Гауссова кривизна

В теории поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве ( ), поле дифференциальной геометрии , гауссова кривизна ( гауссова мера кривизны ), названная в честь математика Карла Фридриха Гаусса , является наиболее важным термином кривизны помимо средней кривизны . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

определение

Пусть регулярная область в и точка этой области будет дано. Гауссова кривизна поверхности в этой точке является произведением двух основных кривизны и . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle k_ {1}}$${\ displaystyle k_ {2}}$

${\ displaystyle K \, = \, k_ {1} \ cdot k_ {2} = {\ frac {1} {r_ {1}}} \ cdot {\ frac {1} {r_ {2}}}}$

Где и - два основных радиуса кривизны. ${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle r_ {2}}$

Примеры

• 

  Горбинка с ${\ displaystyle K> 0}$

• 

  Застроенная территория с ${\ displaystyle K = 0}$

• 

  Гиперболоид с ${\ displaystyle K <0}$

• В случае сферы (поверхности) с радиусом гауссова кривизна равна .${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle К = 1 / г ^ {2}}$

• В любой точке изогнутой поверхности правильного кругового цилиндра , прямого кругового конуса или любой другой развертывающейся поверхности есть гауссова кривизна .${\ displaystyle K = 0}$

расчет

• Существуют , , и , , коэффициенты первой и второй фундаментальной формы , то применяется следующая формула:${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$

• Если рассматриваемая область является графиком функции в диапазоне параметров , то есть для всех , то для гауссовой кривизны применяется следующее:${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle X (u, v) = (u, v, f (u, v))}$${\ Displaystyle (и, v) \ в U}$

${\ displaystyle K = {\ frac {f_ {uu} f_ {vv} -f_ {uv} ^ {2}} {{(1 + f_ {u} ^ {2} + f_ {v} ^ {2}) } ^ {2}}}}$

Здесь и обозначим первую и , и вторую частные производные от .${\ displaystyle f_ {u}}$${\ displaystyle f_ {v}}$${\ displaystyle f_ {uu}}$${\ displaystyle f_ {uv}}$${\ displaystyle f_ {vv}}$${\ displaystyle f}$

• Если площадь задана как набор нулей функции с регулярным значением , то кривизна Гаусса рассчитывается по формуле${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle K = {\ frac {{\ nabla f} ^ {T} \ cdot \ operatorname {adj} (H_ {f}) \ cdot \ nabla f} {| \ nabla f | ^ {4}}}. }$

Здесь, количество из градиента и кофактор из матрицы Гесса из .${\ displaystyle | \ nabla f |}$${\ displaystyle \ operatorname {прил} (H_ {f})}$${\ displaystyle f}$

характеристики

знак

В эллиптических точках гауссова кривизна положительная ( ), в гиперболических точках отрицательная ( ), а в параболических или плоских точках она исчезает. ${\ displaystyle K> 0}$${\ displaystyle K <0}$

Примеры:

• В случае велосипедной трубы (= тора) точки на ободе являются гиперболическими, а точки на внешней стороне - эллиптическими. Две разделительные линии этих двух областей представляют собой две окружности с параболическими точками.
• Эллипсоид имеет только эллиптические точки, гиперболический параболоид (= седловая поверхность) имеет только гиперболические точки.

Свойство внутренней геометрии

Гауссова кривизна зависит только от внутренней геометрии данной поверхности (см . Теорему К.Ф. Гаусса egregium ). Это предложение является следствием формулы Бриоски:

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ left ({\ begin {vmatrix} - {\ frac {1} {2}} E_ {vv } + F_ {uv} - {\ frac {1} {2}} G_ {uu} & {\ frac {1} {2}} E_ {u} и F_ {u} - {\ frac {1} {2 }} E_ {v} \\ F_ {v} - {\ frac {1} {2}} G_ {u} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {v} & F & G \ end {vmatrix}} - {\ begin {vmatrix} 0 & {\ frac {1} {2}} E_ {v} & {\ frac {1} {2}} G_ {u} \\ {\ frac {1} {2}} E_ {v} & E & F \\ {\ frac {1} {2}} G_ {u} & F & G \ end {vmatrix}} \ right)}$

Где , и - коэффициенты первой фундаментальной формы. Термины и т. Д. Обозначают первую и вторую частные производные по параметрам и , которыми параметризуется данная область. Это уравнение, помимо прочего, является одним из необходимых условий интегрирования для уравнений Гауса-Вейнгартена . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E_ {u}}$${\ displaystyle F_ {uv}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$

Другая формула для расчета гауссовой кривизны:

${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {EG-F ^ {2}}}}} \ left (\ left ({\ frac {E_ {v} -F_ {u}} { \ sqrt {EG-F ^ {2}}}} \ right) _ {v} + \ left ({\ frac {G_ {u} -F_ {v}} {\ sqrt {EG-F ^ {2}} }} \ right) _ {u} \ right) - {\ frac {1} {4 \ left (EG-F ^ {2} \ right) ^ {2}}} {\ begin {vmatrix} E & E_ { u} & E_ {v} \\ F & F_ {u} & F_ {v} \\ G & G_ {u} & G_ {v} \ end {vmatrix}}}$

В случае ортогональной параметризации ( ) эта формула сводится к ${\ displaystyle F = 0}$

${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2 {\ sqrt {EG}}}} \ left (\ left ({\ frac {E_ {v}} {\ sqrt {EG}}} \ right) _ {v} + \ left ({\ frac {G_ {u}} {\ sqrt {EG}}} \ right) _ {u} \ right)}$

Если площадь параметризована изотермически, т.е. т.е. он применяется, а затем записывается ${\ displaystyle 0 <E = G}$${\ displaystyle F = 0}$

${\ displaystyle K = - {\ frac {1} {2E}} \ Delta \ log E}$

с оператором Лапласа

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial u ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial v ^ {2}}}}$.

Полная кривизна

Сумма внутренних углов треугольника на поверхности с отрицательной кривизной меньше 180 °.

Поверхностный интеграл

${\ displaystyle \ iint _ {T} K \, dA}$

гауссова кривизна над подмножеством поверхности называется ее полной кривизной . В случае многоугольников, края которых являются геодезическими , существует связь между общей кривизной и суммой внутренних углов. Например, следующее относится к сумме внутренних углов геодезического треугольника: ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ альфа + \ бета + \ гамма}$

${\ Displaystyle \ альфа + \ бета + \ гамма = \ пи + \ iint _ {T} K \, dA.}$

Полная кривизна геодезического треугольника соответствует отклонению суммы внутренних углов от : Сумма внутренних углов треугольника, расположенного на положительно изогнутой поверхности, превышает , на отрицательно изогнутой поверхности сумма внутренних углов меньше . Если гауссова кривизна равна нулю, сумма внутренних углов точно такая же, как в плоском случае . ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Обобщением этого факта является теорема Гаусса-Бонне , которая описывает связь между гауссовой кривизной поверхности и геодезической кривизной соответствующей граничной кривой.

литература

• Манфредо Пердигау ду Карму: Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. Prentice-Hall Inc., Верхняя река Сэдл, штат Нью-Джерси, 1976, ISBN 0-13-212589-7 .

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Майкл Спивак: Исчерпывающее введение в дифференциальную геометрию . 3-е издание. Том 3. Публикуй или погибни, Хьюстон, Техас, 1999, ISBN 0-914098-72-1 , Глава 3. Сборник поверхностей.