Пробел (математика)

Иерархия математических пространств: скалярное произведение индуцирует норму. Норма индуцирует метрику. Метрика индуцирует топологию.

В математике комната - это набор математических объектов со структурой . Это может быть основано на базовых структурах изображаемого объекта и / или на дополнительной математической структуре . В качестве центрального примера, векторное пространство состоит из набора объектов, называемых векторами , которые могут быть добавлены или умножены на скаляр (например, число ), так что результатом снова будет вектор того же векторного пространства, а также ассоциативный и распределительный применяются законы. Например, вещественные или комплексные числа , числовые кортежи , матрицы или функции могут служить математическими объектами .

Термин «пространство» в математике со временем значительно изменился. В то время как в классической математике пространство понимается как трехмерное визуальное пространство , геометрические свойства которого полностью определяются аксиомами , в современной математике пространства представляют собой просто абстрактные математические структуры, основанные на различных концепциях концепции измерения и свойства которых не полностью определены аксиомами стали. Концепция пространства в физике претерпела аналогичные изменения с 20 века .

Математические пространства можно классифицировать по разным уровням, например, по сопоставимости, по различимости и по изоморфизму . Комнаты часто образуют иерархию, то есть комната наследует все свойства комнаты более высокого уровня. Например, все скалярные пространства продукта также нормализованы пространства , так как скалярное произведение индуцирует в норме (The скалярной норме продукта ) на скалярном произведении пространства .

Номера в настоящее время используются практически во всех областях математики, то в качестве шумной линейной алгебры с векторными пространствами, в анализе с Folgen- и функциональными пространствами , в геометрии в аффинных и проективных пространствах, в топологии с топологическими и равномерными пространствами, функциональным анализом с метрикой и нормализованные пространства, дифференциальная геометрия с многообразиями , теория измерений с измерениями и пространствами измерения и стохастика с пространствами вероятностей .

история

До золотого века геометрии

В древней математике термин «пространство» был геометрической абстракцией трехмерного пространства, наблюдаемого в повседневной жизни . Аксиоматические методы были важным инструментом математических исследований со времен Евклида (около 300 г. до н.э.) . Декартовы координаты были введены с помощью Рене Декарт в 1637 году, таким образом устанавливая аналитическую геометрию . В то время, геометрическое были доктрины , как абсолютная истина рассматривается интуицией и логическим мышлением по аналогии с законами природы может быть признана, и аксиомы были очевидное последствием из определений рассматриваемых.

Между геометрическими фигурами использовались два отношения эквивалентности : соответствие и подобие . Переводы , вращения и отражения отображают фигуру в конгруэнтные фигуры, а гомотетии - в похожие фигуры. Например, все круги похожи друг на друга, а эллипсы на круги - нет. Третье отношение эквивалентности, введенное в 1795 году в проективной геометрии с помощью Монжа , соответствует проективным преобразованиям . При таких преобразованиях не только эллипсы, но также параболы и гиперболы могут быть отображены в окружности; в проективном смысле все эти фигуры эквивалентны.

Эти отношения между евклидовой и проективной геометрией показывают, что математические объекты не задаются вместе с их структурой . Скорее, каждая математическая теория описывает свои объекты в терминах некоторых из их свойств , а именно тех, которые были сформулированы с помощью аксиом, лежащих в основе теории. Расстояния и углы не упоминаются в аксиомах проективной геометрии, поэтому они не могут фигурировать в их теоремах. Вопрос «какова сумма трех углов треугольника » имеет значение только в евклидовой геометрии, но в проективной геометрии он не имеет значения.

В XIX веке возникла новая ситуация: в некоторых геометриях сумма трех углов треугольника четко определена, но отличается от классического значения (180 градусов ). В неевклидовой гиперболической геометрии, введенной в 1829 году Николаем Лобачевским и в 1832 году Яношом Бойяи (и, неопубликованной в 1816 году Карлом Фридрихом Гауссом ), эта сумма зависит от треугольника и всегда меньше 180 градусов. Эухенио Бельтрами и Феликс Кляйн вывели евклидовы модели гиперболической геометрии в 1868 и 1871 годах, соответственно , и таким образом обосновали эту теорию. Евклидова модель неевклидовой геометрии - это умный выбор объектов в евклидовом пространстве и отношений между этими объектами, которые удовлетворяют всем аксиомам и, следовательно, всем теоремам неевклидовой геометрии. Отношения этих выбранных объектов евклидовой модели имитируют неевклидовы отношения. Это показывает, что в математике существенное значение имеют отношения между объектами, а не сами объекты.

Это открытие заставило отказаться от притязаний на абсолютную истину евклидовой геометрии. Он показал, что аксиомы не являются ни очевидными, ни выводами из определений; скорее, это гипотезы . Важный физический вопрос, в какой степени они соответствуют экспериментальной реальности, больше не имеет ничего общего с математикой. Даже если определенная геометрия не соответствует экспериментальной реальности, ее положения все равно остаются математическими истинами.

Золотой век и не только

Николя Бурбаки называет период между 1795 г. ( начертательная геометрия Монжа) и 1872 г. ( программа Эрлангена Кляйна) «золотым веком геометрии». Аналитическая геометрия добилась больших успехов и смогла успешно заменить теоремы классической геометрии с расчетами по инвариантам из групп преобразований . С тех пор новые теоремы классической геометрии интересовали любителей больше, чем профессиональных математиков. Однако это не означает, что наследие классической геометрии потеряно. По словам Бурбаки, «классическая геометрия уступила место автономной и живой науке и впоследствии превратилась в универсальный язык современной математики».

Бернхард Риман объяснил в своей знаменитой лекции по абилитации в 1854 году, что каждый математический объект, который можно параметризовать действительными числами, можно рассматривать как точку в -мерном пространстве всех таких объектов. В наши дни математики обычно следуют этой идее и находят очень многообещающим использовать терминологию классической геометрии почти везде. Согласно Герману Ганкелю (1867), чтобы полностью оценить общую обоснованность этого подхода, математику следует рассматривать как «чистую теорию форм, целью которой является не сочетание размеров или их изображений, чисел, а мысли. объекты". ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Объект, параметризованный комплексными числами, можно рассматривать как точку -мерного комплексного пространства. Однако тот же объект также может быть параметризован действительными числами ( действительной и мнимой частями комплексных чисел) и, следовательно, может рассматриваться как точка в пространственном пространстве. Таким образом, комплексное измерение отличается от реального измерения. Однако концепция измерения намного сложнее. Алгебраическое понятие размерности относится к векторным пространствам , в топологическом понятие размерности к топологическим пространствам . Для метрических пространств существует также размерность Хаусдорфа , которая может быть нецелой, особенно для фракталов . Как заметил Риман, функциональные пространства обычно имеют бесконечную размерность. Некоторые комнаты, например комнаты, сделанные на заказ , вообще не допускают понятия измерения. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 2n}$ ${\ displaystyle 2n}$

Пространство, первоначально исследованное Евклидом, теперь называется трехмерным евклидовым пространством . Его аксиоматизация , начатая Евклидом 23 века назад, была завершена в 20 веке Давидом Гильбертом , Альфредом Тарски и Джорджем Биркгофом . Система аксиом Гильберта описывает пространство с помощью примитивов, которые не определены точно (например, «точка», «между» или «конгруэнтный»), свойства которых ограничены рядом аксиом. Такое определение с нуля в настоящее время мало пригодно, поскольку оно не показывает отношения между этой комнатой и другими комнатами. Современный подход определяет трехмерное евклидово пространство скорее алгебраически через векторные пространства и квадратные формы как аффинное пространство , разностное пространство которого является трехмерным скалярным пространством произведения .

Сегодня комната состоит из выбранных математических объектов (например, функций между другими комнатами, подсистемы другой комнаты или даже просто элементов набора), которые рассматриваются как точки, а также определенных связей между этими точками. Это показывает, что пространства - это просто абстрактные математические структуры.

Систематика

классификация

Комнаты можно разделить на три уровня. Поскольку любая математическая теория определяет свои объекты только некоторыми из их свойств, первый возникает вопрос: какие свойства?

Самый высокий уровень классификации различает комнаты разных типов. Например, евклидовы и проективные пространства бывают разных типов, поскольку расстояние между двумя точками определяется в евклидовом пространстве, но не в проективных пространствах. В качестве еще одного примера, вопрос «какова сумма трех углов треугольника» имеет смысл только в евклидовом пространстве, но не в проективном пространстве. В неевклидовых пространствах этот вопрос имеет смысл, и только на него по-другому отвечают, что не является различием на высшем уровне. Более того, различие между евклидовой плоскостью и трехмерным евклидовым пространством не является различием на высшем уровне, поскольку вопрос «что такое измерение» имеет смысл в обоих случаях.

Второй уровень классификационных взглядов на ответы на особо важные вопросы, среди тех , которые имеют смысл на самом высоком уровне. Например, этот уровень различает евклидовы и неевклидовы пространства, конечномерные и бесконечномерные пространства, компактные и некомпактные пространства и т. Д.

На третьем уровне классификации рассматриваются ответы на широкий круг вопросов, имеющих смысл на самом высоком уровне. Например, этот уровень различает пространства разных измерений, но не уровень трехмерного евклидова пространства, рассматриваемого как двумерное евклидово пространство, и набор всех пар действительных чисел, также рассматриваемый как двухмерное евклидово пространство. Он также не делает различий между разными евклидовыми моделями одного и того же неевклидова пространства. Третий уровень классифицирует пространства более формальным образом, за исключением изоморфизма. Изоморфизм между двумя пространствами является взаимно однозначным соответствием одному между точками первого пространства и точками второго пространства , которое сохраняет все отношения между точками. Взаимно изоморфные пространства рассматриваются как копии одного и того же пространства.

Концепция изоморфизма проливает свет на высший уровень классификации. Если существует взаимно однозначное соответствие между двумя пространствами одного типа, можно спросить, является ли это изоморфизмом или нет. Этот вопрос не имеет смысла для комнат разного типа. Изоморфизмы пространства на самом себе называются автоморфизмами . Автоморфизмы евклидова пространства - это смещения и отражения. Евклидово пространство однородно в том смысле, что любая точка пространства может быть преобразована в любую другую точку пространства с помощью определенного автоморфизма.

Отношения между пространствами

Топологические термины (такие как непрерывность , сходимость и открытые или замкнутые множества ) естественным образом определяются в любом евклидовом пространстве. Другими словами, каждое евклидово пространство также является топологическим пространством. Любой изоморфизм между двумя евклидовыми пространствами также является изоморфизмом между двумя топологическими пространствами (называемый гомеоморфизмом ), но противоположное направление неверно: гомеоморфизм может деформировать расстояния. Согласно Бурбаки, структура «топологического пространства» лежит в основе «евклидова пространства».

Аксиомы Евклида не оставляют степеней свободы , они четко определяют все геометрические свойства пространства. Точнее, все трехмерные евклидовы пространства изоморфны между собой. В этом смысле есть «трехмерное евклидово пространство». Согласно Бурбаки, соответствующая теория однолистны . Напротив, топологические пространства, как правило, не изоморфны, а их теория многовалентна . По словам Бурбаки, изучение многовалентных теорий - важнейшая черта, которая отличает современную математику от классической математики.

Важные места

Векторные пространства и топологические пространства

Векторные пространства по своей природе алгебраичны ; есть вещественные векторные пространства (над полем из действительных чисел ), комплексные векторные пространства (над полем комплексных чисел ) и общие векторные пространства над любым полем. Каждое комплексное векторное пространство также является реальным векторным пространством, поэтому последнее пространство основано на первом, поскольку каждое действительное число также является комплексным числом. Линейные операции , которые по определению задаются в векторном пространстве, приводят к таким терминам, как прямая линия (также плоскость и другие субвекторные пространства ), параллель и эллипс (также эллипсоид ). Однако нельзя определить ортогональные прямые и выделить окружности среди эллипсов. Размерность векторного пространства определяется как максимальное число линейно независимых векторов или, что эквивалентно, минимальное число векторов , охватывающих пространство ; он может быть конечным или бесконечным. Два векторных пространства над одним и тем же телом изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

Топологические пространства носят аналитический характер. Открытые наборы , которые даются по определению в топологических пространствах, приводят к таким понятиям, как непрерывность , путь , предельное значение , внутренние , края и внешний вид. Однако такие термины, как равномерная непрерывность , ограниченность , последовательность Коши или дифференцируемость, остаются неопределенными. Изоморфизмы между топологическими пространствами традиционно называются гомеоморфизмами ; это взаимно однозначные соответствия в обоих направлениях. Открытый интервал гомеоморфно вещественной числовой прямой , но не гомеоморфно отрезку или окружности. Поверхность куба гомеоморфна сфере , но не гомеоморфна тору . Евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны, что правдоподобно, но трудно доказать. ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ Displaystyle (- \ infty, \ infty)}$ ${\ displaystyle [0,1]}$

Размерность топологического пространства определить непросто; используются индуктивная размерность и размерность покрытия Лебега . Каждое подмножество топологического пространства само является топологическим пространством (в отличие от этого, только линейные подпространства векторного пространства также являются векторными пространствами). Произвольные топологические пространства, рассматриваемые в теоретико- множественной топологии , слишком разнообразны для полной классификации, они, как правило, неоднородны. Компактные топологические пространства - важный класс топологических пространств, в которых каждая непрерывная функция ограничена . Закрытый интервал и расширенная линия действительных чисел компактны; открытый интервал и действительная числовая линия - нет. Геометрическая топология рассмотрены многообразия ; это топологические пространства, локально гомеоморфные евклидовым пространствам. Маломерные многообразия полностью классифицированы, за исключением гомеоморфизма. ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle [- \ infty, \ infty]}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ Displaystyle (- \ infty, \ infty)}$

Структура топологического векторного пространства основана на двух структурах векторного пространства и топологического пространства . То есть топологическое векторное пространство - это реальное или комплексное векторное пространство, а также (даже однородное) топологическое пространство. Однако любые комбинации этих двух структур обычно не являются топологическими векторными пространствами; две структуры должны соответствовать друг другу, то есть линейные операции должны быть непрерывными.

Каждое конечномерное вещественное или комплексное векторное пространство является топологическим векторным пространством в том смысле, что оно несет ровно одну топологию, которая делает его топологическим векторным пространством. Таким образом, две структуры «конечномерное вещественное или комплексное векторное пространство» и «конечномерное топологическое векторное пространство» эквивалентны, то есть они взаимно основаны. Соответственно, любое обратимое линейное преобразование конечномерного топологического векторного пространства является гомеоморфизмом. Однако в бесконечной размерности различные топологии соответствуют данной линейной структуре, и обратимые линейные преобразования, как правило, не являются гомеоморфизмами.

Аффинные и проективные пространства

Аффинное и проективное пространства над векторными пространствами удобно вводить следующим образом. - Мерное подпространство n - мерного векторного пространства само по себе является мерным векторным пространством , и как таковой не является однородным: оно содержит особую точку с происхождением . -Мерное аффинное пространство, которое является однородным, получается путем сдвига вектора, которого нет в этом субвекторном пространстве. По словам Джона Баэза , «аффинное пространство - это векторное пространство, забывшее свое происхождение». Прямая линия в аффинном пространстве - это, по определению, ее пересечение с двумерным линейным подпространством (плоскостью, проходящей через начало координат) -мерного векторного пространства. Каждое векторное пространство также является аффинным пространством. ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (п + 1)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (п + 1)}$

Каждая точка аффинного пространства - это его пересечение с одномерным субвекторным пространством (прямая линия, проходящая через начало координат) -мерного векторного пространства. Однако некоторые одномерные подпространства параллельны аффинному пространству, некоторым образом они пересекаются на бесконечности . Множество всех одномерных субвекторных пространств -мерного векторного пространства по определению является -мерным проективным пространством. Если, как и раньше, выбрать -мерное аффинное пространство, то можно заметить, что аффинное пространство вложено как вещественное подмножество в проективное пространство. Однако само проективное пространство однородно. Прямая линия в проективном пространстве по определению соответствует двумерному субвекторному пространству -мерного векторного пространства. ${\ Displaystyle (п + 1)}$ ${\ Displaystyle (п + 1)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle (п + 1)}$

Определенные таким образом аффинные и проективные пространства имеют алгебраическую природу. Они могут быть реальными, сложными или вообще определенными для любой области. Каждое реальное (или комплексное) аффинное или проективное пространство также является топологическим пространством. Аффинное пространство - это некомпактное многообразие, проективное пространство - это компактное многообразие.

Метрические и равномерные пространства

Расстояния между точками определены в метрическом пространстве . Каждое метрическое пространство также является топологическим пространством. В метрическом пространстве (но не непосредственно в топологическом пространстве) определены ограниченные множества и последовательности Коши. Изоморфизмы между метрическими пространствами называются изометриями . Метрическое пространство называется полным, если все последовательности Коши сходятся. Каждое неполное пространство изометрически вложено в свое пополнение. Каждое компактное метрическое пространство полно; строка действительных чисел не компактная, а полная; открытый интервал не полный. ${\ displaystyle (0,1)}$

Топологическое пространство называется метризуемым, если оно основано на метрическом пространстве. Все многообразия метризуемы. Каждое евклидово пространство также является полным метрическим пространством. Кроме того, все геометрические термины, необходимые для евклидова пространства, могут быть определены с помощью его метрики. Например, расстояние между двумя точками и состоит из всех точек , поэтому расстояние между и равно сумме расстояний между и и и . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$

Равномерные пространства не позволяют вводить интервалы, но, тем не менее, можно определить такие концепции, как равномерная непрерывность, последовательности Коши, полнота и завершение. Каждое однородное пространство также является топологическим пространством. Каждое топологическое векторное пространство (независимо от того, метризировано оно или нет) также является однородным пространством. В более общем смысле каждая коммутативная топологическая группа является однородным пространством. Однако некоммутативная топологическая группа имеет две равномерные структуры: левоинвариантную и правоинвариантную. Топологические векторные пространства полны в конечных измерениях, но, как правило, не в бесконечных измерениях.

Нормализованные пространства и пространства скалярных произведений

Векторы в евклидовом пространстве образуют векторное пространство, но каждый вектор также имеет длину , другими словами, норму . Действительное или комплексное векторное пространство с нормой называется нормализованным пространством. Каждое нормализованное пространство одновременно является топологическим векторным пространством и метрическим пространством. Набор векторов с нормой меньше единицы называется единичной сферой нормализованного пространства. Это выпуклое и центрально-симметричное множество, но обычно не эллипсоид, например, он также может быть выпуклым многогранником . Уравнение параллелограмма обычно не выполняется в нормализованных пространствах, но оно применяется к векторам в евклидовых пространствах, что следует из того факта, что квадрат евклидовой нормы вектора соответствует скалярному произведению на себя. Банахово пространство является полностью нормализована пространство. Многие последовательности или функциональные пространства являются бесконечномерными банаховыми пространствами.

Пространство скалярного произведения - это вещественное или комплексное векторное пространство, которое имеет билинейную или полуторалинейную форму, которая должна удовлетворять определенным условиям и поэтому называется скалярным произведением . В пространстве скалярных произведений также определены углы между векторами. Каждое пространство скалярного произведения также является нормализованным пространством. Нормализованное пространство основано на пространстве скалярных произведений тогда и только тогда, когда в нем выполняется уравнение параллелограмма или, что то же самое, если его единичная сфера является эллипсоидом. Пространства всех -мерных вещественных скалярных произведений изоморфны между собой. Можно сказать, что -мерное евклидово пространство - это -мерное вещественное скалярное пространство- произведение , забывшее свое происхождение. Гильбертово пространство является полным скалярным произведением пространства . Некоторые последовательности и функциональные пространства являются бесконечномерными гильбертовыми пространствами. Гильбертовы пространства очень важны для квантовой механики . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Дифференцируемые и римановы многообразия

Дифференцируемые многообразия редко называют пространствами, но их можно понимать как таковые. Гладкие (дифференцируемые) функции, кривые и отображения , заданные по определению в дифференцируемом многообразии, приводят к касательным пространствам . Всякое дифференцируемое многообразие является (топологическим) многообразием. Гладкие поверхности в конечномерном векторном пространстве, такие как поверхность эллипсоида, но не многогранника , являются дифференцируемыми многообразиями. Каждое дифференцируемое многообразие можно вложить в конечномерное векторное пространство. Гладкая кривая на дифференцируемом многообразии имеет в каждой точке касательный вектор, который принадлежит касательному пространству в этой точке. Касательное пространство к -мерному дифференцируемому многообразию является -мерным векторным пространством. Гладкая функция имеет дифференциал в каждой точке , т. Е. Линейный функционал на касательном пространстве. Вещественные или комплексные конечномерные векторные пространства, аффинные и проективные пространства также являются дифференцируемыми многообразиями. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Риманово многообразие или риманово пространство - это дифференцируемое многообразие, касательное пространство которого снабжено метрическим тензором . Евклидовы пространства, гладкие поверхности в евклидовых пространствах и гиперболические неевклидовы пространства также являются римановыми пространствами. Кривая в римановом пространстве имеет длину. Пространство Римана - это и дифференцируемое многообразие, и метрическое пространство, где расстояние соответствует длине кратчайшей кривой. Угол между двумя кривыми, которые пересекаются в точке, - это угол между их касательными векторами. Если отказаться от положительности скалярного произведения на касательном пространстве, получатся псевдоримановы (и особенно лоренцевы ) многообразия, важные для общей теории относительности .

Пространства измерения, пространства измерения и пространства вероятностей

Если вы обойдетесь без расстояний и углов, но сохраните объем геометрических тел, вы попадете в область теории размерностей. В классической математике геометрическое тело гораздо более правильное, чем просто набор точек. Край геометрического тела имеет нулевой объем, поэтому объем тела равен объему его внутреннего пространства, а внутреннее пространство может быть исчерпано бесконечным рядом кубов. Напротив, граница любого набора может иметь ненулевой объем, такой как набор всех рациональных точек в данном кубе. Теории меры удалось расширить понятие объема (или любой другой меры) на чрезвычайно большой класс множеств, так называемые измеримые множества. Однако во многих случаях невозможно присвоить меру всем величинам (см. Проблему измерения ). Измеримые величины образуют σ-алгебру . С помощью измеримых величин можно определить измеримые функции между измерительными помещениями.

Чтобы превратить топологическое пространство в измерительное, нужно снабдить его σ-алгеброй. Σ-алгебра борелевских множеств - наиболее распространенный, но не единственный выбор. В качестве альтернативы σ-алгебра может быть порождена заданным семейством множеств или функций без учета какой-либо топологии. Различные топологии часто приводят к одной и той же σ-алгебре, например, топология нормы и слабая топология на сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждая часть измерительной комнаты сама по себе является измерительной комнатой. Стандартные измерительные помещения, также называемые стандартными помещениями Бореля, особенно полезны. Каждое борелевское множество, в частности каждое замкнутое и каждое открытое множество в евклидовом пространстве и, в более общем смысле, в полностью сепарабельном метрическом пространстве (так называемое польское пространство ) является стандартным пространством измерений . Все бесчисленные стандартные измерительные пространства изоморфны друг другу.

Пространство измерения - это пространство измерения, которое снабжено измерением . Например, евклидово пространство с мерой Лебега является пространством меры. В теории интегрирования интегрируемость и интегралы измеримых функций определяются на размерных пространствах. Величины нулевой меры называются нулевыми величинами . Нулевые наборы и подмножества нулевых наборов часто появляются в приложениях как незначительные наборы исключений: например, говорят, что свойство действительно почти везде, если оно применяется в дополнении к нулевому набору. Пространство измерения, в котором могут быть измерены все подмножества нулевых сумм, называется полным .

Вероятностное пространство - это пространство с мерой, в котором мера всего пространства равна 1. В теории вероятностей концепции теории меры обычно используют свои собственные обозначения, адаптированные к описанию случайных экспериментов: измеримые величины - это события, а измеримые функции между вероятностными пространствами называются случайными величинами ; их интегралы являются ожидаемыми значениями . Продукт конечного или бесконечного семейства вероятностных пространств снова является вероятностным пространством. В отличие от этого, только произведение конечного числа пространств определено для пространств общей размерности. Соответственно, существует множество бесконечномерных вероятностных мер, например нормальное распределение , но нет бесконечномерной меры Лебега.

Эти пространства менее геометрические. В частности, идея измерения, поскольку она применима в той или иной форме ко всем другим пространствам, не может быть применена к пространствам измерения, пространствам измерения и пространствам вероятности.

литература

Киёси Ито: энциклопедический математический словарь . 2-е издание. Математическое общество Японии (оригинал), MIT press (английский перевод), 1993 (английский).
Тимоти Гауэрс, Джун Бэрроу-Грин , Imre Leader: Принстонский компаньон по математике . Princeton University Press, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 (английский).
Николя Бурбаки: Элементы математики . Hermann (оригинал), Addison-Wesley (английский перевод) - (французский).
Николя Бурбаки: Элементы истории математики . Masson (оригинал), Springer (английский перевод), 1994 (французский).
Николя Бурбаки: Элементы математики: Теория множеств . Hermann (оригинал), Addison-Wesley (английский перевод), 1968 (французский).
Космос . В: Michiel Hazewinkel (Ed.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag и EMS Press, Берлин 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (английский, онлайн ).

Отдельные ссылки и комментарии

^ К. Ито: Энциклопедический словарь математики . 1993, стр. 987 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 11 .
^ ^A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 15 .
^ ^A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 133 .
^ ^A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 21 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 20 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 24 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 134-135 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 136 .
^ ^A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 138 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 140 .
^ Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 141 .
^ ^A^b Н. Бурбаки: Элементы математики: Теория множеств . 1968, Глава IV.
^ Н. Бурбаки: Элементы математики: Теория множеств . 1968, стр. 385 .
↑ Например, гауссову плоскость чисел можно рассматривать как одномерное векторное пространство и преобразовывать в двумерное вещественное векторное пространство. В отличие от этого, прямую действительную числовую линию можно рассматривать как одномерное реальное векторное пространство, но не как одномерное комплексное векторное пространство. См. Также увеличение тела .

[EDM987-1] К. Ито: Энциклопедический словарь математики . 1993, стр. 987 .

[BH11-2] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 11 .

[BH15-3] A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 15 .

[BH133-4] A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 133 .

[BH21-5] A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 21 .

[BH20-6] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 20 .

[BH24-7] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 24 .

[BH134-5-8] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 134-135 .

[BH136-9] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 136 .

[BH138-10] A^b Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 138 .

[BH140-11] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 140 .

[BH141-12] Н. Бурбаки: Элементы истории математики . 1994, стр. 141 .

[BS-13] A^b Н. Бурбаки: Элементы математики: Теория множеств . 1968, Глава IV.

[BSr385-14] Н. Бурбаки: Элементы математики: Теория множеств . 1968, стр. 385 .

[15] Например, гауссову плоскость чисел можно рассматривать как одномерное векторное пространство и преобразовывать в двумерное вещественное векторное пространство. В отличие от этого, прямую действительную числовую линию можно рассматривать как одномерное реальное векторное пространство, но не как одномерное комплексное векторное пространство. См. Также увеличение тела .

Languages