Палиндром чисел

Числовые палиндромы или палиндромные числа - это натуральные числа , представление которых в системе счисления, читаемое спереди и сзади, имеет одинаковое значение, например Б. 1331 или 742247, но также 21 по основанию 2 (= 10101). Иногда для чисел с основанием используются общие обозначения a 1 a 2 a 3 ... | ... a 3 a 2 a 1 .

Термин палиндром был заимствован из лингвистики в теории чисел , разделе математики .

Палиндромы в десятичной системе счисления

Все числа в десятичной системе, состоящие только из одной цифры, являются палиндромными числами .

Всего существует девять двузначных палиндромных чисел:

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}

Всего существует 90 трехзначных чисел-палиндромов:

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,
202, 212, 222, 232, 242, 252, 262, 272, 282, 292,
303, 313, 323, 333, 343, 353, 363, 373, 383, 393,
404, 414, 424, 434, 444, 454, 464, 474, 484, 494,
505, 515, 525, 535, 545, 555, 565, 575, 585, 595,
606, 616, 626, 636, 646, 656, 666, 676, 686, 696,
707, 717, 727, 737, 747, 757, 767, 777, 787, 797,
808, 818, 828, 838, 848, 858, 868, 878, 888, 898,
909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

а также 90 четырехзначных палиндромных чисел:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,
2002, 2112, 2222, 2332, 2442, 2552, 2662, 2772, 2882, 2992,
3003, 3113, 3223, 3333, 3443, 3553, 3663, 3773, 3883, 3993,
4004, 4114, 4224, 4334, 4444, 4554, 4664, 4774, 4884, 4994,
5005, 5115, 5225, 5335, 5445, 5555, 5665, 5775, 5885, 5995,
6006, 6116, 6226, 6336, 6446, 6556, 6666, 6776, 6886, 6996,
7007, 7117, 7227, 7337, 7447, 7557, 7667, 7777, 7887, 7997,
8008, 8118, 8228, 8338, 8448, 8558, 8668, 8778, 8888, 8998,
9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999}

Это означает, что меньше 10 4 (то есть 10 000) имеется ровно 9 + 9 + 90 + 90 = 198 палиндромов. Всего существует 9 + 9 + 90 + 90 + 900 = 1098 числовых палиндромов, которые меньше 10 5 (т. Е. 100 000). Число палиндромов меньше 10 n следует за этой серией чисел: 1998 (для n = 6), 10998 (для n = 7 и т. Д.), 19998, 109998, 199998, 1099998, ... ( OEIS , A050250).

Кроме того, каждое целое число, которое не делится на 10, имеет положительное кратное, которое является десятичным палиндромом, что должно было быть доказано в задании на Федеральном конкурсе математиков 2009 года.

В правилах делимости также показывают , что все количество палиндромов с четным числом цифр, делятся на 11.

Генерация числовых палиндромов

Возведение чисел в квадрат

В десятичной системе проходит

Палиндромные числа, где [1] n - сокращенное обозначение n- кратного повторения 1, а n варьируется от 1 до 9.

1 * 1 знак равно 1
11 * 11 знак равно 121
111 * 111 знак равно 12321
1111 * 1111 знак равно 1234321
11111 * 11111 знак равно 123454321
111111 * 111111 знак равно 12345654321
1111111 * 1111111 знак равно 1234567654321
11111111 * 11111111 знак равно 123456787654321
111111111 * 111111111 знак равно 12345678987654321

Инверсия и сложение

Другой возможностью является итерационная схема, в которой любое положительное число (которое само по себе не является палиндромом) вращается по следующему алгоритму, пока не достигнет палиндрома :

  1. Поменяйте местами число (например, 84 на 48), т.е. ЧАС. создать номер зеркала
  2. Добавьте перевернутое число к его начальному числу (48 + 84 = 132)
  3. Снова поменяйте местами вновь созданное число (132 на 231)
  4. Снова сложите оба числа (132 + 231 = 363)

Для большинства чисел числовой палиндром возникает после определенного количества шагов вычисления (до 10 000 макс. 24 шага). Однако есть также числа, которые выступают против этой трансформации и для которых еще не было обнаружено палиндромных образований. Такие числа называются числами Лихрела ; самое известное число Лихрела - 196 . Поэтому вышеупомянутый алгоритм также упоминается как алгоритм 196.

Палиндромы при преобразовании системы счисления

Числовые палиндромы также могут возникать при преобразовании десятичных чисел в другую систему счисления.

В следующей таблице перечислены все числовые палиндромы (для чисел от 10 до 10 7 ), которые являются результатом преобразования десятичной системы счисления в соответствующую систему счисления.

База десятичное число Число в другой системе счисления
4-й 13 31 год
7-е 23 32
46 64
2116 6112
15 226 62 251
8 ( восьмеричный ) 1,527,465 5 647 251
9 445 544
313,725 527,313
3 454 446 6 444 543
12 ( двенадцатеричный ) 315,231 132 513
13 43 год 34
86 68
774 477
14-е 834 438
16 ( шестнадцатеричный ) 53 35 год
371 173
5141 1415
99 481 18 499
19-е 21-е 12
42 24
63 36
84 48
441 144
882 288
7721 1277
9471 1749
21-е 551 155
912 219
22-е 73 37
511 115
25-е 83 38
28 31 год 13
62 26-е
93 39
961 169
37 41 год 14-е
82 28
46 51 15-е
55 61 16
64 71 17-е
73 81 год 18-е
82 91 19-е

Сумма числа палиндромов

В эссе 2018 года было показано, что любое положительное целое число можно записать как сумму трех числовых палиндромов, независимо от используемой системы счисления с основанием 5 или более.

Смотри тоже

литература

веб ссылки

Индивидуальные доказательства

  1. ↑ A050250. Проверено 5 ноября 2020 года .
  2. ^ Упражнения федеральной олимпиады по математике 2009 1 тур. (PDF, 16 кБ) Проверено 16 ноября 2012 .
  3. ↑ Хавьер Силлеруэло, Флориан Лука, Льюис Бакстер: Каждое положительное целое число является суммой трех палиндромов В: Математика вычислений ( препринт arXiv )