} (x) + M_ {z} (x) \ cdot I_ {yz} (x)} {I_ {yy} (x) \ cdot I_ {zz} (x) -I_ {yz} ^ {2} (x)}} \ cdot z.}$

В случае напряжения в главных осях инерции, компоненты напряжений изгибающих напряжений (тип нормальных напряжений ) в зависимости от того , и , расстояние до оси х (шток продольной оси), стрессовой изгибающий момент вокруг у -ось и осевой геометрический момент инерции . Если в дополнение к нагрузке, вызванной изгибающим моментом, балка подвергается нормальному напряжению ( ограничению ), вызванному изменением температуры из-за затрудненного (или предотвращенного) удлинения , результирующее нормальное напряжение может быть определено в линейной упругости Теория основана на принципе суперпозиции путем добавления нормального напряжения, вызванного изгибающим моментом, к термически индуцированному нормальному напряжению. Для определения размеров реальных балок краевые напряжения часто являются решающими в линейной теории упругости, поскольку при наличии только изгибающих нормальных сил скручивающих нагрузок напряжение в остальной части балки всегда равно или меньше напряжения на краях. В случае взаимодействия M - N - V необходимо проверить каждое волокно, особенно в центре тяжести, поскольку именно здесь присутствуют наибольшие касательные напряжения. Для оптимизации материала (более крупное плечо рычага) можно изготавливать поперечные сечения с (возможно, непрерывно) градиентной прочностью материала или шириной материала, или можно использовать композитные материалы, как в железобетонной конструкции . Если вставить края балки в формулу напряжения изгиба, в результате будет выполнен только одноосевой изгиб главной оси в направлении z. ${\ displaystyle {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot z} {I_ {yy} (x)}} - {\ frac {M_ {z} (x) \ cdot y} {I_ {zz} ( Икс)}}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle M_ {y}}$ ${\ displaystyle I_ {yy}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (x, y, z) = {\ frac {M_ {y} (x) \ cdot z _ {\ text {Rand}} (x)} {I_ {yy} (x )}}}$

Так как оба , а также геометрические величины, которая зависит только от й-координат, являюсь, гибки нормальными напряжениями, для заданного поперечного сечения, для заданной нагрузка и линейная упругость могут быть определены однозначно, и может включать в себя, сопротивление крутящего момента будет резюмировано. ${\ displaystyle I_ {yy} (x)}$ ${\ Displaystyle г _ {\ текст {Рэнд}} (х)}$ ${\ displaystyle W}$

Применяется и так . ${\ displaystyle \ textstyle W_ {u} (x) = {\ frac {I_ {yy} (x)} {z_ {u} (x)}}, \ textstyle W_ {o} (x) = {\ frac { I_ {yy} (x)} {z_ {o} (x)}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sigma _ {xx} (x, y, z_ {u}) = \ sigma _ {xx} (x, z_ {u}) = {\ frac {M_ {y} (x)} { W_ {u} (x)}}}$

Модуль упругости сечения также является чисто геометрической переменной и часто используется при расчете размеров балок, поскольку не должны превышаться максимальные напряжения, заданные выбором материала, а модуль сечения создает простую взаимосвязь между нормальным напряжением изгиба и напряжением, вызванным изгибающий момент.

штамм

Держатель поворачивается с двух сторон на двух опорах без консольного рычага.

Изгибающая балка (например, балка на двух опорах или консольный рычаг) нагружается положительной деформацией на стороне с положительной координатой z в обычной системе координат из-за положительного момента вокруг положительной оси y. Только плоскость нулевой линии, в которой отсутствуют напряжения, которая проходит через центр тяжести поперечного сечения балки при приложении только изгибающих моментов, остается свободной от нормальных напряжений в теории балок Бернулли и, таким образом, сохраняет свою длину ( при постоянной температуре). Поскольку предположения Бернулли применимы к хорошему приближению для длинных балок , каждая площадь поперечного сечения вдоль балки остается плоской и ортогональной к оси балки.

Линия изгиба описывает отклонение оси стержня балки при любой координате x. Обычно он состоит из эластичных, пластичных и вязких компонентов. В линейной теории упругости линия изгиба может быть получена посредством дифференциальных соотношений путем многократного интегрирования кривой изгибающего момента, кривой силы сдвига или линейной нагрузки при условии, что она может быть четко адаптирована к граничным условиям. Следующее применяется для постоянной температуры по поперечному сечению и для (одноосного) изгиба по большой оси:

${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' '' = q_ {z} (x)}$
${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' '= - Q_ {z} (x)}$
${\ displaystyle EI_ {y} w_ {z} '' = - M_ {y} (x)}$ .

Вот модуль упругости, момент инерции осевой области в z-направлении и компонент отклонения в z-направлении. Константы интегрирования могут быть определены исключительно с помощью статически определенных и статически неопределенных систем четко о хранилище столбца. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle I_ {y}}$ ${\ displaystyle w_ {z}}$

кручение

Пример крутящих моментов на круглом стержне

Если стержень подвергается действию крутящего момента, в его внутренней части возникают скручивающие напряжения сдвига , которые вызывают бесконечно малое смещение элементов его поперечного сечения. В большинстве случаев устойчивость компонентов должна быть подтверждена стойкостью к скручивающим нагрузкам .

Кручение прутков круглого сечения

Ход напряжения сдвига при кручении в круговом поперечном сечении

Благодаря скручиванию круглых стержней, таких как приводные валы и трубы , поперечные сечения остаются плоскими и круглыми, а прямые линии остаются прямыми в осевом направлении. Радиус и длина стержня остаются постоянными для малых углов поворота, которые встречаются в технике. В линейной теории упругости напряжение сдвига при кручении линейно увеличивается с радиусом и зависит от крутящего момента и момента инерции полярной области . Рассчитывается по формуле кручения ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle I_ {p}}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {T \ cdot r} {I_ {p}}}}$ .

В результате напряжение сдвига при кручении является наибольшим на поверхности стержня и постоянным по всей поверхности.

Угол поворота стержней круглого сечения рассчитывается по следующей формуле: ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ Displaystyle \ Phi = {\ гидроразрыва {T \ cdot l} {I_ {p} \ cdot G}}}$

Здесь длина стержня и G модуль сдвига . ${\ displaystyle l}$

Для валов с несколькими заплечиками разного диаметра общий угол поворота можно рассчитать, используя приведенную выше формулу для каждого шага вала и сложив результаты.

Кручение стержней призматического сечения

Ход напряжения сдвига по осям симметрии прямоугольного сечения

В то время как в телах с круглым поперечным сечением поперечные сечения всегда остаются круглыми под действием крутильной нагрузки, коробление происходит в призматических поперечных сечениях , что приводит к сложной картине скручивания, которую невозможно определить простыми аналитическими средствами . При проектировании призматических стержней на кручение часто используют столы.

В случае треугольного или квадратного поперечного сечения максимальные напряжения сдвига всегда возникают в средних точках боковых поверхностей (см. Рисунок справа), в то время как в углах не должно быть напряжений из-за граничных условий напряжения.

Кручение стержней тонкостенного сечения

Поскольку максимальное напряжение сдвига круглых поперечных сечений возникает на их кромках, можно использовать тонкостенные поперечные сечения, например, в трубах или полых валах .

Максимальное напряжение сдвига в тонкостенном поперечном сечении можно определить, используя крутящий момент инерции и толщину стенки . ${\ Displaystyle \ тау _ {\ текст {макс}}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ text {max}} = {\ frac {T \ cdot t} {I_ {T}}}}$ ${\ displaystyle I_ {T}}$ ${\ displaystyle t}$

Если скручивающий момент и толщина стенки объединяются для образования момента сопротивления скручиванию , применяется следующее . ${\ displaystyle W_ {p}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {T} {W_ {p}}}}$

Угол закручивания рассчитывается по формуле . ${\ displaystyle \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Phi = {\ frac {Tl} {4A_ {0} ^ {2} G}} \ oint {\ frac {1} {t}} ds}$

В тонкостенных поперечных сечениях возникает сдвиговое течение , которое определяется следующей зависимостью, полученной с использованием формулы Бредта :

${\ displaystyle q_ {T} = {\ frac {T} {2A_ {m}}}}$

Вот поток тяги и площадь, ограниченная центральной линией профиля. Напорный поток является причиной значительно более высокого сопротивления замкнутых профилей по сравнению с профилями с пазами. ${\ displaystyle q_ {T}}$ ${\ displaystyle A_ {m}}$

Изгибание компрессионных штанг

Четыре случая Эйлера различаются положением столбцов.

Очень тонкие стержни имеют тенденцию внезапно выходить из строя из-за бокового прогиба при приближении к критической нагрузке - также известной как нагрузка потери устойчивости Эйлера в честь Леонарда Эйлера . Этот эффект называется «короблением» и должен быть подтвержден при проверке безопасности конструкции. Для интерпретации достаточно i. d. Как правило, не исключается, что критическая нагрузка просто поддерживается ниже расчетно определяемой («теоретической») грузоподъемности стержня, поскольку дефекты материала или конструкции могут вызвать коробление до того, как будет достигнута идеальная сила сжатия при выпучивании. Критическая нагрузка одиночного стержня, на который действует только нормальная сила, определяется: ${\ displaystyle P _ {\ mathrm {kr}}}$

${\ displaystyle P _ {\ mathrm {kr}} = {\ frac {\ pi ^ {2} EI} {(\ beta \ cdot L) ^ {2}}}}$

Здесь модуль упругости , площадь момент по инерции поперечного сечения, длина стержня и коэффициент длиной , которая зависит от граничных условий (в особых случаях одним из случаев Эйлера) (смотрите рисунок справа, слева направо). Длина продольного изгиба - это (возможно, виртуальное) расстояние между двумя точками поворота (точками нулевого момента) (возможно, удлиненной) линии изгиба этого единственного элемента. Диаграммы эффективной длины часто используются для рам, а также стержней, установленных с возможностью вращения (в действительности почти всегда встречается с хорошим приближением). ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle s_ {k}}$

Энергия деформации

С трамплином энергия деформации доски сначала увеличивает потенциальную, а затем кинетическую энергию спортсмена.

Тело поглощает энергию через свою деформацию , энергию деформации . Для нормальных и касательных напряжений внутри тела энергия деформации определяется величиной ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle W = \ int _ {t} \ int _ {V} {\ mathbf {\ sigma} \ cdot \ mathbf {\ dot {\ varepsilon}}} dVdt}$

Где:

{\ Displaystyle \ mathbf {\ sigma}}

тензор напряжений

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {\ varepsilon}}}

тензор скорости искажения

{\ displaystyle V}

объем рассматриваемого тела

{\ displaystyle t}

Время.

Для стержней и балок энергия деформации может быть выражена как функция возникающих нагрузок. Вот длина тела и бегущая координата в направлении оси стержня или балки. ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle x}$

Энергия деформации находится в линейной теории упругости при нагружении ...

Нормальная сила: с нормальной силой и площадью поперечного сечения . ${\ displaystyle W_ {N} = \ int _ {0} ^ {l} {\ frac {N ^ {2}} {2EA}} dx}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle A}$

Изгибающий момент: с изгибающим моментом и осевым геометрическим моментом инерции в направлении оси балки. ${\ displaystyle W_ {B} = \ int _ {0} ^ {l} {\ frac {M ^ {2}} {2EI}} dx}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle I}$

Усилие сдвига: сила сдвига и коэффициент формы , содержащий статический момент и ширину или толщину стенки . ${\ displaystyle W_ {V} = \ int _ {0} ^ {l} {\ frac {\ chi _ {s} Q ^ {2}} {2GA}} dx}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ chi _ {s} = {\ frac {A} {I}} \ int _ {A} {\ frac {S ^ {2}} {t ^ {2}}} dA}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle t}$

Кручение: с крутящим моментом и моментом инерции полярной области . ${\ displaystyle W_ {T} = \ int _ {0} ^ {l} {\ frac {M_ {T} ^ {2}} {2GI_ {P}}} dx}$ ${\ displaystyle M_ {T}}$ ${\ displaystyle I_ {P}}$

В случае комбинированной нагрузки от нескольких из этих типов нагрузки результирующая энергия деформации может быть определена путем сложения отдельных энергий деформации.

Энергетические методы

Две силы теоремы Бетти о кантилевере

С помощью энергии деформации и различных наборов энергетических методов можно сделать выводы о поведении тела под действием нагрузки.

Набор Кастильяно указывает на то, что частные производные от упругого линейного тела в хранимой энергии деформации внешней силы , смещение точки приложения усилия в направлении этой силы результатов.

Набор Menabrea указывает на то, что частные производные от энергии деформации для статического неспецифической реакции подшипника равна нулю.

Теорема Бетти имеет дело с телом, взаимодействует с двумя независимыми силами и обеспечивает связь между разработками, которые осуществляют эти силы с силой смещения друг друга.

Принцип виртуальных сил, приписываемый Иоганну I Бернулли , представляет собой модификацию принципа виртуальной работы и позволяет определять смещения и угловые изменения в местах, где на тело не действует сила. Для этого в желаемом месте вводится виртуальная сила, которая имеет любое значение, кроме нуля.

Безопасность в расчетах на прочность

При проектировании компонентов необходимо обеспечить защиту от поломки , например, из-за усталости материала .

Неточности возникают в случае компонентов машин или элементов здания; они должны находиться в пределах указанных допусков. С одной стороны, производственные ошибки могут снизить несущую способность, которую может выдержать компонент, а с другой стороны, могут быть сделаны неправильные предположения о нагрузке, и фактическая нагрузка на деталь может быть выше предполагаемой нагрузки. Все коммерческие материалы (особенно дерево или бетон ) имеют колебания прочности, которые необходимо учитывать. Концепция частичной безопасности Еврокода описывает один из способов учета этого с учетом характеристического сопротивления и характерного действия: ${\ displaystyle R_ {k}}$ ${\ displaystyle E_ {k}}$

${\ displaystyle {\ frac {R_ {k}} {\ gamma _ {R}}} \ geq E_ {k} \ cdot \ gamma _ {E}}$

Причем , и не только напряжение или искажение, но и угол поворота, температуры или тому подобное может быть. Нагрузка от отказа обычно определяется расчетными моделями (стандартами, компьютерными моделями ), которые часто содержат данные испытаний или повреждений здания. ${\ displaystyle R_ {k}}$ ${\ displaystyle E_ {k}}$

Коэффициент запаса прочности безразмерен, его значение должно выбираться в зависимости от важности безопасности компонента, размер которого будет измеряться, и разброса в поведении материала или воздействия. В строительстве общий коэффициент безопасности для бетонных и деревянных конструкций находится в диапазоне 2, в отдельных случаях (атомные электростанции) он может (и должен) отклоняться от чрезвычайных загружений (загружений, которых не следует ожидать. (например, автокатастрофы) имеют пониженный коэффициент безопасности как по действию (= 1), так и со стороны сопротивления (tw. = 1). Коэффициенты безопасности часто можно найти в стандартах .

В дополнение к основным параметрам, таким как напряжение и деформация, должны быть предусмотрены меры защиты от долговременных эффектов, таких как коррозия, ползучесть и усталость . Ползучесть возникает, когда материал подвергается равномерной нагрузке в течение длительного периода времени, часто при высоких температурах. Усталость возникает при частом изменении нагрузки, например, в самолетах или в карданных валах транспортных средств.

литература

Рассел К. Хиббелер: Техническая механика 2 Сопротивление материалов . 8-е издание. Пирсон Германия, Мюнхен 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .
Вальтер Манн: Лекции по статике и теории прочности. Исправленное и дополненное издание. Teubner, Штутгарт 1997, ISBN 3-519-15238-X .
Рольф Манкен: Учебник технической механики - эластостатика, с введением в гибридные конструкции. Springer, Берлин, 2015 г., ISBN 978-3-662-44797-0 .
Клаус-Дитер Арндт, Хольгер Брюггеманн, Иоахим Ихме: Теория прочности для промышленных инженеров. 2-е издание. Springer, Берлин / Гейдельберг, 2014 г., ISBN 978-3-658-05903-3 .
Бруно Ассманн, Петер Сельке: Техническая механика 2 - теория прочности. 18-е издание. Ольденбург, Мюнхен, 2013 г., ISBN 978-3-486-70886-8 .
Герберт Балке : Введение в техническую механику - теория прочности. 3. Издание. Springer, Берлин / Гейдельберг, 2014 г., ISBN 978-3-642-40980-6 .
Дитмар Гросс, Вернер Хаугер, Йорг Шредер , Вольфганг Валл: Техническая механика 2 - Эластостатика. 10-е издание. Springer, Берлин / Гейдельберг 2009, ISBN 978-3-642-00564-0 .
Гюнтер Хольцманн, Хайнц Мейер, Георг Шумпих: Техническая механика - теория прочности. 10-е издание. Springer, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-8348-0970-4 .
Фолькер Леппле: Введение в теорию силы. 3. Издание. Vieweg Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1605-4 .
Герберт Ман , Гюнтер Хофштеттер: теория силы. 4-е издание. Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 (560 страниц, springer.com ).
Отто Ветцелл, Вольфганг Крингс: Техническая механика для инженеров-строителей. Том 2: Сопротивление материалов. 3. Издание. Springer, Берлин / Гейдельберг, 2015 г., ISBN 978-3-658-11467-1 .
Карл-Ойген Куррер : История структурного анализа. В поисках баланса , Эрнст и Сын, Берлин, 2016, стр. 380–439, ISBN 978-3-433-03134-6 .

Замечания

↑ Деформация (механика) # Напряжения в англоязычной Википедии
↑ x = X + u, где X - эталонная конфигурация (обычно недеформированная), а x - мгновенная система (обычно деформированное положение)
↑ Деформация (механика) # Деформация сдвига в англоязычной Википедии
↑ Многоосные диаграммы напряжения-деформации часто являются результатом теорий, предположений, стандартов ... и не всегда подтверждаются измерениями или, например, Б. чисто вымышленный и на всякий случай.
↑ Многие материалы обладают вязкими свойствами.
↑ Класс 1: Пластик в поперечном сечении, а также пластиковый шарнир системного уровня ; Класс 2: пластик на уровне поперечного сечения, но не на уровне системы; Класс 3: эластичный; Класс 4: из-за местных неровностей использование эластичного клюва не допускается.
↑ Допущение неприменимо к стальным конструкциям для классов поперечного сечения 1 или 2.
↑ Компоненты напряжения также могут быть отрицательными и, следовательно, меньшими.
↑ Это тот случай, когда применяется следующее: My = Mz = T = 0.
↑ Сталь используется на стороне растяжения (из соображений прочности при достаточном бетонном покрытии), чтобы иметь оптимальное плечо рычага для зоны давления бетона.
↑ W_o отрицательно в обычной системе координат.
↑ Это также относится к переменному модулю упругости и переменному моменту инерции области.
↑ В бетонном строительстве вам нужно только доказать кручение равновесия, но не кручение совместимости.
↑ Если геометрический момент инерции изменяется, вы обычно можете с уверенностью принять наименьший геометрический момент инерции при анализе предельной нагрузки .

Индивидуальные доказательства

↑ ^б^с^д^е^е^г^ч^я^J^K Рассела С. Hibbeler: Техническая механика 2 Прочность материалов . 8-е издание. Пирсон Германия, Мюнхен 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .
↑ ^б^с^д^е^е^г^ч^я^J^K^L Бернд Маркерт : Механика 2 эластостатики - Статика деформируемых тел. 2-е издание. Институт общей механики Аахен , Аахен 2015.
↑ Герберт Манг , Гюнтер Хофштеттер: Теория силы . 4-е издание. Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 .
↑ Основное упражнение на устойчивость, упругое изгибание, случаи Эйлера. ( Memento из в оригинале от 4 марта 2016 года в Internet Archive ) Info: архив ссылка была вставлена автоматически и еще не была проверена. Проверьте исходную и архивную ссылку в соответствии с инструкциями, а затем удалите это уведомление. (PDF) Магдебургский университет, по состоянию на 10 октября 2015 г. @ 1@ 2

[3] Деформация (механика) # Напряжения в англоязычной Википедии

[4] x = X + u, где X - эталонная конфигурация (обычно недеформированная), а x - мгновенная система (обычно деформированное положение)

[5] Деформация (механика) # Деформация сдвига в англоязычной Википедии

[6] Многоосные диаграммы напряжения-деформации часто являются результатом теорий, предположений, стандартов ... и не всегда подтверждаются измерениями или, например, Б. чисто вымышленный и на всякий случай.

[7] Многие материалы обладают вязкими свойствами.

[8] Класс 1: Пластик в поперечном сечении, а также пластиковый шарнир системного уровня ; Класс 2: пластик на уровне поперечного сечения, но не на уровне системы; Класс 3: эластичный; Класс 4: из-за местных неровностей использование эластичного клюва не допускается.

[9] Допущение неприменимо к стальным конструкциям для классов поперечного сечения 1 или 2.

[11] Компоненты напряжения также могут быть отрицательными и, следовательно, меньшими.

[12] Это тот случай, когда применяется следующее: My = Mz = T = 0.

[13] Сталь используется на стороне растяжения (из соображений прочности при достаточном бетонном покрытии), чтобы иметь оптимальное плечо рычага для зоны давления бетона.

[14] W_o отрицательно в обычной системе координат.

[15] Это также относится к переменному модулю упругости и переменному моменту инерции области.

[16] В бетонном строительстве вам нужно только доказать кручение равновесия, но не кручение совместимости.

[18] Если геометрический момент инерции изменяется, вы обычно можете с уверенностью принять наименьший геометрический момент инерции при анализе предельной нагрузки .

[hibbeler-1] б^с^д^е^е^г^ч^я^J^K Рассела С. Hibbeler: Техническая механика 2 Прочность материалов . 8-е издание. Пирсон Германия, Мюнхен 2013, ISBN 978-3-86894-126-5 .

[markert-2] б^с^д^е^е^г^ч^я^J^K^L Бернд Маркерт : Механика 2 эластостатики - Статика деформируемых тел. 2-е издание. Институт общей механики Аахен , Аахен 2015.

[10] Герберт Манг , Гюнтер Хофштеттер: Теория силы . 4-е издание. Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-40751-2 .

[magdeburg-17] Основное упражнение на устойчивость, упругое изгибание, случаи Эйлера. ( Memento из в оригинале от 4 марта 2016 года в Internet Archive ) Info: архив ссылка была вставлена автоматически и еще не была проверена. Проверьте исходную и архивную ссылку в соответствии с инструкциями, а затем удалите это уведомление. (PDF) Магдебургский университет, по состоянию на 10 октября 2015 г. @ 1@ 2

Languages