В математике , экспоненциальная функция функция формы с действительным числом в качестве основы (базовый номер). В наиболее распространенной форме в качестве показателя степени допускаются действительные числа . В отличии от функций мощности , в котором основание представляет собой независимая величина (переменная) и показатель фиксируется, в случае показательных функций показатель степени (также показатель) от выражения мощности, переменные и база являются фиксированными. Именование тоже относится к этому. Показательные функции имеют в естественных науках , например Б. в математическом описании процессов роста выдающийся смысл (см. Экспоненциальный рост ).
Под естественной экспоненциальной или экспоненциальной функцией понимается экспоненциальная функция с числом Эйлера в качестве основания; Для этого также используются обозначения . Эта функция имеет особые свойства по сравнению с другими экспоненциальными функциями. Используя натуральный логарифм , уравнение можно использовать для приведения любой экспоненциальной функции к основанию . Таким образом, эта статья в основном посвящена экспоненциальной функции основания .
График экспоненциальной функции (красный) с касательной (голубая пунктирная линия) через точку 0/1
определение
Экспоненциальная функция с основанием может быть определена на действительных числах по-разному.
Одна из возможностей - это определение как степенного ряда , так называемого экспоненциального ряда.
-
,
где обозначает на факториал из .
Другая возможность заключается в определении в качестве предельного значения в последовательности с :
Оба типа также подходят для определения комплексной экспоненциальной функции комплексных чисел (см. Ниже).
Действительная экспоненциальная функция положительна, непрерывна, строго монотонно возрастает и сюръективна . Здесь обозначает множество положительных действительных чисел.
Следовательно, он биективен . Вот почему существует их обратная функция - натуральный логарифм .
Это объясняет термин антилогарифм для экспоненциальной функции.
Сходимость серий, преемственность
Показательная функция непрерывна в 0.
Поточечно сходимость в серии используется для определения экспоненциальной функции
может быть показан для всего реального и сложного просто с помощью факторного критерия; это даже подразумевает абсолютную конвергенцию . Следовательно, радиус сходимости степенного ряда бесконечен. Поскольку степенные ряды аналитичны в каждой внутренней точке их области сходимости , экспоненциальная функция также тривиально непрерывна в каждой действительной и комплексной точке .
Правила расчета
Поскольку экспоненциальная функция удовлетворяет функциональному уравнению, ее можно использовать для обобщения возведения в степень на действительные и комплексные показатели путем определения:
для всех и всех реальных или сложных .
В общем, это преобразование также применимо к любым другим значениям в качестве новой основы:
Такие функции называются экспоненциальными и «преобразуют» умножение в сложение. Следующие законы показывают это более точно:
-
а также
Эти законы применимы ко всем положительным реальным и и все реальные и . Выражения с дробями и корнями часто можно упростить с помощью экспоненциальной функции:
См. Также правила вычисления логарифмов .
Вывод
Большое значение экспоненциальной функции, то есть экспоненциальной функции с базисом , основано на том факте, что ее вывод приводит к самой функции:
Если вы дополнительно
требований, электронная функция фактически является единственной функцией, которая это выполняет. Таким образом, e-функцию также можно определить как решение этого дифференциального уравнения f '(x) = f (x) с этим начальным условием f (0) = 1.
В более общем смысле это следует из
и цепное правило вывода произвольных экспоненциальных функций:
В этой формуле натуральный логарифм не может быть заменен логарифмом с любым другим основанием; число e, таким образом, «естественным» образом используется в дифференциальном исчислении.
Неопределенный интеграл
По результатам вывода получается примитивная функция экспоненциальной функции:
-
.
Для любой экспоненциальной функции с и применяется следующее:
-
.
Экспоненциальная функция комплексных чисел
Цветное представление комплексной экспоненциальной функции. Темные цвета означают небольшие функциональные значения с точки зрения абсолютного значения, светлые / блеклые цвета означают большие функциональные значения. Базовый цвет представляет аргумент значения функции - угол, который значение функции имеет относительно действительной оси (точка обзора в начале координат). Положительные действительные значения отображаются красным цветом, отрицательные действительные значения - бирюзовым. Повторяющиеся цветные полосы ясно показывают, что функция периодична в мнимом направлении.
Действительная часть комплексной экспоненциальной функции
Мнимая часть комплексной экспоненциальной функции
С помощью отображения серии
экспоненциальная функция для комплексных чисел может быть определена. Серия абсолютно сходится для всех .
Показательные резервы для всех комплексных чисел , следующих важных функций:
Таким образом, экспоненциальная функция является сюръективным, но не инъективным гомоморфизмом группы абелевой группы в абелеву , то есть аддитивной группы тела в мультипликативную .
У экспоненты есть существенная особенность , иначе она голоморфна , т.е. т.е. это целая функция . Комплексная экспоненциальная функция периодична с комплексным периодом , поэтому выполняется
Если ограничить область определения полосой
с , тогда у него есть хорошо определенная обратная функция, комплексный логарифм .
Экспоненциальную функцию можно использовать для определения тригонометрических функций для комплексных чисел:
Это эквивалентно формуле Эйлера
-
.
Конкретное уравнение выводится из этого
сложные экспоненциальные колебания с угловой частотой и частотой, что важно в физике и технике .
Экспоненциальную функцию также можно использовать для определения гиперболических функций :
Общая мощность также может быть определена в комплексе :
-
с .
Значения степенной функции зависят от выбора одностворчатого диапазона логарифма, см. Также поверхность Римана . Его неоднозначность вызвана периодичностью его обратной функции, а именно экспоненциальной функции. Их основное уравнение
возникает из-за периодичности экспоненциальной функции с действительным аргументом . Их длина периода равна длине окружности единичного круга, которую функции синуса и косинуса описывают на основе формулы Эйлера . Экспоненциальная функция, синус и косинус являются лишь частями одной и той же экспоненциальной функции (обобщенной на комплексные числа), что неочевидно в реальном мире.
Экспоненциальная функция на произвольных банаховых алгебрах
Экспоненциальная функция может быть обобщена на банаховы алгебры , например матричные алгебры с операторной нормой . Это также есть в сериале
которая сходится абсолютно для всех ограниченных аргументов из рассматриваемой банаховой алгебры.
Существенное свойство действительной (и комплексной) экспоненциальной функции
В этой общности, однако, справедливо только для значений и , что коммутирует , т.е. для значений с (это, конечно , всегда выполняются в действительных или комплексных числах, так как умножение коммутативно там). Некоторые правила расчета такого рода для экспонента линейных операторов на банаховом пространстве обеспечивается с помощью формул Бейкера-Кемпбелл-Хаусдорф .
Важное применение этой обобщенной экспоненциальной функции находится при решении систем линейных дифференциальных уравнений вида с постоянными коэффициентами. В этом случае банахова алгебра - это набор матриц с комплексными элементами. Используя иорданскую нормальную форму , можно найти базисное преобразование или преобразование подобия, в котором экспоненциальная матрица имеет конечное правило вычисления. Точнее, можно найти регулярную матрицу таким образом, что где диагональная матрица и матрица нильпотентной которой коммутирует друг с другом. Это действительно с этим
Экспонента диагональной матрицы - это диагональная матрица экспонент, экспонента нильпотентной матрицы - это многочлен с матричными значениями , степень которых меньше размерности матрицы .
Варианты численного расчета
В качестве фундаментальной функции анализа много внимания уделялось способам эффективного вычисления экспоненциальной функции с желаемой точностью. Вычисление всегда сводится к вычислению экспоненциальной функции в небольшой области около нуля и используется начало степенного ряда. При анализе необходимая точность работы из-за сокращения должна быть сопоставлена с количеством необходимых умножений высокоточных данных.
Остаток -й частичной суммы имеет простую оценку по сравнению с геометрическим рядом , которая основана на
-
на для всех с выводами.
Простейшая редукция использует идентичность , т.е. ЧАС. к данности будет определяться, с выбором делается по соображениям точности. Таким образом, будет в определенной рабочей точности, рассчитывается и складкой квадрата: . теперь уменьшен до желаемой точности и возвращен как.
Более эффективные методы требуют, чтобы , лучше, кроме того, и ( Арнольд Шёнхаге ) в любой ( в соответствии со спецификацией) точность обработки доступны. Тогда тождества могут
-
или же
может быть использовано для преобразования к одному из интервала или значительно меньшего интервала и , таким образом , чтобы уменьшить или избежать более сложного возведения в квадрат.
При аппаратной реализации для их нужд используются подходящие процедуры, например:
Предпосылки и доказательства
мотивация
Показательная функция встречается при попытке обобщить возведение в степень на любой действительный показатель степени. Начинают с правила расчета и поэтому ищут решение функционального уравнения . Если теперь, прежде всего, предположить, что решение действительно существует, и вычислить его производную , можно встретить выражение
Что значит сейчас ? Если назвать это предельное значение , то применяется к сквозному
определенное число (или , должно быть, то есть логарифм с основанием, чтобы быть) в соответствии с правилом цепочки формально
тогда, вероятно, выполнил
Как можно рассчитать это число ? Ставим чисто формально и решаем уравнение
-
, тогда вы получите . Для числа
поэтому можно предположить, что
применяется.
Ибо вы также получаете представление чисто формальным образом
таким образом, одно определение экспоненциальной функции.
Серия Тейлора
В качестве альтернативы вы можете попробовать функцию
развиться в серию Тейлора . Потому что по индукции тоже
должен применяться, поэтому для ряда Тейлора в точке
таким образом, в точности другое определение экспоненциальной функции. Далее необходимо показать, что определенная таким образом экспоненциальная функция действительно имеет желаемые свойства. Этот ряд Тейлора также можно представить в виде непрерывной дроби :
Сходимость следующего представления
Последовательность, используемая для определения экспоненциальной функции
поточечно сходится к вещественному , так как, во-первых, монотонно возрастает от некоторого индекса, а во-вторых, ограничено вверх .
Доказательство однообразия
Из неравенства среднего арифметического и геометрического следует для
поэтому почти для всех следствие монотонно возрастает.
Доказательство ограничения
Из неравенства гармонического и среднего геометрического следует для
Ибо и последствия поэтому ограничены для всех :
Очевидно, оценка верна
для и
Функциональное уравнение
Поскольку и сходятся, их продукт также сходится
Если теперь неравенство Бернулли дает достаточно большие
-
;
для получается из неравенства для, что легко показать, а также из неравенства Бернулли при достаточно больших
экспоненциальная функция так эффективно соответствует функциональному уравнению .
Неравенства
Оценка в сторону понижения
На самом деле экспоненциальная функция может быть записана как
оценка вниз. Доказательство следует из определения
и то, что для достаточно большой . Поскольку последовательность монотонно возрастает, предельное значение действительно больше нуля.
Эту оценку можно превратить в важное неравенство
затянуть. Ибо из за корректурные результаты, например, применяя неравенство Бернулли к определению
применяется. Одним из применений этого неравенства является поли-доказательство неравенства среднего арифметического и геометрического . Однако неравенство среднего арифметического и геометрического значительно упрощает исследование последовательности ; Чтобы избежать круговых рассуждений, поли-доказательство требует вывода экспоненциальной функции, которая обходится без неравенства среднего арифметического и геометрического.
Оценка вверх
Если, в оценке , вместо этого и используется , мы получаем, изменив неравенство для всех действительных оценок в сторону увеличения .
Вывод экспоненциальной функции
Наиболее важным применением этих двух оценок является вычисление производной экспоненциальной функции в точке 0:
Вместе с функциональным уравнением это приводит к выводу экспоненциальной функции для любых действительных чисел :
Рост экспоненциальной функции по сравнению с полиномиальными функциями
Часто требуется утверждение, что экспоненциальная функция растет намного быстрее, чем любая степенная функция , т.е. ЧАС.
Поскольку это очевидно, так как правило де л'Оспиталя может использоваться индуктивно или элегантно оцениваться:
Прежде всего,
потому что правда
Это сходится и, таким образом, предельное значение выше к 0.
Смена базы
Как упоминалось ранее, применяется следующее
Доказательство: По определению логарифм эквивалентен , из чего следует тождество . Заменить с поставками
где на втором этапе применялось правило вычисления логарифма для мощностей.
Дифференциальное уравнение экспоненциальной функции
Если кто-то хочет решить простое дифференциальное уравнение :
и все еще предполагает, то он получает определение .
Обратная функция
Если не предполагать, используется обратная функция от
Поскольку , и согласно свойствам логарифма функция равна
и обратная функция может быть сформирована и получена
Так как нижний предел равен 1, это и обратная функция на свойстве обратной функции: .
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение
y =
y ′ описывает связь между переменной
y и ее ростом
y ′: обе равны. Следовательно , чем он больше, тем быстрее растет
y . На графике показан пример четырех решений этого дифференциального уравнения с показательной функцией e
x, показанной красным цветом.
Расширяя дифференциальное уравнение на для и разрешая их, получаем для формы
Специально для IS
Тогда это решение, а затем
и согласно требованию
Для любого мы несем
а. Это следует
и снова после предположения
Теперь у нас есть инструмент для описания процессов в различных областях науки, в которых с помощью подходов определенного типа
получают результат в форме, основанной на экспоненциальной функции.
Примеры экспоненциальных функций
физика
Примеры частого появления экспоненциальной функции в физике:
химия
Здесь приводится пример простой химической реакции . Предполагается, что у нас есть раствор такого вещества, как тростниковый сахар, в воде. Теперь тростниковый сахар превращается в инвертный сахар ( гидролизуется ) с помощью катализатора . Для этой простой химической реакции закон скорости (без учета обратной реакции ) будет сформулирован следующим образом:
-
Скорость реакции как функция времени пропорциональна количеству все еще присутствующего трансформирующего вещества .
Если мы обозначаем количество тростникового сахара, которое еще не было преобразовано
, то скорость реакции равна , и в соответствии с законом скорости, сформулированным выше, применяется уравнение
с константой скорости, зависящей от реакции . С помощью этого мгновенного подхода можно получить интегральный закон в соответствии с приведенным выше дифференциальным уравнением, который дает нам количество оставшегося тростникового сахара как функцию времени:
где константа обозначает доступную на данный момент сумму. Химическая реакция
асимптотически приближается к своему конечному состоянию - полному превращению тростникового сахара в инвертный сахар. (Здесь допустимо пренебрежение обратной реакцией, поскольку химическое равновесие гидролиза тростникового сахара в значительной степени на стороне инвертного сахара).
Биология, эпидемии
Описание экспоненциального роста в начальный период популяции, например B. микроорганизмы , распространение инфекций в контексте эпидемии и размножение живых существ, см. R-стратегию или модель SIR .
Стохастик
- Одинаковое количество монет и получателей
Каковы вероятности случайного получения одной или нескольких монет, когда монеты распределены получателю и имеют очень большой размер?
Формула определения экспоненциальной функции
-
,
полученная из него аппроксимационная формула
и число Эйлера
позволяют сделать простую оценку.
Вероятность получить монету при ее первом распределении равна, а вероятность не получить монету. Шансы получить в два раза больше не является монетой: . Следовательно, вероятность того, что время будет неудачным, составляет:
Вероятность быть успешным только один раз является результатом неудач, успеха и возможных комбинаций, когда успех происходит (в первый раз, или второй, или третий ...):
Соответственно, вероятность получить более одной монеты:
- Больше монет, чем получатели
Сколько монет вам нужно, чтобы снизить вероятность их неполучения, например, до 0,1 вместо 0,37? Из приведенной выше аппроксимационной формулы следует:
Или, другими словами: сколько монет должно быть больше, чем получатель ?
Так что в среднем только 10% получателей остаются с пустыми руками, требуется в 2,3 раза больше монет, а 1% - почти в 5 раз больше.
Логарифмическое представление номинальной стоимости евро
экономия
- Постоянный интерес
- Деноминации обычно следует экспоненциальному закону , по мере увеличения стоимости. На примере евро показана линия наилучшего соответствия для баллов для каждой монеты или банкноты. Небольшие отклонения от этой прямой являются следствием требования о «круглых» числах, которые должны быть указаны только с одной значащей цифрой (не путать с четными числами ).
Обобщения
Если существует величина, мощности которой существуют для любого неотрицательного целого числа , и если существует предельное значение, имеет смысл определить абстрактную величину с помощью ряда экспонент, приведенного выше. То же самое относится к операторам, которые, включая их полномочия, приводят к линейному отображению области определения абстрактного пространства (с элементами ) в область действительных чисел: здесь это имеет смысл даже для всех действительных чисел , в очень (более именно: в связанной области закрытия) экспоненциальные операторы, которые должны быть определены выражением
, сходимость этого выражения изначально остается открытой.
Итерация возведения в степень приводит к обобщенной экспоненциальной функции, используемой в арифметике с плавающей запятой .
Смотри тоже
веб ссылки
Индивидуальные доказательства
-
^ Кристиан Блаттер, Анализ II . 1-е издание, Springer Verlag 1974, ISBN 3-540-06914-3 , гл. 18, § 182, степенной ряд
-
↑ Конрад Кнопп. Теория и применение бесконечных рядов . 5-е издание, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3 . S 175, 98 предложение 2 для действительного и S 418 для сложного случая
-
↑ Лиза Лоренцен, Хокон Вааделанд: A.2.2 Экспоненциальная функция . В: Непрерывные дроби - Теория сходимости (= Исследования Атлантиды по математике для инженерии и науки . Том 1 ). Atlantis Press, 2008, ISBN 978-94-91216-37-4 , ISSN 1875-7642 , Раздел: Приложение A - Некоторые расширения непрерывной дроби , стр. 268 , DOI : 10,2991 / 978-94-91216-37-4 ( link.springer.com [PDF]).