Риманова поверхность

Риманова поверхность является одномерным комплексным многообразием в математической суб-области теории функций (комплексного анализа) . Римановы поверхности - это простейшие геометрические объекты, локально имеющие структуру комплексных чисел . Они названы в честь математика Бернхарда Римана . Исследование римановых поверхностей относится к математической области теории функций и во многом зависит от методов алгебраической топологии и алгебраической геометрии .

Площадь Римана комплексного логарифма . Листья возникают из-за неоднозначности, т.е. ЧАС. потому что комплексная экспоненциальная функция не инъективна .

Исторически риманова поверхность является ответом на тот факт, что голоморфные функции не всегда имеют однозначные продолжения. Например, главная ветвь комплексного логарифма (которая определена в окрестности ) получает дополнительный аргумент при продолжении вдоль положительно ориентированной окружности вокруг 0 . ${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle 2 \ pi \ mathrm {i}}$

сказка

Теория римановых поверхностей возникла из-за того, что разные значения функций могут возникать при аналитическом продолжении голоморфных функций по разным путям, как, например, в случае комплексного логарифма. Чтобы снова получить однозначные продолжения, область определения была заменена многолистовой областью, в которой было столько листьев, сколько было возможностей продолжить функцию. Аналитическое продолжение снова ясно на такой пересекающейся поверхности. Бернхард Риман сначала объяснил области, названные в его честь, следующим образом: несколько (возможно, бесконечно много) уровней комплексных чисел накладываются друг на друга, снабжены определенными (например, прямыми) разрезами, а затем склеиваются вместе по этим разрезам. Эта яркая идея поначалу была очень плодотворной, хотя и критиковалась как неточная. Сегодняшнее определение принадлежит Герману Вейлю . В своей книге «Идея римановой поверхности» (1913) он определил то, что сейчас является фундаментальным понятием (действительного или комплексного) многообразия . Если Риман интересовался аналитическим продолжением конкретно данной функции, то в связи с абстрактным определением римановой поверхности Вейлем возникает вопрос, существуют ли вообще комплексные функции на таком многообразии. Теорема Римана и Римана-Роха теорема дает ответа.

определение

Риманова поверхность - это комплексное многообразие размерности один. ${\ displaystyle X}$

Это означает, что это помещение Хаусдорфа со сложной структурой . ( Вторую аксиому счетности , которая в противном случае требуется в определении комплексных многообразий, не нужно предполагать в определении римановых поверхностей, потому что там она следует из других свойств согласно теореме Радо .) ${\ displaystyle X}$

Многие авторы также требуют, чтобы римановы поверхности были смежными .

Комплексная кривая

Каждая компактная риманова поверхность биголоморфна в гладкое комплексное проективное многообразие размерности один. В алгебраической геометрии риманова поверхность называется гладкой комплексной кривой .

Примеры

Шар с числами Римана

• Комплексная плоскость является простейшей римановой поверхностью. Идентичные фигуры определяют отображение для всего , поэтому множество является Н. атласа для .${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle f (z) = z}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ {е \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Тор

• Каждая область также является римановой областью. Здесь тоже есть идентичная иллюстрация, карта всей области. В более общем смысле каждое открытое подмножество римановой поверхности снова является римановой поверхностью.${\ Displaystyle G \ подмножество \ mathbb {C}}$

• Номер шар Римана является компактной римановой поверхностью. Иногда ее также называют сложной проективной прямой или короткой .${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$

• Поверхность тора для решетки, на которой объясняются эллиптические функции, является компактной римановой поверхностью.${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Теория римановых поверхностей

Благодаря сложной структуре римановой поверхности можно определять голоморфные и мероморфные изображения на римановых поверхностях и между ними. Многие из теорем теории функций на комплексном уровне о голоморфных и мероморфных функциях могут быть обобщены на римановы поверхности. Таким образом, теорема Римана о подъемности , принцип тождества и принцип максимума могут быть перенесены на римановы поверхности. Однако следует отметить, что голоморфные функции не особенно богаты, особенно на компактных римановых поверхностях. Именно это означает, что голоморфная функция всегда должна быть постоянной на когерентной компактной поверхности . Поэтому когерентная компактная риманова поверхность не является голоморфно отделимой , на ней существуют только постоянные голоморфные функции. (Эти заявления относятся к разрозненным, компактные риманов поверхности , если постоянный заменяются локально постоянная .) Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши , две центральных теоремы теории функций комплексной плоскости, не могут быть доказаны аналогично на риманов поверхностей. На дифференцируемых многообразиях вообще и на римановых поверхностях в частности, интегрирование необходимо объяснять с помощью дифференциальных форм, так что оно не зависит от выбора отображения. Однако теорема Стокса , занимающая центральное место в теории интегрирования, действительно существует . С его помощью можно доказать теорему о невязке , которая следует из интегральной формулы Коши на комплексной плоскости, также для римановых поверхностей. ${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

В дополнение к предложениям продолжения особый интерес в теории римановых поверхностей представляют утверждения о положениях нуля и полюса . Простое доказательство основной теоремы алгебры уже можно было найти в теории функций комплексной плоскости с помощью теоремы Лиувилля . Например, в теории римановых поверхностей получается следующая относительно простая теорема. Позволять и римановых поверхностей и фактической , непостоянное голоморфное отображение. Затем идет натуральное число , так что каждое значение вычисляется многократно . Так как мероморфные функции могут быть поняты , как голоморфные отображения , где в Риман сфера числа обозначает, следует , что на компактную римановую поверхность каждой непостоянной мероморфны функция имеет столько же нули , как есть полюс. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c \ in Y}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {1}}$${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to \ mathbb {C}}$

литература

• Отто Форстер : Римановы поверхности. (= Карманные книги Гейдельберга 184). Springer, Berlin и др., 1977, ISBN 3-540-08034-1 .
  • Английский язык: Лекции о римановых поверхностях. (= Тексты для выпускников по математике 81). Исправленная 2-я печать. Springer, Berlin и др., 1991, ISBN 3-540-90617-7 .
• Атанас Пападопулос (ред.): Справочник по теории Тейхмюллера. Том I, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих 2007, ISBN 978-3-03719-029-6 , DOI : 10.4171 / 029 . (Лекции ИРМА по математике и теоретической физике 11)
• Атанас Пападопулос (ред.): Справочник по теории Тейхмюллера. Том II, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, 2009 г., ISBN 978-3-03719-055-5 , DOI : 10.4171 / 055 . (Лекции ИРМА по математике и теоретической физике 13)
• Атанас Пападопулос (ред.): Справочник по теории Тейхмюллера. Том III, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, 2012 г., ISBN 978-3-03719-103-3 , DOI : 10.4171 / 103 (Лекции IRMA по математике и теоретической физике 19)