Модальная логика

Модальная логика является одна ветвь логики , которая имеет дело с последствиями этих модальных понятий возможных и необходимых сделок. Таким образом, в рамках модальной логики могут быть проанализированы не только такие утверждения , как «Идет дождь» или «Все круги круглые», но и такие утверждения, как «Может быть дождь» и «Обязательно все круги круглые».

история

Самые ранние подходы к модальной логике можно найти у Аристотеля в первой аналитике . Там же обсуждаются модальные логические варианты каждого категориального силлогизма . В средние века среди прочего Модальные логические концепции Дунса Скота . Готфрид Вильгельм Лейбниц придумал выражение «возможный мир», которое стало важным для развития теории модальных логических моделей . Начиная с 20-го века, необходимо проводить различие между двумя принципиально разными подходами к спецификации модальных высказываний и их логических связей: аксиоматикой объектного языка и металингвистической операциональностью.

Первый аксиоматический подход был предложен Кларенсом Ирвингом Льюисом в 1912 году в его критике «материальной импликации» ( Уайтхедом и Расселом ), которая никоим образом не соответствовала общепринятому «если-то». В 1932 году вместе с Ч. К. Лэнгфордом он создал пять логических систем (от S1 до S5) с различными модальными аксиомами, которые казались более или менее «правдоподобными». Только в 1963 году Саул Крипке стал семантическим развитием большого числа ранее предложенных систем модальной логики. На этой аксиоматической основе Бас ван Фраассен ( Торонто ) и Мария Л. Далла Кьяра ( Флоренция ) использовали модальности в рамках квантовой логики с 1970-х годов .

Попытки студента Гуссерля Оскара Беккера в 1930 году интерпретировать модальные утверждения Льюиса феноменологически оставались в значительной степени несущественными для дальнейшего развития модальной логики . Следуя предложению Беккера, Курт Гёдель в 1932 году показал тесную связь между системой S4 и интуиционистской логикой .

Металингвистическая концепция модальностей, разработанная Рудольфом Карнапом в 1934 году, была принципиально новой . В контексте резкой критики взглядов Витгенштейна на фундаментальное ограничение лингвистической выразительности он утверждал, что расширение классической логики Льюисом путем добавления оператора «возможно» не было ошибочным. , но излишне, «поскольку метаязык, который также необходим для описания аксиоматической модальной логики, позволяет выражать как последующие отношения, так и модальности с точной формулировкой».

Концепция Карнапа об использовании модальностей только при разговоре о языке, то есть металингвистике, была вновь подхвачена Беккером только в 1952 году и использовалась двумя годами позже Полом Лоренценом для обоснования своей оперативной модальной логики. Конструктивная логика, разработанная Лоренценом (позже также Швеммером ) на основе формализованной семантики диалогов, была впервые введена в квантовую логику Петером Миттельштадтом в 1961 году и далее развита в 1979 году его учеником Францем Йозефом Бургхардтом в «модальную квантовую металогику».

Основная интуиция

С помощью терминов «возможный» и «необходимый» язык предлагает, помимо « истинного » и «ложного», дополнительный способ характеристики утверждений : некоторые ложные утверждения возможны, некоторые истинные утверждения также необходимы. Если мы хотим определить, возможно ли утверждение, мы можем попытаться представить ситуацию, в которой утверждение истинно. Например, мы можем представить, что могут быть люди с зеленой кожей. Поэтому возможно утверждение «У некоторых людей зеленая кожа». Однако мы не можем представить себе, что могут быть квадратные круги. Поэтому утверждение «Есть угловые круги» невозможно, т.е. ЧАС. невозможно. Есть также утверждения, которые верны во всех мыслимых ситуациях. Мы называем такие заявления необходимыми.

В модальной логике говорят о « возможных мирах », а не о возможных или воображаемых ситуациях . Ситуация, в которой мы на самом деле живем, является одним из возможных миров «реальный мир» (англ. Actual world , так иногда называют текущий мир). Утверждение возможно, если оно истинно в одном возможном мире; оно необходимо, если оно истинно во всех возможных мирах.

Необходимые утверждения, например, Б. «Круги круглые» и «Холостяки не женаты». Однако такие утверждения, как последнее предложение, требуют, чтобы у всех была одинаковая интуиция в отношении того, что такое круг. Это отнюдь не так. Тогда это нужно описывать не как необходимое, а как возможное. В контексте термина «метрическое пространство» каждый выпуклый геометрический объект вместе с точкой внутри него может служить так называемым единичным кругом для определения метрики, например прямоугольника, выпуклого цилиндра или сферы. Все остальные круги в этой метрике являются результатом этого. В этом смысле аподиктическое утверждение «круги являются круглыми» могло бы показаться заявлением, которое требует возможного значимого определения термина «круглый», которое отклоняется от обычной интуиции.

Если кто-то описывает утверждение как возможное в этом смысле, он не занимает позицию относительно того, могло ли это утверждение также быть неправильным. По этой причине также возможны все необходимые факты: если утверждение истинно во всех возможных мирах, то оно тривиально верно по крайней мере в одном из возможных миров. Концепция случайности отличается от этой концепции возможности : условность - это утверждение именно тогда, когда оно истинно по крайней мере в одном возможном мире и ложно по крайней мере в одном возможном мире, то есть когда это возможно, но не обязательно.

Истинная функциональность модальной логики

В отличие от классической логики высказываний , модальная логика не является истинно-функциональной . Это означает, что если вы заменяете частичный оператор другим с тем же значением истинности в утверждении, которое содержит модальные логические выражения , значение истинности всего утверждения не обязательно сохраняется. В качестве примера рассмотрим утверждение «Возможно, Сократ не философ». Это утверждение верно (мы можем представить, что Сократ никогда бы не интересовался философией) и содержит ложное утверждение «Сократ не философ» как частичное утверждение. Если мы теперь заменим это частичное утверждение столь же неверным утверждением «Есть угловые окружности», мы получим «Возможно, что есть угловые окружности». Однако, в отличие от нашего первоначального утверждения, это неверно (потому что, как я уже сказал, мы не можем представить себе квадратные круги). Это показывает, что модальная логика не функциональна по истине.

обозначение

Обозначение	Способ говорить
${\ displaystyle \ Diamond p}$	Возможно, что p
${\ displaystyle \ Box p}$	Необходимо, чтобы p
${\ displaystyle \ Diamond p \ wedge \ Diamond \ neg p}$	p является условным

В модальной логике выражение «возможно» (точнее: оператор предложения «возможно, что ...») представлено ромбом на его кончике , который также называют «ромбом», и выражением «необходимо» ( Точнее: «надо, чтобы ...») с квадратом, который еще называют «ящиком».

Модальная логика

Модальные операторы и отрицание

Если модальные операторы сочетаются с отрицанием , то есть «не» (в формальном представлении :) , имеет значение, относится ли отрицание ко всему выражению, состоящему из модального оператора и оператора, или только к выражению, следующему за модальным оператором. «Невозможно, чтобы Сократ был философом» ( ) означает нечто иное, чем «Возможно, что Сократ не философ» ( ), первое утверждение ложно, второе истинно. Также следует отметить, что операторы с оператором возможности могут быть переведены в операторы с оператором необходимости и наоборот. «Возможно, что Сократ не философ» эквивалентно «Необязательно, чтобы Сократ был философом», «Невозможно (невозможно), чтобы Сократ был слоном» с «Необходимо, чтобы Сократ был не слон ». В формальных обозначениях: ${\ displaystyle \ neg}$${\ displaystyle \ neg \ Diamond p}$${\ displaystyle \ Diamond \ neg p}$

• ${\ displaystyle \ Diamond \ neg p}$является эквивалентом для${\ displaystyle \ neg \ Box p}$
• ${\ displaystyle \ neg \ Diamond p}$ эквивалентно ${\ displaystyle \ Box \ neg p}$

«Возможно, что Сократ - философ» также является синонимом «Необязательно, чтобы Сократ не был философом», и «Необходимо, чтобы Сократ был человеком», с «Невозможно, чтобы Сократ не был человеком». ".

• ${\ displaystyle \ Diamond p}$ эквивалентно ${\ displaystyle \ neg \ Box \ neg p}$
• ${\ displaystyle \ Box p}$ эквивалентно ${\ displaystyle \ neg \ Diamond \ neg p}$

На основе этих двух последних эквивалентностей оператор возможности может быть определен оператором необходимости или наоборот.

Дизъюнкция и соединение

Дизъюнкции (или соединение, символические :) из двух возможных утверждений является синонимом возможности их дизъюнкции. Из «Возможно, что Сократ философ или возможно, что он плотник» следует: «Возможно, что Сократ - философ или плотник», и наоборот. ${\ displaystyle \ vee}$

• ${\ displaystyle \ Diamond p \ vee \ Diamond q}$ эквивалентно ${\ displaystyle \ Diamond (п \ vee q)}$

То же самое относится к оператору необходимости и конъюнкции (соединение И, символическое :) : «Необходимо, чтобы все круги были круглыми, и необходимо, чтобы все треугольники были угловыми» эквивалентно «Необходимо, чтобы все круги были круглыми и все треугольники угловые ». ${\ Displaystyle \ клин}$

• ${\ displaystyle \ Box p \ wedge \ Box q}$ эквивалентно ${\ Displaystyle \ Box (п \ клин q)}$

Иначе обстоит дело с сочетанием утверждений о возможности и разъединением утверждений о необходимости. Возможность соединения двух утверждений подразумевает соединение возможности утверждений, но обратное неверно. Если Сократ может быть и философом, и плотником, тогда он должен быть философом, а также плотником. Напротив, это z. Б. Возможно, что число планет четное, и возможно, что оно нечетное, но невозможно, чтобы оно было четным и нечетным одновременно.

• из , следует , но не наоборот${\ Displaystyle \ Diamond (п \ клин q)}$ ${\ displaystyle \ Diamond p \ wedge \ Diamond q}$

Точно так же из дизъюнкции необходимости двух утверждений можно вывести необходимость дизъюнкции отдельных утверждений, но не наоборот. Если необходимо, чтобы простых чисел было бесконечно много, или чтобы Сократ был философом, тогда необходимо, чтобы простых чисел было бесконечно много или чтобы Сократ был философом. С другой стороны, однако, необходимо, например, чтобы Фрэнк весил не более 75 кг или был тяжелее 75 кг, но не обязательно, чтобы он весил более 75 кг, и не обязательно, чтобы он был тяжелее 75 кг. Следовательно:

• следует из , но не наоборот${\ Displaystyle \ Box p \ vee \ Box q}$${\ Displaystyle \ Box (п \ vee q)}$

Квантификаторы, формулы Баркана

При использовании квантификаторов в философской логике спорный вопрос, следует ли разрешить исключать модальные операторы из области действия кванторов или наоборот. Поэтому следующие металингвистические правила (или соответствующие схемы аксиом) оспариваются. Здесь обозначает отдельную переменную и имя предиката на объектном языке: ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ Phi}$

• ${\ Displaystyle \ существует \ ню \ алмаз \ фи \ ню}$эквивалентно .${\ Displaystyle \ Diamond \ существует \ nu \ Phi \ nu}$
• ${\ Displaystyle \ Box \ forall \ nu \ Phi \ nu}$ эквивалентно ${\ Displaystyle \ forall \ nu \ Box \ Phi \ nu}$

Одно направление эквивалентности не вызывает проблем и принимается:

• Из следует . Если есть объект, который, возможно, имеет свойство , возможно, должно быть что-то, что имеет свойство .${\ Displaystyle \ существует \ ню \ алмаз \ фи \ ню}$${\ Displaystyle \ Diamond \ существует \ nu \ Phi \ nu}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$
• Из следует . Если все объекты обязательно имеют свойство , то каждый объект обязательно имеет свойство .${\ Displaystyle \ Box \ forall \ nu \ Phi \ nu}$${\ Displaystyle \ forall \ nu \ Box \ Phi \ nu}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Эти утверждения выполняются в большинстве количественно определенных модальных логик.

Однако более проблематичными являются противоположные направления двух утверждений об эквивалентности ( формул Баркана ), названных в честь Рут Баркан Маркус :

• Из следует${\ Displaystyle \ Diamond \ существует \ nu \ Phi \ nu}$${\ Displaystyle \ существует \ ню \ алмаз \ фи \ ню}$
• Из следует${\ Displaystyle \ forall \ nu \ Box \ Phi \ nu}$${\ Displaystyle \ Box \ forall \ nu \ Phi \ nu}$

Две формулы Баркана эквивалентны друг другу с обычной заменяемостью ... на ... и ... на .... Споры вращаются вокруг интерпретации формул. Например, если есть кто-то, кто может отрастить бороду (возможно, бородатый), возможно, есть кто-то, у кого есть борода. Формула, обратная формуле Баркана (если есть, возможно, кто-то с бородой, есть кто-то, возможно, бородатый), приводит к следующей проблеме: первая часть предложения «если-то» только утверждает, что существует человек, который мог бы быть бородатый, задняя часть предполагает, что есть человек, который может быть бородатым. Таким образом, этот подпункт имеет предпосылку существования : предположим, что квантор относится к набору людей, которые в данный момент находятся в определенной комнате, задняя часть предполагает, что кто-то в данный момент находится в комнате и может отрастить бороду, но не передняя часть. Итак, з. Б. исключил, что комната случайным образом пуста. Это становится еще более проблематичным, когда предполагается, что квантификатор относится ко «всему, что есть»; тогда формула Баркана утверждает, что каждый возможный объект ( возможный ), которому может быть присвоено свойство , теперь существует и, возможно, обладает этим свойством . Возьмите, например, Если, например, у бездетного философа Людвига Витгенштейна мог быть сын, из формулы следовало бы, что теперь был бы человек, который мог бы быть сыном Витгенштейна. Споры о Баркан формулы для необходимости и квантора может быть ясно , используя тот же самый пример: все (реально существующие) люди обязательно не сыновья Витгенштейна, но это не значит , что все (возможные) люди обязательно не сыновья Витгенштейна , т.е. у Витгенштейна не могло быть сыновей. Рут Баркан Маркус сам установил формулы, но исключил их из нормальной модальной логики именно по этим причинам. ${\ displaystyle \ Box}$${\ Displaystyle \ neg \ Diamond \ neg}$${\ Displaystyle \ forall \ nu}$${\ Displaystyle \ Ne \ существует \ Nu \ neg}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$

Однако вместо формул Баркана действительными считаются следующие схемы:

• Это следует из , но не наоборот${\ Displaystyle \ Diamond \ forall \ nu \ Phi \ nu}$${\ Displaystyle \ forall \ nu \ Diamond \ Phi \ nu}$

Из возможности универсального утверждения следует универсальная количественная оценка утверждения возможности, но не наоборот.

Причины этого аналогичны причинам, указанным выше для комбинации конъюнкции и возможности ( см. Также de re и de dicto ). Если все мужчины могут иметь бороду, то все мужчины должны иметь бороду. Хотя потенциально каждый может выиграть в нардах , это не означает, что каждый может выиграть (в этой игре может быть только один победитель).

• Это следует из , но не наоборот${\ Displaystyle \ существует \ ню \ бокс \ фи \ ню}$${\ Displaystyle \ Box \ существует \ ню \ фи \ ню}$

Экзистенциальная количественная оценка утверждения о необходимости аналогично подразумевает необходимость экзистенциального утверждения, но не наоборот. Например, если есть что-то, что обязательно является Богом, необходимо, чтобы Бог был. В нардах обязательно есть победитель (игра не может закончиться вничью), но из этого не следует, что обязательно побеждает один из игроков.

Другие интерпретации модальных операторов

Операторы Diamond и Box также могут быть озвучены другими способами, кроме «необходимо» и «возможно». В «деонтической» интерпретации операторы интерпретируются с использованием этических терминов «требуемый» и «разрешенный»; тогда уже говорят не о модальной логике в более узком смысле, а о деонтической логике . Модальную логику в более узком смысле иногда называют «алетической модальной логикой». Однако во временной логике операторы интерпретируются с точки зрения времени . Если понимать операторы как концепции веры, то есть субъективное убеждение, которое истинно, можно прийти к эпистемической логике .

формула	Модальная интерпретация	Деонтическое толкование	Временная интерпретация	Эпистемическая интерпретация
${\ displaystyle \ Diamond}$ п	Возможно, что p	Допустимо, чтобы p	p применяется когда-нибудь в будущем (прошлом)	Думаю, возможно, что p
${\ displaystyle \ Box}$ п	Необходимо, чтобы p	Совершенно необходимо, чтобы p	p всегда действителен в будущем (прошлом)	Считаю несомненным, что p

Для всех этих интерпретаций характерно то, что приведенные выше выводы остаются содержательными и интуитивно понятными. Здесь это показано только на примере, а именно эквивалентности и . ${\ displaystyle \ Diamond p}$${\ displaystyle \ neg \ Box \ neg p}$

• «Допустимо, чтобы p» эквивалентно «Не требуется, чтобы не-p»
• «P имеет место когда-нибудь в будущем» эквивалентно «Это не тот случай, когда не-p всегда выполняется в будущем».
• «Я думаю, возможно, что p» эквивалентно «Я не думаю, что это точно не-p».

Различные системы модальной логики

Синтаксическая характеристика

Формальная система модальной логики возникает при добавлении модальные логики формул и дополнительных аксиом или правил вывода для логики или логики предикатов . В зависимости от того, с какой логики исходить, говорят о модальной логике, пропозициональной логике или логике предикатов. Язык модальной логики содержит все пропозициональные или формулы логики предикатов, а также все формулы формы и для всех модальных логических формул . Box может быть определен Diamond и наоборот в соответствии с уже известными эквивалентностями: ${\ displaystyle \ Box p}$${\ displaystyle \ Diamond p}$${\ displaystyle p}$

• ${\ displaystyle \ Diamond p}$ эквивалентно ${\ displaystyle \ neg \ Box \ neg p}$
• ${\ displaystyle \ Box p}$ эквивалентно ${\ displaystyle \ neg \ Diamond \ neg p}$

Что касается термина логико-модального происхождения , следует сначала отметить, что существуют различные такие термины, с помощью которых могут быть сформированы различные логико-модальные «системы». Отчасти это связано с разными интерпретациями операторов Box и Diamond, упомянутых выше.

Подавляющее большинство модальных систем основаны на системе K (K означает Крипке ). K возникает, устанавливая схему аксиом K и допуская окончательное правило neezessization (также известное как «правило Гёделя» в честь логика Курта Гёделя ):

• Аксиома Схема K: .${\ Displaystyle \ Box (p \ rightarrow q) \ rightarrow (\ Box p \ rightarrow \ Box q)}$
• Правило необходимости: если применяется: (т.е. если p выводимо ), то также применяется ( выводится).${\ displaystyle \ vdash p}$${\ displaystyle \ vdash \ Box p}$${\ displaystyle \ Box p}$

В системе K все рассмотренные выше выводы уже верны, за исключением спорных формул Баркана, одну из которых, возможно, придется добавить в качестве отдельной аксиомы (тогда другая также является результатом).

Если схема аксиомы Т добавляется к системе К, то система Т получается .

• Схема аксиом T: или также${\ displaystyle p \ rightarrow \ Diamond p}$${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}$

В модальной интерпретации эта схема интуитивно верна, потому что она говорит, что истинные утверждения всегда возможны. Согласно деонтической интерпретации, все, что истинно, также разрешено, и это интуитивно неверный вывод, потому что есть также нарушения правил и, следовательно, истинные, но не разрешенные утверждения. Поэтому для деонтических приложений схема аксиом T ослаблена до схемы аксиом D. Если вы добавите D к K, вы получите систему D (D означает «деонтический»).

• Схема аксиом D: ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Diamond p}$

D в деонтической интерпретации означает, что все, что требуется, также разрешено, и, следовательно, представляет собой значимый вывод в этой интерпретации.

Если T продлевается на аксиомой схеме В , то система В получается . (Здесь B означает Брауэр .)

• Схема аксиом B: ${\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}$

Система S4 , возникает добавлением схемы аксиом 4 к системной Т. (Обозначение S4 является историческим и восходит к логику К. И. Льюису . Льюис разработал пять модальных систем, из которых только две, S4 и S5, используются сегодня.)

• Схема аксиом 4: или также${\ Displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}$${\ Displaystyle \ Diamond \ Diamond p \ rightarrow \ Diamond p}$

Системы S4 и B обе сильнее, чем T и, следовательно, также как D. «Сильнее» здесь означает, что все формулы, которые могут быть доказаны в T (или D), также могут быть доказаны в S4 и B, но не наоборот. S4 и B не зависят друг от друга, т. Е. Это означает, что формулы могут быть доказаны в обеих системах, но не могут быть доказаны в другой.

Если к системе T добавить схему аксиом 5, то получится система S5 .

• Схема аксиом 5: ${\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}$

S5 сильнее, чем S4 и B. Обратите внимание, что схема аксиом 4 действительна при временной интерпретации, но не 5: если в какой-то момент в будущем есть точка в будущем, в которой выполняется p, то есть точка в время в будущем, когда p выполняется (4). Но неверно, что если есть момент времени в будущем, в котором применяется p, то есть такой момент времени для всех моментов времени в будущем (5). Таким образом, S4, но не S5, подходит для временной интерпретации.

В S4 и S5 цепочки модальных операторов могут быть сведены к одному оператору. Однако в S4 это разрешено только в том случае, если цепочка состоит из одних и тех же операторов. Например, там формула эквивалентна . В S5 вы можете сократить любое количество цепочек, в том числе разрозненных. Вместо этого вы можете просто написать туда . Никакое сокращение невозможно ни в одной из других упомянутых модальных систем. ${\ Displaystyle \ Diamond \ Diamond \ Diamond \ Diamond p}$${\ displaystyle \ Diamond p}$${\ Displaystyle \ Box \ Box \ Diamond \ Box \ Diamond p}$${\ displaystyle \ Diamond p}$

Последнее упомянутое свойство системы S5 делает ее для многих модальных логиков наиболее подходящей для модальной логики в актуальном, строгом смысле, то есть для анализа выражений «возможно» и «необходимо». Причина в том, что мы не можем интуитивно присвоить какое-либо реальное значение повторному применению этих выражений к утверждению, в отличие от простого приложения. Например, трудно сказать, что должно означать «необходимо, чтобы пошел дождь», а не просто «возможен дождь». С этой точки зрения преимуществом S5 является то, что он сокращает повторное использование операторов до простых, таким образом, интуитивный смысл может быть связан с каждой формулой модальной логики.

Семантическая характеристика

В формальная семантика модальной логики часто называют «Крипке семантикой» после логик Сол Крипке . Семантика Крипке - это формализация интуитивного представления о возможном мире. Модель Крипке состоит из набора таких миров, отношения доступности (также: отношения достижимости ) между ними и функции интерпретации, которая присваивает одно из значений «истина» или «ложь» каждой переменной утверждения в каждом из миров. .

Тогда истинность формулы в возможном мире w определяется следующим образом:

• Переменные предложения истинны в мире w, если функция интерпретации присваивает им значение «истинно» в w.
• ${\ displaystyle \ neg p}$ истинно в w, если p ложно в w, иначе ложно
• ${\ displaystyle p \ wedge q}$ истинно в w, если p и q оба истинны в w, в противном случае ложно
• ${\ displaystyle \ Diamond p}$истинно в w, если есть мир v, доступный из w, и p истинно в v; иначе неправильно в w${\ displaystyle \ Diamond p}$
• ${\ displaystyle \ Box p}$истинно в w, если для всех миров v, доступных из w, верно, что p истинно в v; иначе неправильно в w${\ displaystyle \ Box p}$

Модальные системы Фамилия Аксиомы Отношение доступности K ${\ Displaystyle \ Box (p \ rightarrow q) \ rightarrow (\ Box p \ rightarrow \ Box q)}$ любой Т K + ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow p}$ рефлексивный Д. K + ${\ displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Diamond p}$ серийный номер: ${\ Displaystyle \ forall ш \, \ существует v \, (ш \; R \; v)}$ Б. Т + ${\ displaystyle p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}$ рефлексивный и симметричный S4 Т + ${\ Displaystyle \ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p}$ рефлексивный и переходный S5 Т + ${\ displaystyle \ Diamond p \ rightarrow \ Box \ Diamond p}$ рефлексивный, переходный и симметричный

Здесь вы можете добавить дополнительные пункты для любых дополнительных соединителей или квантификаторов. Формула действительна, если она верна для всех моделей Крипке. Различные модальности, обсужденные выше, теперь могут быть отображены в отношении доступности между мирами с использованием различных условий. Система K возникает, когда к отношению доступности не добавлено никаких условий. Таким образом, все и только формулы, справедливые для такого произвольного отношения доступности, могут быть доказаны в K. Чтобы сохранить систему T, нужно сделать требование отношения доступности, что каждый мир должен быть доступен сам по себе, следовательно, отношение должно быть рефлексивным . Если установить отношение доступности таким образом, это приведет к тому, что правильные формулы - это именно те формулы, которые могут быть доказаны в системе T. Для системы D должен существовать хотя бы один доступный мир для каждого мира, такие отношения называются последовательными (или связными ). Помимо рефлексивности, симметрия также требуется для B , i. ЧАС. если w доступен из v, то v также должен быть доступен из w. В S4 отношение доступности рефлексивно и транзитивно , т. Е. ЧАС. если w доступен из v, а v из u, то и w из u. Наконец, для S5 отношение доступности должно быть одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, т. Е. ЧАС. это отношение эквивалентности .

Деонтическая и нормативная модальная логика

Логик и философ Пол Лоренцен расширил модальную логику, включив в нее деонтическую и нормативную модальную логику, чтобы установить технические и политические науки (конструктивная философия науки).

Модальные слова «может» и «должен» формально реконструируются как обычно. Соответствующие символы, перечисленные выше, изменены лишь незначительно. Различные формы модальной логики имеют технические и политические сокращения, конечно, гипотезы с такими терминами:

• Действие: девушка может прыгнуть с трамплина
• Этико-политическое разрешение: Тилману разрешено получить кусок пиццы.
• Биолого-медицинское становление: из вишневой косточки может вырасти дерево.
• Гипотезы курса ( законы природы ): Дом может рухнуть
• Технические навыки: Автомобиль может быть построен с каталитическим нейтрализатором.

Соответственно, модальности «должны» могут быть сформированы для модальностей «может». Все модальные слова (например, необходимость ) изначально неформальны в модальной логике Лоренцена , что означает, что утверждения, сделанные в модальной логике, действительны только относительно предполагаемого знания. Различные типы модальностей также играют вместе. Например, в предложении: «Доступность (человеческие способности ) подразумевает возможность (техническая гипотеза о банках)».

Если модальные утверждения формально логически верны, предполагаемое знание, на котором они основаны, может быть удалено . Таким образом, истины модальной логики могут быть сформированы независимо от того, верны ли лежащие в основе знания. Это следует из режущего набора . Для Лоренцена изюминкой является просто обоснование модальной логики.

литература

• Патрик Блэкберн, Йохан ван Бентем , Фрэнк Уолтер (ред.): Справочник по модальной логике . Elsevier, 2007, ISBN 978-0-444-51690-9 ( csc.liv.ac.uk - введение). 
• Теодор Бухер: Введение в прикладную логику . Де Грюйтер, Берлин / Нью-Йорк 1987, ISBN 3-11-011278-7 , стр. 240–285 (с упражнениями) . 
• Джордж Эдвард Хьюз , Макс Крессвелл : Введение в модальную логику . Де Грюйтер, 1978, ISBN 3-11-004609-1 . 
• Джордж Эдвард Хьюз, Макс Крессвелл: новое введение в модальную логику . Рутледж, Лондон, 1996 г., ISBN 0-415-12600-2 . 
• Кеннет Конындык: Введение в модальную логику. Университет Нотр-Дам Press 1986, ISBN 0-268-01159-1 . (на английском языке использует простые в освоении исчисления естественного вывода)
• Пол Лоренцен : Нормативная логика и этика. (= BI-HTB 236 ). Библиографический институт, Мангейм.
• Пол Лоренцен, Освальд Швеммер : конструктивная логика, этика и философия науки. (= BI-HTB 700 ). 2., глагол. Версия. Bibliographisches Institut, Mannheim et al. 1975 г. (без изменений, оттиск 1982 г.)
• Пауль Лоренцен: Учебник конструктивной философии науки. 2-е издание. Мецлер, Штутгарт 2000, ISBN 3-476-01784-2 .
• Уве Мейкснер : Модальность. Возможность, необходимость, эссенциализм , Клостерманн, Франкфурт а. М. 2008 г., ISBN 978-3-465-04050-7 .
• Хесус Падилья Гальвес : Справочник и теория возможных миров. Питер Ланг, Франкфурт / М., Берн, Нью-Йорк, Париж, 1988, ISBN 978-3-631-40780-6 .
• Грэм Прист : Введение в неклассическую логику. От If до острова Кембридж 2008, ISBN 978-0-521-67026-5 .
• Вольфганг Раутенберг : Классическая и неклассическая логика высказываний . Vieweg, Wiesbaden 1979, ISBN 3-528-08385-9 . 
• Нико Стробах: Введение в логику. Общество научной книги, Дармштадт 2005, ISBN 3-534-15460-6 . (Введение в философскую логику, модальную логику в главе 4.5, стр. 59–64 и главе 7, стр. 113–131)
• Ж. Дьедонне: Основы современного анализа, Том 1. Логика и основы математики. Фридр. Vieweg + Sohn, Брауншвейг 1971, ISBN 3 528 18290 3 . (Функции расстояния в разделах 3.1, 3.2, 3.4. Вместо «круга» здесь используется термин «сфера»)

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Friedemann Buddensiek: Модальная логика Аристотеля в Analytica Priora А. Хильдесхайм 1994.
2. ↑ Вместо этого Льюис использовал «строгое значение», основанное на «возможности»; CI Lewis: Имплюкация и алгебра логики. В: Mind 21 (1912), стр. 522-531. Дерс .: Обзор символической логики. Кембридж, 1918 г.
3. ^ CI Льюис, CH Лэнгфорд: символическая логика. Нью-Йорк, 1932 год.
4. ^ С. А. Крипке: семантический анализ логики I. Нормальные исчисления высказываний. В кн . : Журнал математической логики и основ математики. 9. С. 67-96 (1963).
5. ^ BC ван Фраассен; Значение отношений и модальностей. В: Ноус. 3: 155-167 (1969). ML Далла Кьяра: Квантовая логика и физические модели. В: Журнал философской логики. 6. С. 391-404 (1977).
6. ↑ О. Беккер: О логике модальностей. В: Ежегодник философских и феноменологических исследований. 11 (1930), стр. 497-548.
7. ↑ К. Гёдель: Интуиционистская интерпретация исчисления высказываний. В кн . : Итоги математического коллоквиума. 4 (1932), стр. 39-40.
8. ↑ Л. Витгенштейн, Логико-философский трактат (Tractatus logico -philusicus). В: Annalen der Naturphilosophie. 14 (1921 г.), особенно там предложения 4.21-4.24.
9. ^ Р. Карнап: Логический синтаксис языка. Вена, 1934 г., особенно стр. 196–199. Цитата из Ф. Дж. Бургхардта: Модальности на языке квантовой механики. Идеи О. Беккера и Р. Карнапа в сегодняшних фундаментальных исследованиях физики (PDF; 1,0 МБ) , Кельн, 1981, стр. 8. После эмиграции в США Карнап сам больше не придерживался этой концепции, а присоединился к им англоязычной среде. Американская область принимала исключительно аксиоматическую модальную логику, например Б. 1947 г. в книге « Смысл и необходимость» .
10. ↑ П. Лоренцен: Об обосновании модальной логики. В кн . : Архив математической логики и фундаментальных исследований. 2 (1954), стр. 15-28 (= Архив философии 5 (1954), стр. 95-108).
11. ↑ П. Миттельштадт: Квантовая логика. В кн . : Успехи физики. 9. С. 106-147 (1961). Ф. Дж. Бургхардт: Модальная квантовая металогика с диалогическим обоснованием . Cologne 1979; П. Миттельштадт: язык и реальность в современной физике. Мангейм 1986. гл. VI: возможность и вероятность.
12. ↑ см. Книгу « Нормативная логика и этика» , опубликованную в 1969 году , в которой резюмируются лекции Лоренцена Джона Локка в Оксфорде.

веб ссылки

• Джеймс Гарсон:  Модальная логика. В: Эдвард Н. Залта (Ред.): Стэнфордская энциклопедия философии .
• Роберта Балларин:  Современные истоки модальной логики. В: Эдвард Н. Залта (Ред.): Стэнфордская энциклопедия философии .