Сферическая тригонометрия

Сферическая тригонометрия является ветвью сферической геометрии (сферическая геометрия). В основном это касается расчета длин сторон и углов в сферических треугольниках .

Важные области применения:

• Расчеты расстояния, направления и площади на поверхности земли по заданным географическим координатам в геодезии
• Определение текущего положения звезды на воображаемой небесной сфере с помощью морского треугольника
• Определение точного положения звезд и систем отсчета в астрометрии
• Нивелирные и аппроксимационные методы расчетов на земном эллипсоиде .

Историческое прошлое

Есть указания на то, что вавилоняне и египтяне уже занимались сферической тригонометрией 4000 лет назад , чтобы вычислить курс звезд . Однако решить эту проблему они не смогли. Таким образом, история сферической тригонометрии тесно связана с астрономией . Около 350 г. до н.э. греки задумались о сферической геометрии, которая стала вспомогательной наукой астрономов .

С этого времени происходит древнейшее письмо о сферах: оно содержит предложения о сферических кругах; его автор - грек Автоликос фон Питан . Гиппарх Никейский был найден около 140 г. до н.э. Как вычислительные, так и графические методы для создания звездных карт и выполнения новых расчетов. Менелай Александрийский основал 98 г. до н. Э. Теорема о сумме углов в сферическом треугольнике и впервые перенесла формулы плоского треугольника на сферические треугольники.

Птолемей Александрийский открыл методы вычисления прямоугольных и наклонных треугольников между 125 и 150 годами нашей эры. Первые подходы к закону косинусов пришли из Индии . На основе индийских и греческих исследования, арабские математики продолжали развивать сферическую тригонометрию, Al-Баттани (около 900 г. н.э.) и Насир Эддина Тусю (около 1250 г. н.э.), который первый использовал синусоидальный закон и полярный треугольник , стоит упомянуть , включенным в математическом соображения. Во время великих открытий в 15 веке исследования сферической тригонометрии снова ускорились, поскольку положение в море должно быть улучшено, включая создание новых морских путей в Индию. Иоганнес Мюллер расширил знания греческих, индийских и арабских времен с помощью функции касательной и закона бокового косинуса.

Виета нашел теорему об угловом косинусе, используя полярный треугольник в 16 веке . Джон Напье (Neper, 1550–1617) привел тригонометрические теоремы в более легко применимые формы (например, правило Непера). Леонард Эйлер (1707–1783) наконец резюмировал предложения сферической тригонометрии в сегодняшней ясной форме.

Помимо Эйлера, многие другие математики расширили сферу и установили много новых соотношений между сторонами и углами сферического треугольника, в том числе Симон Л'Юилье (1750-1840), Жан-Батист Жозеф Деламбр (1749-1822), Карл Фридрих Гаус (1777–1855), Адриан-Мари Лежандр (1752–1833) и Давид Гильберт (1862–1943).

Благодаря дальнейшим математическим разработкам, таким как логарифм , было обнаружено множество новых методов и приложений сферической геометрии, например, в землеустройстве и картографии . В XIX и XX веках были разработаны другие неевклидовы геометрии, и сферическая тригонометрия также нашла свое применение в теории относительности .

Сферический треугольник

Если вы соедините три точки сферической поверхности , которые не все находятся на большом круге, с тремя дугами большого круга, вы получите восемь сферических треугольников и шесть точек пересечения, а именно конечные точки трех сферических диаметров. Итак, эти точки - углы, а дуги - стороны треугольников.

Длина стороны треугольника определяется как размер соответствующего угла центральной точки , то есть угла, который определяется конечной точкой первой стороны, центром сферы и конечной точкой второй стороны. Например, дуга большого круга, составляющая четверть полного большого круга, имеет длину 90 ° или (в радианах) . ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}$

Угол сферического треугольника соответствует углу, заключенному между двумя касательными в вершине, или (что эквивалентно) углу между плоскостями участвующих больших кругов.

Такой треугольник рассматривается ниже, углы α, β и γ лежат в соответствующих угловых точках треугольника ABC, все углы объясняются в радианах. Для определения сторон и поверхностей см. Сферическую геометрию .

Прямоугольный сферический треугольник

В прямоугольном сферическом треугольнике (угол 90 °) формулы для евклидовых треугольников обычно можно использовать в несколько измененном виде.

Формулы прямоугольного сферического треугольника

Требуется сферический треугольник с . ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ pi} {2}}}$

К этому применимы следующие формулы:

${\ Displaystyle \, \ соз с = \ соз а \ cdot \ соз Ь}$

${\ Displaystyle \, \ грех а = \ грех с \ CDOT \ грех \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ грех б = \ грех с \ CDOT \ грех \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ альфа = \ соз а \ CDOT \ грех \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ бета = \ соз б \ CDOT \ грех \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ соз с = \ детская кроватка \ альфа \ компакт-диск \ детская кроватка \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех а = \ загар б \ CDOT \ детская кроватка \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех Ь = \ загар а \ компакт-диск \ кроватка \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ альфа = \ загар b \ cdot \ cot c}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ бета = \ загар а \ cdot \ cot c}$

${\ Displaystyle \, \ загар \ а = \ загар с \ cdot \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ загар \ Ь = \ загар с \ cdot \ соз \ альфа}$

Первый из этих законов заменяет теорему Пифагора о плоской геометрии.

Все эти формулы для прямоугольных сферических треугольников суммированы в правиле Непера ( Neper 1550–1617): если части сферического треугольника расположены рядом друг с другом по кругу, прямой угол удаляется, а дополнения записываются для ноги: косинус части равен произведению котангенса соседних частей или равен произведению синуса противоположных частей.

Формулы для правого сферического треугольника

В правом сферическом треугольнике длина одной стороны составляет 90 °. В следующих формулах предполагается. ${\ displaystyle c = {\ frac {\ pi} {2}}}$

${\ Displaystyle \, \ соз а = - \ загар \ бета \ cdot \ кроватка \ гамма}$

${\ Displaystyle \, \ соз а = \ соз \ альфа \ CDOT \ грех Ь}$

${\ Displaystyle \, \ соз Ь = - \ загар \ альфа \ CDOT \ кроватка \ гамма}$

${\ Displaystyle \, \ соз Ь = \ грех а \ CDOT \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ альфа = \ загар \ бета \ cdot \ cot b}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ альфа = \ грех а \ CDOT \ грех \ гамма}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ бета = \ загар \ альфа \ cdot \ cot a}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ бета = \ грех б \ CDOT \ грех \ гамма}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ гамма = - \ раскладушка а \ cdot \ раскладушка Ь}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ гамма = - \ соз \ альфа \ CDOT \ соз \ бета}$

Эти формулы также являются результатом вышеупомянутого правила Непера : косинус части равен произведению котангенса соседних частей или равен произведению синусов противоположных частей. Сторона в 90 ° удаляется из частей, расположенных по кругу, и прилегающий к ней угол заменяется дополнительным углом, а противоположный угол - дополнительным углом.

Предложения для общего сферического треугольника

Следующее относится ко всем формулам:

Радиус сферы	${\ Displaystyle г \, \!}$
Половина окружности	${\ displaystyle s = {\ frac {a + b + c} {2}}}$
Половина превышения	${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ alpha + \ beta + \ gamma -180 ^ {\ circ}} {2}}}$

Сумма углов

Следующее относится к сумме углов сферического треугольника Эйлера.

${\ Displaystyle \ альфа + \ бета + \ гамма = {\ гидроразрыва {A} {г ^ {2}}} + \ pi}$ ,

где - площадь треугольника. Сумма углов сферического треугольника на единичной сфере колеблется между и , в зависимости от размера треугольника , который соответствует от 180 ° до 540 °.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 3 \ pi}$

Закон синуса

${\ displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} }$

«В каждом треугольнике отношение одной стороны к противоположному углу постоянно. Это отношение называется модулем треугольника »(Hammer 1916, стр. 447).${\ displaystyle \ sin}$${\ displaystyle \ sin}$

Закон бокового косинуса

${\ Displaystyle \, \ соз а = \ соз б \ CDOT \ соз с + \ грех б \ CDOT \ грех с \ CDOT \ соз \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ соз б = \ соз а \ CDOT \ соз с + \ грех а \ CDOT \ грех с \ CDOT \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ соз с = \ соз а \ cdot \ соз b + \ грех а \ компакт-диск \ грех b \ cdot \ соз \ гамма}$

Закон углового косинуса

${\ Displaystyle \, \ соз \ альфа = - \ соз \ бета \ CDOT \ соз \ гамма + \ грех \ бета \ CDOT \ грех \ гамма \ CDOT \ соз а}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ бета = - \ соз \ альфа \ CDOT \ соз \ гамма + \ грех \ альфа \ CDOT \ грех \ гамма \ CDOT \ соз b}$

${\ Displaystyle \, \ соз \ гамма = - \ соз \ альфа \ CDOT \ соз \ бета + \ грех \ альфа \ CDOT \ грех \ бета \ CDOT \ соз с}$

Теорема синус-косинусов

${\ Displaystyle \, \ грех а \ CDOT \ соз \ бета = \ соз б \ CDOT \ грех с- \ грех б \ CDOT \ соз с \ CDOT \ соз \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ грех б \ компакт-диск \ соз \ гамма = \ соз с \ компакт-диск \ грех а- \ грех с \ компакт-диск \ соз а \ компакт-диск \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех с \ CDOT \ соз \ альфа = \ соз a \ CDOT \ грех b- \ грех а \ CDOT \ соз б \ CDOT \ соз \ гамма}$

${\ Displaystyle \, \ грех а \ компакт-диск \ соз \ гамма = \ соз с \ компакт-диск \ грех b- \ грех с \ компакт-диск \ соз b \ компакт-диск \ соз \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ грех б \ CDOT \ соз \ альфа = \ соз а \ CDOT \ грех с- \ грех а \ CDOT \ соз с \ CDOT \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех с \ CDOT \ соз \ бета = \ соз б \ CDOT \ грех а- \ грех б \ CDOT \ соз а \ CDOT \ соз \ гамма}$

Касательная теорема

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {a + b} {2}}} {\ tan {\ frac {ab} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ alpha) + \ beta} {2}}} {\ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {b + c} {2}}} {\ tan {\ frac {bc} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ beta + \ gamma} {2}}} {\ tan {\ frac {\ beta - \ gamma} {2}}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ frac {c + a} {2}}} {\ tan {\ frac {ca} {2}}}} = {\ frac {\ tan {\ frac {\ gamma) + \ alpha} {2}}} {\ tan {\ frac {\ gamma - \ alpha} {2}}}}}$

Теорема котангенса (теорема котангенса)

${\ Displaystyle \, \ грех \ альфа \ CDOT \ детская кроватка \ бета = \ детская кроватка б \ CDOT \ грех с- \ соз с \ CDOT \ соз \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ альфа \ CDOT \ детская кроватка \ гамма = \ детская кроватка с \ компакт-диск \ грех b- \ соз b \ компакт-диск \ соз \ альфа}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ бета \ CDOT \ детская кроватка \ гамма = \ детская кроватка с \ CDOT \ грех а- \ соз а \ CDOT \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ бета \ CDOT \ детская кроватка \ альфа = \ детская кроватка \ CDOT \ грех с- \ соз с \ CDOT \ соз \ бета}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ гамма \ cdot \ детская кроватка \ альфа = \ детская кроватка а \ компакт-диск \ грех b- \ соз b \ компакт-диск \ соз \ гамма}$

${\ Displaystyle \, \ грех \ гамма \ CDOT \ кроватка \ бета = \ кроватка б \ CDOT \ грех а- \ соз а \ CDOT \ соз \ гамма}$

Уравнения Неперше

${\ displaystyle \ tan {\ frac {a + b} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {c} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {b + c} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ beta + \ gamma} {2}} = \ tan {\ frac {a} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ beta - \ gamma} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {c + a} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ gamma + \ alpha} {2}} = \ tan {\ frac {b} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ gamma - \ alpha} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {a + b} {2}} = \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {ab} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ beta + \ gamma} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {b + c} {2}} = \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {bc} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ gamma + \ alpha} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {c + a} {2}} = \ cot {\ frac {\ beta} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {ca} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {ab} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {c} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {bc} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ beta + \ gamma} {2}} = \ tan {\ frac {a} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ beta - \ gamma} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {ca} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ gamma + \ alpha} {2}} = \ tan {\ frac {b} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ gamma - \ alpha} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {a + b} {2}} = \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {ab} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ beta - \ gamma} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {b + c} {2}} = \ cot {\ frac {\ alpha} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {bc} {2}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ gamma - \ alpha} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {c + a} {2}} = \ cot {\ frac {\ beta} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {ca} {2}}}$

Уравнения Деламбреша (также Моллвейда или Гаусса)

${\ displaystyle \ sin {\ frac {a + b} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ gamma} {2}} = \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {c} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {b + c} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} = \ cos {\ frac {\ beta - \ gamma} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {a} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {c + a} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ beta} {2}} = \ cos {\ frac {\ gamma - \ alpha} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {b} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {a + b} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ gamma} {2}} = \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {c} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {b + c} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} = \ cos {\ frac {\ beta + \ gamma} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {a} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {c + a} {2}} \ cdot \ sin {\ frac {\ beta} {2}} = \ cos {\ frac {\ gamma + \ alpha} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {b} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {ab} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ gamma} {2}} = \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ cdot \ грех {\ frac {c} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {bc} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = \ sin {\ frac {\ beta - \ gamma} {2}} \ cdot \ грех {\ frac {a} {2}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {ca} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ beta} {2}} = \ sin {\ frac {\ gamma - \ alpha} {2}} \ cdot \ грех {\ frac {b} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {ab} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ gamma} {2}} = \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {c} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {bc} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = \ sin {\ frac {\ beta + \ gamma} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {a} {2}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {ca} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {\ beta} {2}} = \ sin {\ frac {\ gamma + \ alpha} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {b} {2}}}$

Полуугловой набор

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (sb) \ cdot \ sin (sc)} {\ sin b \ cdot \ sin c}}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ beta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (sc) \ cdot \ sin (sa)} {\ sin c \ cdot \ sin a}}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ gamma} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (sa) \ cdot \ sin (sb)} {\ sin a \ cdot \ sin b}}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (s) \ cdot \ sin (sa)} {\ sin b \ cdot \ sin c}}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ beta} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (s) \ cdot \ sin (sb)} {\ sin c \ cdot \ sin a}}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ gamma} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ sin (s) \ cdot \ sin (sc)} {\ sin a \ cdot \ sin b}}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ alpha} {2}} = {\ frac {\ tan {\ rho}} {\ sin (sa)}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ beta} {2}} = {\ frac {\ tan {\ rho}} {\ sin (sb)}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ gamma} {2}} = {\ frac {\ tan {\ rho}} {\ sin (sc)}}}$

Где : радиус вписанной окружности ${\ displaystyle \ rho}$

Набор на половину страницы

${\ displaystyle \ sin {\ frac {a} {2}} = {\ sqrt {\ frac {- \ cos \ sigma \ cdot \ cos (\ sigma - \ alpha)} {\ sin \ beta \ cdot \ sin \ гамма}}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {b} {2}} = {\ sqrt {\ frac {- \ cos \ sigma \ cdot \ cos (\ sigma - \ beta)} {\ sin \ gamma \ cdot \ sin \ альфа}}}}$

${\ displaystyle \ sin {\ frac {c} {2}} = {\ sqrt {\ frac {- \ cos \ sigma \ cdot \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ sin \ alpha \ cdot \ sin \ бета}}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {a} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos (\ sigma - \ beta) \ cdot \ cos (\ sigma - \ gamma)} {\ sin \ beta \ cdot \ sin \ gamma}}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {b} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos (\ sigma - \ gamma) \ cdot \ cos (\ sigma - \ alpha)} {\ sin \ gamma \ cdot \ sin \ alpha}}}}$

${\ displaystyle \ cos {\ frac {c} {2}} = {\ sqrt {\ frac {\ cos (\ sigma - \ alpha) \ cdot \ cos (\ sigma - \ beta)} {\ sin \ alpha \ cdot \ sin \ beta}}}}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {a} {2}} = \ tan \ rho \ cdot \ cos (\ sigma - \ alpha)}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {b} {2}} = \ tan \ rho \ cdot \ cos (\ sigma - \ beta)}$

${\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} = \ tan \ rho \ cdot \ cos (\ sigma - \ gamma)}$

в котором

${\ Displaystyle \ sigma = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ cdot (\ альфа + \ бета + \ гамма)}$

${\ displaystyle \ rho}$: Радиус периметра

Формула Л'Юилье

${\ displaystyle \ tan {\ frac {\ epsilon} {4}} = {\ sqrt {\ tan {\ frac {s} {2}} \ tan {\ frac {sa} {2}} \ tan {\ frac {sb} {2}} \ tan {\ frac {sc} {2}}}}}$

Площадь

В телесном угле результаты так называемый сферического избыток:

${\ Displaystyle \, \ epsilon = \ альфа + \ бета + \ гамма - \ пи}$.

Таким образом, абсолютная площадь равна:

${\ displaystyle \, A = \ epsilon \ cdot r ^ {2}}$.

Сферическая и плоская тригонометрия

С «маленькими» сферическими треугольниками кривизна в значительной степени незначительна, и предложения сферической тригонометрии сливаются в предложения плоской тригонометрии:
предложение, действительное для прямоугольных сферических треугольников, соответствует теореме Пифагора (см. Выше). Закон синусов сферической тригонометрии превращается в закон синусов плоской тригонометрии. Закон бокового косинуса сферической тригонометрии превращается в закон косинуса плоской тригонометрии. Закон углового косинуса сферической тригонометрии превращается в теорему о сумме углов для плоских треугольников. Относительно уплощения сферических треугольников см . Теорему Лежандра . ${\ Displaystyle \, \ соз с = \ соз а \ cdot \ соз Ь}$
${\ Displaystyle \, \ грех а \ приблизительно а}$

Приложения

науки о Земле

См. Высшая геодезия , математическая география и картографирование .

астрономия

См. Астрономические системы координат .

Основы

Небесный экватор будет проецируется от экватора Земли и в земной оси распространяется на мировой оси. Таким образом создается система координат неба с земли. Зенит является точкой в небе, которое точно над наблюдателем. Надир - это название контрапункта зенита на небесной сфере. Наблюдатель находится в точке на поверхности земли. Земля считается сферой, окруженной небесной сферой. Расчеты основаны на предположении, что вы можете видеть половину небесной сферы с точки наблюдения, то есть до истинного горизонта. Истинный горизонт - это плоскость, которая делит пополам обе сферы, а их нормальный вектор направлен от центра Земли к зениту. Наблюдатель находится не в центре Земли, а на поверхности, и его видимый горизонт описывается плоскостью, касательной к земному шару, которая проходит через его положение. Из-за того, что звезды практически бесконечно удалены по отношению к радиусу Земли, видимый и истинный горизонт практически идентичны. Небесный меридиан проходит через зенит и оба полюса. Все звезды на небе описывают круговые орбиты посредством вращения земной оси. Каждая звезда покрывает 360 ° по горизонтали за звездные сутки . Существует явление околополярных звезд, которые всегда видны с одной точки наблюдения. Вы около полюса мира. Размер приполярной области, отсчитываемый от полюса, соответствует широте наблюдателя. Таким образом, на полюсе находятся только циркумполярные звезды, которые движутся по орбитам, параллельным экватору. На экваторе нет циркумполярных звезд , а дневные дуги всех звезд представляют собой полукруги. Дуги , что звезда описывает с точки подъема до точки установки называется день дуги . Точка пересечения дневника с меридианом является высшей точкой звезды и также известна как верхняя точка кульминации. Циркумполярные звезды также имеют самую низкую точку на дневной дуге, которая называется нижней точкой кульминации.

Системы координат

Система горизонта

Базовый круг лежит в плоскости наблюдателя. Высота на небесной сфере измеряется в градусах. Горизонт 0 °, зенит 90 ° и надир -90 °. Зенитное расстояние , которое получается из 90 ° минус высота, часто используется вместо высоты . Южная точка выбирается в качестве нулевой точки, и второй позиционный угол, азимут , может быть измерен оттуда. Азимут - это угол между небесным меридианом и вертикальной плоскостью звезды. Азимут отсчитывается по часовой стрелке от 0 до 360 °. Высота полюса в месте равна географической широте . В северном полушарии Полярная звезда упрощает измерения. Преимущество системы горизонта заключается в том, что вы можете измерить высоту объекта, даже если вы не можете точно определить горизонт. Потому что направление на зенит совпадает с направлением силы тяжести . Два измерительных прибора, которые были очень распространены в прошлом, используют свойства системы горизонтов: теодолит и секстант .

Экваториальная система

Помимо системы горизонта, в которой координаты звезды постоянно меняются из-за вращения Земли, существует еще система экватора. Небесный экватор служит базовым кругом для этой системы. Высота над небесным экватором известна как склонение . Он может принимать значения от 90 ° ( северный небесный полюс ) до -90 ° ( южный небесный полюс ). Другая координата экваториальной системы - прямое восхождение , которое отсчитывается против часовой стрелки от весеннего экватора вдоль небесного экватора. Прямое восхождение связано с часовым углом . Отсчитывается по часовой стрелке от точки пересечения небесного экватора с небесным меридианом от 0 ° до 360 ° или от 0 до 24 часов.

Морской треугольник

Навигационный треугольник используется для преобразования двух систем. Это треугольник на поверхности небесной сферы с углами полюса, зенита и видимого расположения звезды. Формулы для преобразования могут быть получены из теоремы косинусов и синусов.

Сроки

Солнце как часы

Из - за поворота на земле , то солнце , очевидно , движется вокруг Земли один раз в течение дня. Земля обращается вокруг Солнца один раз в год. Если определить солнечный день как период от одной кульминации до другой, то также принимается во внимание, что Земля должна сделать немного больше, чем один полный оборот, чтобы достичь соответствующего положения. Сидерический день начинается с прохождения верхнего меридиана точки весеннего равноденствия, который фиксируется на небосводе. Поскольку орбита Земли не принимается во внимание, звездные сутки имеют всего 23 часа 56 минут. В году есть еще один звездный день, потому что с Земли вы можете видеть звезды каждый день, как и накануне, всего 4 минуты. ранее. Если смотреть с Земли, Солнце проходит через эклиптику, то есть точку пересечения небесной сферы и земной орбиты в течение года. В сезоны возникают из - за наклона земной оси к плоскости орбиты на 23 ° 27». Солнечные эфемериды указывают на небольшие колебания координат Солнца. Солнечное склонение имеет наименьшее значение во время зимнего солнцестояния и наибольшее во время летнего солнцестояния. В день равноденствия солнце встает точно на востоке и заходит на западе. Угол восточной точки и точки подъема наблюдателя называется утренним расстоянием. Угол разрушения наблюдателя в Вест-Пойнте соответствует длине вечера. Точка зенитного полюса в морском треугольнике может использоваться для расчета продолжительности дня.

Время заката (от момента кульминации) и место заката (от южной точки) можно рассчитать на основе высоты полюса (или географической широты) места и склонения солнца. При измерении времени днем считается время между двумя кульминациями солнца. Но поскольку орбита Земли не круговая, и из-за других факторов, у «истинного солнца» нет незначительных колебаний. Из-за наклона земной оси не работают и солнечные часы. Чтобы компенсировать эти недостатки истинного солнца, среднее солнце используется в качестве расчетной переменной. Один предполагает вымышленное солнце, которое движется по экватору . Истинное местное время получается из того, что часовой угол относительно истинного солнца меньше двенадцати часов. Среднее местное время можно рассчитать, исходя из часового угла среднего солнца минус двенадцать часов. Разница между истинным местным временем и средним местным временем называется уравнением времени , четыре раза в год оно принимает значение 0. Значения уравнения времени можно найти в таблицах. Поскольку местное время одинаково только на одной и той же долготе, разница заметна. Это приводит к появлению международных часовых поясов. Местное время на нулевом меридиане называется средним временем по Гринвичу или мировым временем . Долготу, на которой он расположен, можно определить, измерив местное время. Затем вы вычитаете местное время из местного времени в Гринвиче и получаете долготу.

Звезды как часы

Время можно определить по текущему положению звезды (или наоборот). Сидерическое время определяются как часовой угол весеннего равноденствия , т.е. , как угол между локальным меридианом ( большим кругом , на котором зенит, север точки и юг точка горизонта лежит) и склонение круг весенних равноденствие (большой круг, на котором расположены точка весеннего равноденствия и два небесных полюса). Этот угол отсчитывается на небесном экваторе , а именно от местного меридиана в направлении ЮСВ-В до точки весеннего равноденствия. 0 часов звездного времени означает, что точка весеннего равноденствия как раз проходит через местный меридиан, то есть это точно на юге для наблюдателя в северном полушарии и точно на севере для наблюдателя в южном полушарии. Один час звездного времени, очевидно, приравнивается к 15 ° (углу в градусах), так что 24 часа звездного времени соответствуют углу в 360 °. Сидерический день - это период между двумя последовательными прохождениями меридианов точки весеннего равноденствия. Это лишь немного (0,0084 с) меньше времени вращения Земли, которое составляет около 23 ч 56 мин 4 с. С помощью последней записи звездное время и солнечное время (гражданское время) могут быть преобразованы друг в друга.

Прямое определение звездного времени из точки весеннего равноденствия невозможно, так как весеннее равноденствие - это всего лишь воображаемая точка на небесной сфере. Ни одна звезда не занимает этого точного положения. Поэтому один измеряет час угла для любой звезды известных восхождений и вычисляет звездное время соответственно . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ vartheta}$${\ Displaystyle \ vartheta = \ тау + \ альфа}$

В некотором смысле звезды также являются часами на очень долгое время. Из-за вращения земной оси точка весеннего равноденствия смещается примерно на 50 дюймов в год. В течение платонического года , то есть примерно 26000 лет, он проходит через всю эклиптику один раз . Это явление называется прецессией .

Угол падения на солнечные панели

Если положение солнца на небе известно (см. Выше), угол падения солнца на план-коллекторы можно рассчитать с помощью сферической тригонометрии следующим образом:

${\ Displaystyle \ соз (я) = \ грех (ч) \ CDOT \ грех (ч_ {С}) + \ соз (а-а_ {С}) \ CDOT \ соз (ч) \ CDOT \ соз (ч_ {С })}$,

где и - азимутальный угол солнца и азимутальный угол коллектора, а и - вертикальный угол солнца и вертикальный угол коллектора . А это угол падения. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a_ {C}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h_ {C}}$${\ displaystyle i}$

литература

• Хьюго Рор: вклад в сферическую тригонометрию . Кооперативная книжная типография, Бреслау, 1903 г. ( оцифрованная версия )
• Э. Хаммер: Учебное пособие по плоской и сферической тригонометрии. Штутгарт 1916 г.
• Х. Керн, Дж. Рунг: сферическая тригонометрия. Мюнхен 1986 г.
• Исаак Тодхантер: Сферическая тригонометрия: для использования в колледжах и школах . Macmillan & Co., 1863 г.
  • И. Тодхантер: сферическая тригонометрия в Project Gutenberg (в настоящее время обычно недоступна для пользователей из Германии )

веб ссылки

• Пересечения в сферической тригонометрии
• Расчет сферических треугольников онлайн

Примечания и отдельные ссылки

1. ↑ Историческую справку см. В Kern / Rung 1986, стр. 120–125.
2. ↑ В случае треугольников не Эйлера сумма углов может составлять до или 900 °${\ displaystyle 5 \ pi}$