Бесконечное количество

Бесконечное множество - это термин из теории множеств , раздела математики . Использование отрицательного префикса un предполагает следующее определение:

Величина называется бесконечной, если она не конечна.

С помощью определения конечного множества это можно переформулировать следующим образом:

Множество бесконечно , если нет натурального числа такого , что множество является одинаковой мощностью (для этого есть пустое множество ), ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ {0,1, \ ldots, п-1 \}}$ ${\ displaystyle n = 0}$

с моделью натуральных чисел фон Неймана даже более компактной, чем

набор бесконечен, если он не равен натуральному числу (согласно его представлению фон Неймана).

Примеры бесконечных множеств множество натуральных чисел или множество из действительных чисел . ${\ Displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2,3, \ ldots \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Дедекиндова бесконечность

Для Ричарда Дедекинда следующее определение - бесконечность множества спины:

Набор считается бесконечным, если он равен реальному подмножеству .

Точнее, в данном случае говорят о дедекиндовской бесконечности. Преимущество этого определения в том, что оно не относится к натуральным числам . Однако эквивалентность бесконечности, определенная в начале, требует аксиомы выбора . Ясно, что бесконечные множества Дедекинда бесконечны, поскольку конечное множество не может быть равно действительному подмножеству.

И наоборот, если существует бесконечное множество, рекурсивно выбирать элементы с помощью аксиомы выбора ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle a_ {0} \ in A}

{\ displaystyle a_ {1} \ in A \ setminus \ {a_ {0} \}}

{\ displaystyle \ ldots}

{\ displaystyle a_ {n} \ in A \ setminus \ {a_ {0}, \ ldots, a_ {n-1} \}}

{\ displaystyle \ ldots}

Поскольку бесконечно, не может быть никогда , поэтому выбор нового всегда возможен. Изображение ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle А = \ {а_ {0}, \ ldots, а_ {п-1} \}}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle f \ двоеточие A \ rightarrow A \ setminus \ {a_ {0} \}, \ quad a \ mapsto {\ begin {cases} \\\\\ end {cases}}}$	${\ displaystyle a_ {n + 1}}$	если для ${\ displaystyle a = a_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$
	${\ displaystyle a}$	, иначе

является четко определенной , потому что это однозначный с . Это показывает, что реальное подмножество равно и, следовательно, Дедекиндово бесконечное. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle a = a_ {n}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle А \ setminus \ {а_ {0} \}}$

Без хотя бы слабой версии аксиомы выбора (обычно счетной аксиомы выбора ) нельзя показать, что бесконечные множества также являются бесконечными по Дедекинду.

Существование бесконечных множеств

В теории множеств Цермело-Френкеля , то есть в обычной математической основе, принятой большинством математиков, существование бесконечных множеств требуется аксиомой, так называемой аксиомой бесконечности . В самом деле, из остальных аксиом нельзя вывести существование бесконечных множеств. Эта аксиома бесконечности подвергается критике со стороны некоторых математиков, так называемых конструктивистов , потому что существование бесконечных множеств не может быть доказано с помощью логических аксиом. Следовательно, в теории множеств Цермело-Френкеля бесконечные множества подозреваются в том, что они могут приводить к противоречиям, хотя антиномия Рассела там невозможна. Фактически, непротиворечивость теории множеств и, следовательно, математики не может быть доказана согласно теореме Курта Гёделя о неполноте . Для более подробного обсуждения см. Возможная и Фактическая бесконечность .

Различная толщина бесконечных множеств

В полномочии конечных множеств являются натуральными числами; Идея распространить понятие мощности на бесконечные множества более сложна и интересна.

Комплект- теоретическая концепция бесконечного становится еще более интересным, так как существуют различные наборы , которые имеют бесконечное число элементов, но которые не могут быть отображены уплотняется друг с другом. Эти разные толщины обозначаются символом ( алеф , первая буква еврейского алфавита) и индексом (первоначально целым числом); индексы проходят через порядковые номера . ${\ displaystyle \ aleph}$

Степень натуральных чисел (наименьшая бесконечность) находится в этих обозначениях . Несмотря на то, что натуральные числа являются истинным подмножеством в рациональных числах , оба они имеют наборы и те же мощность . (→ первый диагональный аргумент Кантора ) ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

В вещественные числа образуют бесконечное множество, более мощным , чем множество натуральных и рациональных чисел; это бесчисленное множество . Также говорят о мощности бесчисленных множеств первого порядка. (→ второй диагональный аргумент Кантора )

Гипотеза континуума - это утверждение, что мощность действительных чисел одинакова , то есть мощность после следующего большего числа. Это невозможно ни доказать, ни опровергнуть только с помощью обычных аксиом теории множеств ( ZFC ) . ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Для каждого бесконечного множества можно построить дополнительные бесконечности, сформировав набор мощности (набор всех подмножеств). Набор Cantor указывает на то, что мощность величины мощности больше , чем мощность множества. Классическая проблема теории множеств (обобщенная гипотеза континуума ) заключается в том, приводит ли набор мощности к набору следующей большей мощности или некоторые порядки величины пропускаются путем формирования набора мощности из набора с мощностью . Этот процесс может (формально) продолжается , так что существует бесконечно много бесконечностей . ${\ displaystyle \ aleph _ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Алеф _ {п + 1}}$

В теории множеств существует несколько систем счисления, содержащих бесконечно большие числа. Наиболее известны порядковые , количественные , гиперреальные и сюрреалистические числа .

Смотри тоже

литература

Харро Хойзер : Учебник анализа. Часть 1 , Vieweg + Teubner, ISBN 978-3-8348-0777-9 , страницы 137 и далее.
Оливер Дайзер: Введение в теорию множеств , Springer Berlin 2004, ISBN 978-3-540-20401-5 , страницы 91-108.
Дэвид Фостер Уоллес : Георг Кантор: математик века и открытие бесконечности , Пайпер Верлаг 2007, твердый переплет, ISBN 3-492-04826-9

Languages