Размер (математика)

Измерение представляет собой концепцию , в математике , который является по существу числом степеней свободы в движении в конкретной области обозначенной.

Концепция измерения встречается в разных контекстах. Ни одна математическая концепция не способна удовлетворительно определить размер для всех ситуаций, поэтому для разных комнат существуют разные термины.

Измерение Гамеля (размерность векторного пространства)

Воспроизвести медиафайл

Доказательство того, что каждый базис векторного пространства имеет одинаковую длину

Самым известным является размерность векторного пространства , также называемая размерностью Гамеля . Она равна толщине на основе векторного пространства. Следующие утверждения эквивалентны этому:

Размерность равна мощности минимальной генерирующей системы .
Размерность равна толщине максимальной системы линейно независимых векторов.

Например, геометрически четкое евклидово 3-пространство имеет размерность 3 (длина, ширина, высота). Евклидова плоскость имеет размерность 2, числовая прямая имеет размерность 1, а точка имеет размерность 0. Как правило, векторное пространство имеет размерность . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle n}$

Векторным пространствам, не имеющим конечной системы порождающих, также может быть присвоена мощность минимальной системы порождающих как размерность; тогда это бесконечное кардинальное число . Векторное пространство с конечной размерностью называется конечномерным , иначе бесконечномерным .

Слово «Амель основы» используются в основном для бесконечномерных векторных пространств , так как Георг Амель был первым , чтобы доказать существование базиса в этом случае (с помощью хорошо порядка теоремы, то есть в аксиомах о выборе ).

Размерность гильбертова пространства

Каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис . Только когда он имеет конечное число элементов, он является базисом Гамеля в смысле, определенном выше. Можно показать, что каждые два ортонормированных базиса имеют одинаковое количество элементов, и, таким образом, можно определить размерность гильбертова пространства как мощность ортонормированного базиса; это тоже кардинальное число . Этого кардинального числа достаточно для полной классификации гильбертовых пространств: для каждого кардинального числа существует ровно одно гильбертово пространство, за исключением изоморфизма , который имеет ортонормированный базис соответствующей мощности.

Пример: гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на [0, 1] имеет размерность гильбертова пространства, но размерность Гамеля действительно больше. ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Размерность многообразия

Хорошо известные двумерные многообразия - это поверхность сферы или лента Мёбиуса .

Каждая точка многообразия имеет окрестность , которая гомеоморфно в n - мерном евклидовом пространстве; это называется размерностью многообразия. Например, каждая точка на сферической поверхности имеет небольшую площадь, которую можно по существу понимать как «двумерную плоскую поверхность». Чтобы размерность не зависела от выбора точки, размерный термин обычно используется только для соединенных коллекторов или коллекторов, которые определены с самого начала таким образом, что пространство модели и, следовательно, размерность везде одинаковы. Например, точка на поверхности ленты Мебиуса имеет «окружение на 360 °», а точка на краю имеет «окружение только на 180 °». ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Размерность метрического пространства

Измерение Хаусдорфа позволяет назначить измерение каждому подмножеству метрического пространства. Размерность Хаусдорфа является нижняя грань по всем , для которых размерность Хаусдорфа равна нулю. Это эквивалентно супремуму по всем, для кого мера Хаусдорфа бесконечна. ${\ displaystyle s> 0}$ ${\ displaystyle H ^ {s} (X)}$ ${\ displaystyle s> 0}$

Размерность симплициального комплекса

Размер абстрактного симплекса, содержащего углы, определяется как . Размерность симплициального комплекса определяется как максимум размерности всех симплексов, входящих в . Если размерность симплексов не ограничена, то называется бесконечномерным. ${\ displaystyle k + 1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Длина цепи как размер

Размерность векторного пространства равна максимальной длине (количеству включений) цепочки подпространств, содержащихся друг в друге. Взгляд на размер как на длину цепи позволяет сделать обобщение на другие конструкции.

Например, размерность Крулля коммутативного кольца определяется как максимальная длина цепочки взаимосвязанных простых идеалов минус 1.

Точно так же размерность многообразия - это максимальная длина цепочки многообразий, содержащихся друг в друге, в которой каждое звено цепи является ребром подмножества предыдущего. Например, край земного шара - это поверхность земли; Граница их подмножества Германия - это государственная граница; Край определенной граничной секции - это две конечные точки - поскольку цепи больше нет, глобус имеет размерность 3. Поскольку включение и формирование ребер всегда определены, это обеспечивает термин размерности для каждого топологического пространства (так называемое индуктивное измерение ). Более распространенная концепция топологического измерения - это измерение покрытия Лебега .

Топологическое измерение

Топологическое пространство имеет размерность , если это наименьшее натуральное число , такое , что для каждой открытой крышке имеется более тонкая открытое покрытие , так что каждая точка из лжи не более чем в наборах . Если такой вещи нет , она называется бесконечной размерностью. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (U_ {я}) _ {я}}$ ${\ displaystyle (V_ {j}) _ {j}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle V_ {j}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$

Кроме того, так называемая индуктивная размерность используется в топологии как альтернатива измерению покрытия Лебега :

Фрактальное измерение

В дополнение к указанным до сих пор целочисленным измерениям мы также знаем обобщенные, рациональные или действительные размерные термины , с помощью которых можно сравнивать так называемые фракталы .

Алгебраическая геометрия

См. Алгебраическое разнообразие и размерность (коммутативная алгебра) (размерность Крулля).

Размер заказа

Понятие размерности порядка на основе теоремы Dushnik-Миллера , в соответствии с которым каждый частичный порядок на множестве может быть представлено как пересечение из линейных порядков . Частично упорядоченное множество затем присваивается наименьший толщина такой представительной системы линейных отношений порядка как размерности упорядочения . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (Х, \ leq)}$ ${\ displaystyle X}$

Смотри тоже

веб ссылки

Габаритные размеры

Languages