Эргодическая гипотеза

Эргодическая гипотеза (часто также называют эргодической теоремы ) утверждает , что термодинамические системы , как правило , ведут себя случайным образом ( « молекулярный хаос »), так что все энергетически возможные фазовое пространство области также достигнуты. Промежуток времени, в течение которого траектория находится в фазовом пространстве микросостояний в определенной области, пропорционален ее объему . Другими словами, гипотеза гласит, что термодинамические системы обладают свойством эргодичности .

Эргодическая гипотеза является фундаментальной для статистической механики . Среди прочего, он сочетает в себе результаты динамики моделирования молекулярных и моделирования методом Монте - Карло . С другой стороны, Планшерель и Розенталь в 1913 году доказали невозможность этого для классических (механических / детерминированных) систем в строгом смысле слова. Другими словами, чтобы не исключить эргодичность системы, необходимо включить реальный (т.е. не псевдослучайный) источник шума. В физике это либо термомеханический, либо квантово-механический характер. Биржу или игры также можно описать как эргодические процессы из-за большого количества случайных элементов. Если система эргодична, ее нельзя описать чисто механически.

Определение и ограничение

Точно предполагается, что среднее по времени значение равно среднему по ансамблю почти для всех измеряемых величин : ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle {\ overline {А (т)}}}$ ${\ displaystyle \ langle A \ rangle}$

${\ displaystyle {\ overline {A (t)}} = \ lim _ {t \ to \ infty} {\ frac {1} {t}} \ int _ {0} ^ {t} A (t ') \ mathrm {d} t '{\ overset {!} {=}} \ langle A \ rangle = \ sum _ {i} p_ {i} A_ {i},}$

где вероятность состояния данного в распределении вероятностей в ансамбле . ${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle i}$

Предпосылкой для достоверности является то, что рассматриваемый случайный процесс является стационарным (это свойство предполагается или моделируется таким образом) и имеет конечное время корреляции ; тогда эргодическая гипотеза применима в Лаймах бесконечного времени.

Более того, динамическая система эргодична (точнее: квазиэргодична ) постольку, поскольку траектория (то есть путь системы) приближается как можно ближе к любой точке фазового пространства за конечное время . Напротив, Людвиг Больцман в своей оригинальной работе 1887 года сформулировал, что поезд поражает все точки . Это различие существенно влияет на асимптотическое граничное поведение серий или последовательностей Коши и, таким образом, имеет какое-то отношение к изоляции (обычно бесконечно размерных пространств, таких как банаховы или гильбертовы пространства). Однако эти теории / определения были аксиоматизированы только после работы Больцмана и, таким образом, проложили путь к квантовой механике, поскольку математические инструменты, разработанные таким образом, также подходили для их описания.

Хотя эргодическая гипотеза кажется графически простой, ее строгое математическое описание чрезвычайно сложно из-за бесконечномерных пространств, упомянутых выше. В лучшем случае его можно опровергнуть с точки зрения технологии измерения, поскольку для его физического подтверждения (если процесс генерации неизвестен) потребуется бесконечно долгое время измерения.

травма, повреждение

В случае спонтанного нарушения симметрии нарушается эргодическая гипотеза (нарушение эргодичности). Тогда существуют непересекающиеся эргодические области в фазовом пространстве. Это может происходить с фазовыми переходами , с переходами стекла , т. Е. Когда жидкость затвердевает , или со спиновыми стеклами .

Использование в теории систем

Термин эргодическая гипотеза также используется в теории систем для классификации систем или сигналов, которые они генерируют : эргодический сигнал - это стохастический (то есть случайный) стационарный сигнал, который является как апериодическим, так и повторяющимся. Это, например, B. случай, когда сигнал имеет характерную форму волны без ее повторения с фиксированными интервалами , как z. B. Дело в телекоммуникациях с модуляцией. Здесь сообщение (в основном двоичное) отпечатано на характерной форме волны. Если бы сообщение было известно заранее (и, следовательно, не случайно), процесс не был бы эргодичным и никакая информация не передавалась бы. Здесь можно принять только двоичное решение относительно того, было ли вообще отправлено сообщение. Для этого должна быть возможность включить передатчик, чтобы принять это решение позже (и, следовательно, причинно). Этот процесс включения нарушает симметрию (см. Предыдущий раздел). Таким образом, существует тесная связь с термином энтропия, который исходит из термодинамики и используется для характеристики источников информации, что было впервые сделано Шенноном и, таким образом, привело к теории информации. Эргодические системы имеют тенденцию производить выходной сигнал, который лишь незначительно зависит от начального стимула, т.е. ЧАС. поведение постепенно становится все более и более случайным. Другими словами, эргодические системы стремятся к максимальному беспорядку (однородности), если нет сил, которые этому противодействуют.

• Эргодическая теория

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Статистическая термодинамика, Normand M. Laurendeau, Cambridge University Press, 2005, ISBN 0521846358 , стр. 379, ограниченный предварительный просмотр в поиске книг Google.
2. ↑ о разнице между эргодическим и квазиэргодическим и другие вопросы: См. Ричард Беккер : Теория тепла («Теория тепла», 1954). 1-е издание, Springer-Verlag, Berlin 1955. С. 97.
3. ↑ о квантовомеханическом обосновании: см. Альберт Мессия : Quantenmechanik, Volume 1 («Mécanique quantique», 1962). 2-е издание De Gruyter, Берлин 1985, стр. 17, ISBN 3-11-010265-X .

веб ссылки

• Эргодичность в цепях Маркова