Лента Мебиуса

Лента Мебиуса из бумаги

Лента Мебиуса из гранита: Скульптура « Бесконечная петля » Макса Билла из гранита Транас ; Stadtgarten Essen (на Гогенцоллернштрассе)

Лента Мёбиуса, петля Мёбиуса или лента Мёбиуса описывает поверхность, которая имеет только один край и одну сторону. Он не ориентируется , то есть нельзя различать нижнее и верхнее или внутреннее и внешнее.

Полоса Мебиуса была независимо описана в 1858 году геттингенским математиком и физиком Иоганном Бенедиктом Листингом и лейпцигским математиком и астрономом Августом Фердинандом Мебиусом .

описание

Воспроизвести медиафайл

Шарики на краю ленты Мебиуса переключают стороны

Ленту Мебиуса легко сделать, склеив длинную полоску бумаги обоими концами вместе в кольцо, но перед склеиванием повернув один конец на 180 °. Такие ленты Мёбиуса имеют центральную линию, которая не может занимать круг, если только полоса не растягивается локально. Форма, которую такая полоса может принимать в нерастянутом состоянии, полностью описывается ходом центральной линии. Полосы Мебиуса, центральная линия которых представляет собой круг даже в расслабленном состоянии, не могут быть изготовлены из прямой двухмерной полосы бумаги - они имеют подэлементы неравномерной формы по их окружности, из которых их можно рассматривать как собран.

Полосы Мебиуса хиральные .

Полоса Мебиуса сливается сама с собой таким образом, что если вы начинаете раскрашивать поверхность с одной из кажущихся двух сторон, в конце вы окрашиваете весь объект.

Лента Мебиуса разрезана один раз

Лента Мебиуса прорезана дважды

Другие интересные эффекты возникают, если вы нарисуете центральную линию или две линии, параллельные центральной линии на ленте, и разрежете ленту вдоль этой (-ых) линии (-ей), то есть она будет выглядеть пополам или третям. В первом случае, т.е. при резке по центральной линии, создается кольцо двойной скрутки (скрученность на 720 °) с двумя сторонами и двумя краями. Во втором случае кольцо двойного скручивания создается из внешних третей, так как в первом случае средняя треть приводит к висящей на нем новой ленте Мебиуса. Эта игра может быть продолжена с любым количеством мелких делений: если вы «четверть» ленту, вы получите две двойные скрученные ленты, которые не только свисают вместе, но и чаще всего наматываются друг на друга; Если вы его «пятый», то получите ту же фигуру с дополнительной внутренней лентой Мёбиуса, которая висит на двух кольцах; Если вы «шестой» ободок, вы получите два кольца, которые дважды обвиваются друг вокруг друга и дважды обвиваются другим кольцом, причем внешнее и два внутренних кольца взаимозаменяемы по мере необходимости; Если вы «седьмое» его снова, добавляется полоса Мебиуса, которая висит на трех кольцах, и т. Д. Если знаменатель дроби, на которую, очевидно, делится полоса, прямой , значит, вы получите кольца; если оно является нечетным, полоса Мебиуса также петельная через кольцо. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = 2r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle п = 2r + 1}$

С математической точки зрения лента Мёбиуса - неориентируемое многообразие . Еще одна область, которая попадает в эту категорию, - бутылка Клейна ; Бутылку Клейна можно разделить на две части так, чтобы из нее образовались две полоски Мебиуса.

В природе

• Заряженные частицы, захваченные магнитным полем Земли, могут двигаться по ленте Мебиуса.
• Циклический белок Kalata B1, активный ингредиент растения Oldenlandia. O. affinis , как естественное средство z. Б. для индукции родов имеет топологию Мёбиуса.

В искусстве и литературе

Цветовая схема Мебиуса как модификация четырехцветного набора

Шарф Möbius

Скульптура Мебиуса - полосы Мебиуса, каждая толщиной и шириной, квадратное поперечное сечение, поворот на 180 °.

Логотип председательства Германии в Совете ЕС 2020

Известны изображения ленты Мебиуса в искусстве . Б. М. К. Эшера (том I и II Мёбиуса, 1963 г.), а позднее - Гидеона Мёбиуса-Шермана . Аргентинский художественный фильм « Мебиус» также затрагивает эту тему. Лента Мебиуса также обсуждается в литературе: структура серии рассказов Джона Барта « Затерянные в Funhouse» (англ. «Ambrose im Juxhaus») основана на принципе бесконечности или повторения (например, отсутствие центра) ленты Мебиуса. В книге также есть лента Мебиуса, отражающая постмодернистские литературные подходы («фрейм-сказка»). На нем написано: «Жила-была история, которая когда-то началась ...». Эта форма самореференции типична для так называемых странных циклов . В своем стихотворении Topologik лирик Эрих Фрид обращается к ленте Мебиуса: «Я создал сердце Мёбиуса, которое разрезает себя на безнадежные полосы». С 1930-х годов Макс Билл создал множество скульптур, которые соответствуют визуальным представлениям ленты Мебиуса : z. Б. Бесконечная петля (1935/37), Непрерывность (Цюрихское озеро; 1947, разрушено в 1948 году) или Бесконечная петля (Штадтгартен Эссен, на Гогенцоллернштрассе; 1974). Однако его скульптура « Непрерывность» (1986) не представляет собой полосу Мебиуса, вопреки распространенному мнению.

Логотип, разработанный для шестимесячного председательства Германии в Совете Европейского Союза 1 июля 2020 года, изображает ленту Мебиуса и символизирует «интегрирующую и инновационную Европу, в которой самые разные люди и интересы объединяются, чтобы сформировать общее целое». , согласно заявлению со стороны компании федерального правительства в контексте презентации.

Мёбиуса полоса также играет важную роль в Necroscope серии романов английского автора Брайан Ламли , который уже существует с 1986 года . Это символ некоторых персонажей, но особенно важен для главного героя Гарри Кио. Он учится способности путешествовать во времени с помощью так называемого континуума Мёбиуса, который ведет себя подобно ленте Мёбиуса.

Лента Мебиуса также является темой в серии Перри-Родана и здесь образует трехмерное описание модели для двух сторон трехмерной вселенной (arresum и paresum). ${\ displaystyle n}$

В своем романе фрау Соргедаль «Красивые белые руки» Ларс Густафссон развивает ленту Мебиуса, превращая ее в бутылку времени Мебиуса, в которой мы оказались в ловушке. Вне нашей жизни нет ничего.

В манге Angel Sanctuary судьбу высокого ангела Алексиэля и постоянное возрождение его души в человеческих телах, для которых предопределена жестокая и кровавая судьба, сравнивают с петлей Мебиуса.

В 2011 годе , опубликованном в языке романе немецкого Карта и территория от Мишеля Уэльбека , полоса Мебиуса выгравирован на могиле тарелки вымышленного персонажа Мишель Уэльбек.

В 2011 году студент- робототехник из Калифорнийского университета в Беркли Аарон Гувер создал коробку передач Мебиуса в качестве технического трюка с помощью 3D-печати .

Шахматы Мёбиуса - это вариант цилиндрических шахмат, в которых также думают о скручивании игрового поля при «соединении» длинных сторон.

В видеоигре Mario Kart 8 ипподром Marios Piste представляет собой полосу Мебиуса. Цифра 8 на логотипе также показывает полосу Мебиуса.

В моде также шарфы Möbius.

В стыковых Solaris , основанной на Станислав Лем от Беттины Bruinier и Катя Фридриха на Мюнхнер Фолькстеатре (2011), полоса Мебиуса , на которой модель автомобиль диски является важной частью производства (сценография: Markus Karner).

На логотипах Commerzbank и немецкой торговой выставки по уборке зданий изображена лента Мебиуса.

ГДР Avantgarde Band AG. Гейге посвятил песню группе Мебиуса на альбоме 1989 года Trickbeat.

В технологии

механика

• Ремень ременной передачи может быть выполнен в виде ремня Мебиуса. В коробках передач со шкивами с параллельными осями это облегчает натягивание и снятие ремня. После этого перестановка на 180 ° должна лежать в пустой пряди , ее можно осторожно направлять в продольном центре ленты с помощью двух роликов в ее боковом положении. В результате такого перекручивания зоны у края ремня немного растягиваются. Если флаттер изменяется, «обе стороны ремня» входят в зацепление, и материал ремня изгибается в одном направлении во время одного оборота и в противоположном направлении во время следующего.

Бытовая электроника

• В случае с Tefifon звуковая лента, сканированная иглой звукоснимателя, может быть сконструирована как лента Мебиуса, но это оказалось непрактичным.

Электротехника

• Схема аналог Мёбиуса является кольцевым счетчиком с инверсией ( Джонсон счетчиком ): бита последовательность А достигает начальное состояние после двух циклов, поэтому ячейки памятей могут быть использована , чтобы сосчитать до; Подсчет импульсов в быстрой последовательности.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$
• Как компактный резонатор с резонансной частотой в половину одинаковых линейных катушек.
• В качестве безиндукционного резистора, также известного как резистор Мёбиуса .

физика

• Как сверхпроводник с высокой температурой перехода.
• Стелларатор представляет собой тип термоядерного реактора , в котором плазма вносится на Мебиус-образную траекторию с помощью соответствующей формы катушек.

химия

• В виде « узловых молекул» с особыми свойствами ( узловаты , хиральность ).

нанотехнологии

• Как молекулярные моторы.
• В виде графеновой ленты (нанографита) с новыми электронными свойствами, такими как спиральный магнетизм.

По математике

Параметрическое представление

Участок ленты Мебиуса

Трехмерные изображения
улитки Мебиуса

Ленту Мёбиуса можно нарисовать как поверхность, используя следующее представление параметров :

${\ Displaystyle х (г, \ альфа) = \ соз (\ альфа) \ CDOT \ влево (1 + {\ гидроразрыва {г} {2}} \ соз {\ гидроразрыва {\ альфа} {2}} \ вправо) }$

${\ Displaystyle у (г, \ альфа) = \ грех (\ альфа) \ CDOT \ влево (1 + {\ гидроразрыва {г} {2}} \ соз {\ гидроразрыва {\ альфа} {2}} \ вправо) }$

${\ Displaystyle г (г, \ альфа) = {\ гидроразрыва {г} {2}} \ грех {\ гидроразрыва {\ альфа} {2}}}$

с и . Это создает полосу Мебиуса шириной 1, центральная линия которого совпадает с единичной окружности в плоскости ху . Угол имеет вершину в центре; по мере его изменения изменение ведет к поверхности, которая проходит между одним краем. Как легко видеть на картинке справа, это не лента Мебиуса, которую нужно делать из полосы бумаги - в горизонтальной части подэлементы напоминают симметричные трапеции . ${\ Displaystyle 0 \ Leq \ альфа <2 \ pi}$${\ Displaystyle -1 \ Leq г \ Leq 1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle r}$

С помощью цилиндрических координат лента Мебиуса может проходить через ${\ Displaystyle (г, \ тета, г)}$

${\ Displaystyle \ журнал (г) \ CDOT \ грех (\ тета / 2) = г \ CDOT \ соз (\ тета / 2)}$

быть описанным.

топология

Лента Мебиуса как фактор-пространство

В топологии предлагает математический способ изготовления ленты Мёбиуса путем склеивания концов бумажной ленты вместе в противоположных направлениях. Здесь лента Мёбиуса представляет собой фактор-пространство определенного квадрата , в котором две противоположные стороны по отношению эквивалентности для каждой идентифицированной являются. Диаграмма справа иллюстрирует это. ${\ Displaystyle (х, у) \ в [0,1] \ раз [0,1]}$ ${\ Displaystyle (0, y) \ sim (1,1-y)}$${\ Displaystyle 0 \ Leq Y \ Leq 1}$

Лента Мёбиуса - это компактное топологическое многообразие размерности 2.

геометрия

В области дифференциальной геометрии под лентой Мёбиуса понимается неориентируемая поверхность с отверстием . Его можно встроить в. Лента является стандартным примером неориентируемой поверхности. Полоса Мёбиуса допускает дифференцируемую структуру . Однако это не риманова поверхность , поскольку неориентируемые поверхности не допускают сложных структур .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Бумажная модель ленты Мебиуса, обсуждаемая в первом разделе, может быть развернута на плоскости . Следовательно, гауссова кривизна таких лент Мёбиуса исчезает . Как показано в разделе о параметризации ленты Мёбиуса, существуют также ленты Мёбиуса, которые нельзя развернуть на плоскости. Таким образом, согласно теореме egregium не все ленты Мёбиуса изометрически изоморфны друг другу .

Вариационное исчисление

Новые результаты по математическому описанию ленты Мебиуса были опубликованы в 2007 году учеными Е.Л. Старостиным и Г.Х.М. ван дер Хейденом . В частности, они математически вычислили форму, которую лента Мебиуса, сделанная из полосы, стремится принять сама, чтобы принять состояние с наименьшей энергией.

литература

• Райнер Хергес: Мёбиус, Эшер, Бах - бесконечная связь искусства и науки. В: Naturwissenschaftliche Rundschau . 58, 6, 2005, стр. 301-310.
• Клиффорд А. Пиковер: Лента Мёбиуса: Др. Чудесный оркестр Августа Мёбиуса по математике, играм, литературе, искусству, технологиям и космологии. Нью-Йорк 2006.

веб ссылки

• Эрик В. Вайсштейн : Лента Мебиуса . В: MathWorld (английский).
• Лента Мебиуса - веб-страница с фильмами (англ.).
• Свяжите ленту Мебиуса (PDF; 271 kB; английский).
• Логотип председательства Германии в Совете ЕС в 2020 году - «прочная связь для объединенной Европы»

Индивидуальные доказательства

1. ^ JJ О'Коннор, EF Робертсон: Список Иоганна Бенедикта. Биография. В: mathshistory.st-andrews.ac.uk. Проверено 10 апреля 2020 года.
2. ↑ ^{а б} Хольгер Дамбек: Числитель. Тайна ленты Мебиуса раскрыта. В: Spiegel.de . 19 июля 2007 г., по состоянию на 10 апреля 2020 г.
3. ↑ SC Hsu, PM Bellan: Исследование инжекции магнитной спиральности посредством получения изображений плазмы с помощью высокоскоростной цифровой камеры . В: IEEE Transactions on Plasma Science . Лента 30 , нет. 1 , февраль 2002 г., стр. 10-11 , DOI : 10,1109 / TPS.2002.1003898 . 
4. ^ В.Б. Герритсен: белок с топологическим изгибом. In: Protein Spotlight 20th Issue 20, March 2002, по состоянию на 10 апреля 2020 г.
5. ↑ Например, Энн Шлоен: Возрождение золота. Золото в искусстве ХХ века. (PDF; 1,8 МБ). В: Uni-Koeln.de. Диссертация на философском факультете Кельнского университета, глава 2.2. Cologne 2006, по состоянию на 10 апреля 2020 г.
6. ↑ Федеральное правительство представляет девиз, сайт и логотип. В: eu2020.de. 29 мая 2020, доступ к 12 апреля 2021 . 
7. ↑ Святилище ангелов . Том 3. Комиксы Карлсена, 1995, стр. 92.
8. ↑ Чарли Соррел: Настоящее снаряжение Мебиуса растопит ваш разум. В: Wired.com. 4 июля 2011, доступ к 10 апреля 2020 . 
9. ↑ Лавандовая ведьма: шарф Мебиуса. В: Lavendelhexe.net. 31 декабря 2009, доступ к 10 апреля 2020 . 
10. ^ Энн Штайнер: Производство на Фолькстеатр - Беттина Bruinier (направление). В кн . : Солярис после Станислава Лема - материалы к постановке. 27 ноября 2011 г.
11. ↑ Патент DE400399 : Устройство для фотографической записи звуков и их воспроизведения. Опубликовано 6 августа 1924 г. Заявитель: Dr. Ли де Форест. ‌
12. ↑ НТЗ. Выпуск 1, январь 1964 г., стр. 24-34.
13. ^ В. Хильберг: Счетчик витого кольца 500 мк, разрешение которого ограничено только скоростью переключения ворот . В кн . : Ядерные инструменты и методы . Лента 33 , 1965, стр. 322-324 , DOI : 10.1016 / 0029-554X (65) 90064-9 . 
14. ↑ JM Pond: Двухрежимные резонаторы Мебиуса и полосовые фильтры . В: IEEE Trans. Microwave Theory and Tech. Лента 48 , 2000, стр. 2465-2471 , DOI : 10,1109 / 22,898999 . 
15. ↑ Патент US3267406 : Неиндуктивный электрический резистор. Опубликовано 16 августа 1966 г. Изобретатель: Ричард Л. Дэвис. ‌
16. ^ Р. Перес-Энрикес: структурный параметр для высокотемпературной сверхпроводимости из октаэдрической ленты Мебиуса в перовскитах типа RBaCuO: 123 . В: Rev. Mex. Фа диез. 48, Дополнение 1, март 2002 г., стр. 262-267 , Arxiv : конд-мат / 0308019 . 
17. ↑ Гастон Р. Шаллер, Райнер Хергес: молекулы Мебиуса с изгибами и изгибами. В: Chem. Comm. 2013, с. 1254-1260.
18. ^ Олег Лукин, Фриц Vögtle : Узлы и нити молекул: химия и хиральность молекулярных узлов и их сборок . В: Angew. Chem. Int. Эд. Лента 44 , 2005, стр. 1456-1477 , DOI : 10.1002 / anie.200460312 . 
19. ↑ Ацуши Ямасиро, Юкихиро Шимои, Кикуо Харигая, Кацунори Вакабаяси: Новые электронные состояния в графеновых лентах - конкурирующие порядки спина и заряда . В: Physica E . Лента 22 , 2006, с. 688-691 , DOI : 10.1016 / j.physe.2003.12.100 , Arxiv : конд-мат / 0309636v1 . 
20. ^ Манфредо Пердигау ду Карму: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Прентис-Холл, Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, 1976, ISBN 0-13-212589-7 , стр.106 ( PDF; 18,7 МБ ).
21. ↑ Владимир Г. Иванцевич, Тияна Т. Иванцевич: Прикладная дифференциальная геометрия. Современное введение . World Scientific, 2007, ISBN 978-981-270-614-0 , стр. 18 . 
22. ↑ Лента Мебиуса . В: Гвидо Вальц (ред.): Лексикон математики . 1-е издание. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
23. ↑ EL Starostin, GHM van der Heijden: Форма ленты Мебиуса. 2007, аннотация. В: Материалы природы ( PDF; 442 kB ).