Лунная орбита

Приблизительно эллиптической орбите с Луны вокруг Земли называется лунной орбиты .

Поскольку Луна подвержена гравитационному притяжению не только Земли, но также Солнца и других планет , ее орбита заметно отклоняется от чистого кеплерэллипса . Точный расчет орбиты - сложная задача, решение которой является предметом лунной теории . Изучение этой проблемы небесной механики дало толчок многим важным физико-математическим разработкам.

Геометрия орбиты

Земля (синий), Луна и лунная орбита (аппроксимированы эллипсом) примерно в правильном соотношении размеров. Один из (красных) фокусов эллипса - это центр тяжести Земля-Луна , вокруг которого движутся Луна и центр Земли. Луна (справа) показана рядом с Землей .

В геоцентрической системе отсчета , в которой Земля считается неподвижной, лунная орбита приблизительно представляет собой кеплерэллипс вокруг Земли. Однако из-за различных орбитальных возмущений , которые в основном вызваны гравитационным притяжением Солнца, этот эллипс изменяется как его форма, так и сложная форма, а также их положение в пространстве. Следовательно, орбитальная скорость Луны очень неточно следует второму закону Кеплера.

В гелиоцентрической системе отсчета центр тяжести Земля-Луна описывает кеплерэллипс. Луна попеременно движется снаружи и внутри земной орбиты , в результате чего ее орбита всегда изогнута к Солнцу (см. Раздел гелиоцентрическая лунная орбита ).

форма

Орбита Луны вокруг Земли является переменной и приблизительно эллипсом, его большая полуось в среднем 383398 км , а его численный эксцентриситет около 0,055. Это соответствовало бы перигею расстояния 362,102 км и апогей расстояние 404,694 км от Земли. Однако из-за упомянутых возмущений как большая полуось, так и эксцентриситет (→ возмущения траектории ) колеблются , так что также возможны большие и меньшие экстремальные расстояния. Среднее расстояние от Земли до Луны, рассчитанное во времени, составляет около 385 000 км, подробности см. В разделе « Расстояние до Земли» .

Луна движется по этой орбите по прямой линии (в том же направлении, что и Земля и другие планеты Солнечной системы ), то есть против часовой стрелки, если смотреть с северного полюса эклиптики . Наблюдатель на Земле может видеть кажущееся ежедневное движение Луны над горизонтом в результате вращения Земли ; она поднимается на востоке и заходит на западе, как солнце и звезды. Но это видимое движение медленнее, чем у неподвижных звезд , оно остается примерно на 13 ° ежедневно по сравнению со звездным небом и снова достигает прежнего положения через 27,3 дня, период сидерического месяца .

На орбите вокруг Земли орбитальная скорость Луны в среднем составляет 1,023 км / с, она колеблется от 0,964 км / с до 1,076 км / с.

Спецификация 383 400 км для большой полуоси относится к системе отсчета с началом в центре Земли . Если вместо этого связать движение с барицентром , общим центром тяжести системы Земля-Луна , Луна и Земля вращаются вокруг эллипсов, для которых барицентр представляет собой общий фокус. Поскольку масса Луны составляет около 1 / 81,3 массы Земли , барицентр находится в среднем на 385000 км / (81,3 + 1) ≈ 4680 км от центра Земли, то есть на глубине около 1700 км в мантии Земли . Таким образом, центр Земли проходит один раз в месяц на среднем расстоянии 4680 км вокруг центра Барьи; эллипс орбиты Луны вокруг центра Бари соответственно имеет большую полуось 383 400 км * 81,3 / 82,3 ≈ 378 700 км. Центр Земли, барицентр и центр Луны всегда лежат на общей линии и в общей плоскости, плоскости орбиты Луны. Поскольку он наклонен на 5,2 ° к эклиптике, центр Земли всегда проходит немного выше или ниже плоскости эклиптики вокруг Солнца, которая определяется курсом центра масс. В земной эклиптической широту - ее отклонение от плоскости эклиптики , если смотреть от солнца - может быть до 0,7 ".

место расположения

Узлы лунной орбиты
(наклон i преувеличен)

Плоскость лунной орбиты наклонена к плоскости орбиты Земли, в плоскости эклиптики , в среднем на прибл. 5,2 °. Однако наклонение колеблется с периодом в 173 дня (половина года затмения ) примерно на ± 0,15 ° относительно этого среднего значения (→ сбои орбиты ).

Линия пересечения плоскостей земной и лунной орбит ( узловая линия ) не имеет фиксированной ориентации в пространстве, как было бы в случае отсутствия возмущений, а вместо этого выполняет полное ретроградное вращение на 360 ° вдоль эклиптики один раз. каждые 18,61 года из-за нарушений (→ сбои на железной дороге ). Из-за этого движения прецессии лунная орбита проходит поочередно выше и ниже данного сегмента эклиптики на протяжении многих лет, так что орбита Луны совпадает с плоскостью эклиптики, усредненной по одному из этих циклов прецессии. Это отличает Землю от большинства других спутников, которые либо вращаются по орбите в среднем в экваториальной плоскости своей планеты, либо, будучи захваченными лунами, демонстрируют очень сильные наклоны орбиты (см. Плоскость Лапласа ).

Положение апсидальной линии , описывающей выравнивание эллипса в плоскости орбиты, также не остается постоянным, поскольку возмущения вызывают вращение апсиды с периодом 8,85 года (→ орбитальные возмущения ). В этот период перигей проходит по прямой линии по всей орбите.

Расстояние до земли

Среднее расстояние

Среднее арифметическое временное значение переменного расстояния между центрами Луны и Земли составляет 385 001 км. Это можно сделать, например, Б. из разложения в серию расстояния, данного Шапронтом и Шапронтом-Тузе :

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} {\ frac {d} {\ mathrm {km}}} = 385000 {,} 5584 & \ - \ & 20905 {,} 3550 & \ cdot \ cos (G_ { M}) \\ & \ - \ & \ 3699 {,} 1109 & \ cdot \ cos (2D-G_ {M}) \\ & \ - \ & \ 2955 {,} 9676 & \ cdot \ cos (2D) \\ & \ - \ & \ \ 569 {,} 9251 & \ cdot \ cos (2G_ {M}) \\ & \ \ pm \ & \ dotsc & \ end {alignat}}}$

Если среднее арифметическое вычисляется с использованием этого выражения, члены косинуса отбрасываются, а округленное среднее значение остается на уровне 385 001 км. (Значение G _M и D см. → Основные аргументы .)

Традиционно же дается 384 400 км. Это значение получено из другой математической формулировки. Лунная теория Е.В. Брауна дала расстояние не напрямую в километрах, а как горизонтальный параллакс Луны:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} \ pi = 0 {,} 9507245 & \ + \ & 0 {,} 0518128 ^ {\ circ} & \ cdot \ cos (G_ {M}) \\ & \ + \ & 0 {,} 0095303 ^ {\ circ} & \ cdot \ cos (2D-G_ {M}) \\ & \ + \ & 0 {,} 0078422 ^ {\ circ} & \ cdot \ cos (2D ) \\ & \ + \ & 0 {,} 0008571 ^ {\ circ} & \ cdot \ cos (2D + G_ {M}) \\ & \ \ pm \ & \ dots & \ end {alignat}}}$

Если здесь также образуется среднее арифметическое, остается только постоянный член, а средний лунный параллакс составляет 0,950 724 5 °. Отсюда вычисляется расстояние до Луны.

${\ displaystyle d ^ {\ prime} = {\ frac {6378 {,} 14 \ {\ text {km}}} {\ sin (\ pi)}}}$

Таким образом, вы получите 384 399 км, что округлено для соответствия традиционно используемому значению.

Два числовых значения не идентичны, потому что среднее значение берется один раз по самому расстоянию и один раз по его обратному значению (в форме параллакса), см. Среднее гармоническое . С математической точки зрения оба усреднения одинаково допустимы.

Экстремальные расстояния

Расстояния в перигее и апогее подвержены сильным колебаниям.

Если бы лунная орбита была невозмущенным эллипсом, Луна всегда проходила бы через одни и те же расстояния перигея и апогея. Однако, поскольку эксцентриситет орбиты подвержен периодическим изменениям, существуют разные экстремальные расстояния, в зависимости от того, насколько точно апсидальный проход Луны совпадает с особенно большим или малым эксцентриситетом. Эксцентриситет принимает максимум каждые 206 дней, когда большая полуось лунной орбиты указывает в направлении солнца. Тогда расстояние до перигея особенно мало, а расстояние до апогея особенно велико. Если большая полуось находится под прямым углом к направлению солнца, то эксцентриситет предполагает минимум, а апсидальные расстояния менее экстремальны. Кроме того, эти изменения орбиты не всегда имеют одинаковый размер и подвержены длительным дрейфам. Следовательно, существует сложное распределение расстояний между перигеем и апогеем, без возможности указать четкое максимальное или минимальное значение. Чем больше расстояние, тем реже оно встречается, но практически всегда есть возможность найти еще более экстремальное значение при достаточном поиске. Поэтому разные авторы также приводят крайние значения, округленные по-разному.

Частотное распределение расстояний перигея и апогея

Следующая таблица дает упрощенный обзор распределения встречающихся расстояний:

Как видно, расстояния в перигее различаются значительно больше, чем расстояния в апогее.

Отдельные значения также могут выходить за указанные округленные пределы. Как рекордные значения в период 1500 г. до н.э. К 8000 году нашей эры можно найти:

• максимальная дальность в апогее: 7 января 2266 г. 406719,97 км.
• наименьшее расстояние в перигее: 356 352,93 км 13 ноября 1054 г. до н.э. Chr.

Особенно малое расстояние в перигее достигается, когда Луна проходит через перигей в полнолуние , Земля находится в афелии, а Луна находится на максимально возможном расстоянии от эклиптики ( наклон , т. Е. Наибольшая северная или южная широта). Особенно большое апогейное расстояние достигается, когда Луна проходит через апогей как новолуние, Земля находится в перигелии, а Луна имеет наибольшее эклиптическое расстояние.

Периоды орбиты

Солнечные и лунные затмения возможны только в том случае, если луна (красная) находится в непосредственной близости от прохода узла (A и C).

Луне требуется в среднем 27,32 дня, чтобы совершить один оборот вокруг Земли относительно фиксированного звездного неба. После этого сидерического (т.е. звездного) месяца он снова проходит мимо той же звезды, которую видно с Земли.

В течение такого месяца Земля, в свою очередь, движется по своей солнечной орбите. Это также меняет направление, в котором появляется солнце, если смотреть с земли. Если Луна снова достигла своего исходного положения по отношению к неподвижным звездам после сидерического месяца, она также должна пройти около 29 °, чтобы достичь того же положения относительно Солнца и, таким образом, снова той же фазы Луны. Для этого ему нужно в среднем два дня; синодический месяц, что соответствует полному циклу всех фаз Луны (а лунация поэтому), имеет длину 29,53 дней. Это средний временной интервал, с которым повторяется фаза луны (например, от полнолуния до полнолуния).

Из-за вращения апсиды (см. Выше) перигей и апогей движутся по орбите в том же направлении, что и сама луна, так что после завершения звездного месяца ей все равно нужно немного пройти, чтобы достичь той же апсиды. очередной раз. Аномалистический месяц из 27.55 дней продолжительности времени между двумя проходами Луны через перигей или апогей его орбиту и , таким образом , фактический период орбиты (аномалистический период) эллиптическую орбиту.

Из-за прецессии плоскости лунной орбиты (см. Выше) орбитальные узлы перемещаются по эклиптике, противодействуя движению Луны, так что она возвращается в тот же узел раньше, чем к той же звезде. Таким образом, драконовский месяц как временной интервал между двумя прохождениями Луны через один и тот же узел имеет среднюю длину всего 27,2 дня. Поскольку лунные и солнечные затмения могут иметь место только тогда, когда Луна близка к орбите, всегда существует целое число драконовских месяцев между двумя затмениями, когда Луна находится в одном узле. Между любыми двумя затмениями всегда есть целое число полудраконовских месяцев.

Средняя продолжительность разных месяцев:

Указанная продолжительность месяцев является средним значением. Поскольку и Луна, и Земля движутся по своим эллиптическим орбитам нерегулярно, отдельные месяцы могут отличаться более или менее сильно. Например, продолжительность данного синодического месяца может быть примерно на 7 часов больше или на 6 часов короче, чем средний синодический месяц. Кроме того, средняя продолжительность месяца подвержена медленному смещению из-за долгосрочных изменений орбиты Земли и Луны. Например, точная продолжительность среднего синодического месяца рассчитывается согласно

M _син = 29,5305888531 ^d + 0,00000021621 T - 3,64 · 10 ⁻¹⁰ T ² ,

где T - количество юлианских веков, прошедших со стандартной эпохи J2000.0 .

В периоде 223 синодических месяцев 242 драконовских месяца также появляются почти в точности как целые числа. По истечении этого периода луна вернется как в ту же фазу, так и в тот же узел. Это также повторяет предпосылки для солнечного или лунного затмения , и, следовательно, через 223 синодических месяца после данного затмения с затмением нужно снова считаться. Этот период в 18 лет и 10 1/3 дней (или 11 1/3 дней в зависимости от количества високосных лет) является периодом Сароса, известным как период затмения . Поскольку период Сароса также содержит почти точно 239 аномальных месяцев, Луна снова имеет такое же расстояние от Земли и такое же большое неравенство в зависимости от аномалии (см. Ниже), так что второе затмение очень похоже на первое.

Законы Кассини лунного вращения

Анимация: либрация Луны в результате ее эллиптической орбиты

Существенная связь между собственным вращением Луны и ее орбитальным движением была признана Дж. Д. Кассини и опубликована в 1693 году:

1. Луна равномерно вращается вокруг своей полярной оси; его период вращения идентичен среднему сидерическому периоду его обращения вокруг Земли.
2. Наклон лунной оси относительно эклиптики остается постоянным.
3. Нисходящий узел лунного экватора на эклиптике совпадает с восходящим узлом лунной орбиты на эклиптике и прецессирует вместе с ним.

Эти законы описывают несколько наблюдаемых фактов. Земной наблюдатель всегда видит одну и ту же сторону Луны. Таким образом, очевидно, что он обращается вокруг себя один раз за тот же период времени, что и один раз вокруг Земли; это Первый закон Кассини. Но в то время как самовращение происходит почти равномерно, орбита движется по эллиптической орбите с разными скоростями; Несмотря на ограниченное вращение, результат на орбите Луны не всегда точно такой же. С точки зрения наблюдателя кажется, что вращающаяся по орбите Луна совершает периодические боковые вращения почти на ± 8 ° по длине либрации . Таким образом, вы можете видеть еще раз с западного края и еще раз с восточного края Луны. Это либрационное движение было открыто Гевелием .

На карте Луны Гевелия впервые показаны области либрации, которые видны только при благоприятной либрации.

Открытие восходит к Galileo , что луна также выполняет движение шапочное, тем либрации по ширине : в разы больше , можно увидеть с северного края , а иногда и более от южного края Луны. Однако, если бы ось Луны была перпендикулярна ее орбитальной плоскости, она должна была бы казаться неизменной наблюдателю, который также находится в орбитальной плоскости; наблюдение показало, что лунная ось наклонена по отношению к ее орбите. Если бы ось была z. B. перпендикулярно плоскости эклиптики, она будет наклонена на хорошие 5 ° к орбите, и наблюдатель сможет увидеть кивок на хорошие ± 5 °; но наблюдаются около ± 7 °, которые всегда достигаются на максимальной эклиптической широте Луны. Из этого следует, что лунная ось также должна быть наклонена таким образом, чтобы северное полушарие Луны было наклонено немного дальше от Земли, когда она достигает своей максимальной северной широты, и наклонено немного дальше к Земле, когда она достигает его максимальная южная широта. Эта конфигурация описывается Третьим законом Кассини. Это также можно выразить следующим образом: перпендикуляр на лунной орбите, перпендикуляр на эклиптике и ось вращения Луны лежат вместе в одной плоскости, а эклиптика перпендикулярна между двумя другими. Поскольку лунная орбита совершает прецессионное движение (→ вращение узловой линии ), но описанная конфигурация - как показывает наблюдение - сохраняется, ось вращения Луны также должна совершать прецессионное движение в том же направлении и на такая же скорость, как и у самолета на лунной орбите.

Плоскость лунной орбиты наклонена на 5,2 ° к плоскости эклиптики, а экваториальная плоскость Луны, в свою очередь, наклонена на 6,7 ° к плоскости лунной орбиты, но в противоположном направлении (Третий закон Кассини). Таким образом, наклонения почти нейтрализуют друг друга, а лунный экватор наклонен к эклиптике всего на 1,5 °. Поэтому солнечная радиация на Луне практически не подвержена сезонным колебаниям, а на лунных полюсах солнце всегда находится близко к горизонту.

Лунный экватор наклонен на 6,7 ° к плоскости лунной орбиты и на 1,5 ° к эклиптике, но угол между плоскостью лунной орбиты и эклиптикой изменяется на ± 0,15 ° (→  флуктуация наклона орбиты ). Согласно Второму закону Кассини, наклон Луны относительно эклиптики остается постоянным, поэтому наклон Луны относительно собственной орбиты изменяется на ± 0,15 °.

Как позже могла показать теоретическая небесная механика, законы Кассини описывают динамически стабильное состояние. Самая длинная ось Луны, описываемая как трехосный эллипсоид (в среднем), всегда совпадает с Землей. Это выравнивание соответствует минимуму гравитационной энергии и поэтому остается стабильным. Кроме того, эллипсоид может стабильно вращаться (без раскачивания) только в том случае, если он вращается вокруг оси с наибольшим или наименьшим моментом инерции . В случае Луны самая длинная ось (которая имеет наименьший момент инерции) удерживается Землей, как только что описано, поэтому вращение Луны происходит вокруг кратчайшей эллипсоидальной оси. Кроме того, эта ось вращения не может быть точно перпендикулярна плоскости лунной орбиты, поскольку в противном случае Земля лежала бы в экваториальной плоскости Луны и не могла бы оказывать никакого крутящего момента, что вызывает прецессию лунной оси, описанную в Третьем законе Кассини. . Наклон регулируется (по энергетическим причинам) таким образом, что прецессия лунной оси происходит с той же скоростью, что и прецессия лунной орбиты.

Из-за значительных орбитальных возмущений система Земля-Луна не следует строго эмпирически найденным законам Кассини, а колеблется вокруг идеальной конфигурации. Следовательно, законы Кассина действительны только в среднем.

Сбои в работе железной дороги

Орбиту Луны можно условно описать как кеплерэллипс . Но в то время как невозмущенный кеплерэллипс двух точечных масс сохранит как свою форму, так и свое положение в пространстве, лунная орбита подвергается многочисленным дополнительным гравитационным воздействиям и заметно меняет свою форму и положение. Основные нарушения:

1. уплощение на земле (отклонение тела Земли от сферической формы)
2. гравитационный эффект солнца
3. гравитационное воздействие планет (особенно Венеры и Юпитера).

Основные аргументы

Для интерпретации и расчета возмущений, описанных ниже, требуются «фундаментальные аргументы», которые необходимо определить для соответствующего момента времени, которые описывают среднее положение Луны и Солнца по отношению к различным контрольным точкам:

Где t - количество дней, прошедших с момента стандартного равноденствия J2000.0 : t = JD - 2451545.0.

Вариация большой полуоси

Вариации большой полуоси.

Многочисленные периодические колебания накладываются на среднее значение большой полуоси в 383 397,8 км. Наиболее значимыми являются отклонения ± 3400,4 км с периодом 14,76 суток и отклонения ± 635,6 км с периодом 31,81 суток.

Как показывает развитие сериала

${\ displaystyle {\ begin {align} a = 383 \; 397 {,} 8 \; \ mathrm {km} & + 3 \; 400 {,} 4 \; \ mathrm {km} \ cdot \ cos (2D) \\ & - \ 635 {,} 6 \; \ mathrm {km} \ cdot \ cos (2D-G_ {M}) \\ & - \ 235 {,} 6 \; \ mathrm {km} \ cdot \ cos (G_ {M}) \\ & \ pm \ \ точки \ конец {выровнено}}}$

ведущий член флуктуации принимает наибольшее положительное значение, когда удлинение D принимает значение 0 ° или 180 °, то есть при новолунии и полнолунии. Наибольшие отрицательные значения этого члена встречаются в первой и последней четверти ( D = 90 ° или 270 °).

Колебание эксцентриситета

Колебания эксцентриситета.

Многочисленные периодические колебания также накладываются на среднее значение эксцентриситета 0,055 546. Наиболее значимыми являются вариация ± 0,014 217 с периодом 31,81 дня и вариация ± 0,008 551 с периодом 205,9 дня.

Развитие сериала

${\ displaystyle {\ begin {align} e = 0 {,} 055546 & + 0 {,} 014216 \ cdot \ cos (2D-G_ {M}) \\ & + 0 {,} 008551 \ cdot \ cos (2D - 2G_ {M}) \\ & - 0 {,} 001383 \ cdot \ cos (G_ {M}) \\ & \ pm \ dotsc \ end {align}}}$

показывает, что эксцентриситет принимает максимум, когда большая полуось лунной орбиты направлена ​​в направлении Солнца (тогда 2 D - 2 G _M = 0 ° или 360 °, то есть D = G _M или G _M + 180 °). Это происходит в среднем каждые 205,9 дня (немногим более полугода, поскольку линия апсид в одно и то же время постепенно перемещается на 0,11140 градуса в день). Он предполагает минимум, когда большая полуось перпендикулярна солнцу (2 D - 2 G _M = ± 180 °).

На это колебание накладываются сильные колебания с более короткими периодами (с максимумами при 2 D - G _M = 0 ° или 360 °, каждые 31,8 дня) и большим количеством более мелких колебаний.

В целом эксцентриситет колеблется между крайними значениями 0,026 и 0,077.

Вращение узловой линии

Движение восходящего узла.

Узловая линия не фиксируется в пространстве, а движется назад по эклиптике. Таким образом, узлы приближаются к Луне, поэтому драконовский месяц (возврат к тому же узлу) короче, чем сидерический месяц (возврат к той же неподвижной звезде).

Средняя скорость этого движения относительно (даже движущегося) весеннего равноденствия составляет 19,34 ° в год. Для полного обращения по узловой линии требуется 18,6 года (точнее, 6798,38 суток; один оборот относительно неподвижных звезд - 6793,48 суток).

На это движение также накладываются периодические колебания. Самый большой срок колебания имеет амплитуду 1,4979 ° и период 173,31 дня. Это колебание было обнаружено Тихо Браге. Это заставляет узловую линию почти стоять на короткое время, когда она указывает в направлении солнца.

В зависимости от взаимного положения узловой линии лунной орбиты и узловой линии экватора наклоны лунной орбиты на эклиптике и наклон эклиптики на экваторе складываются или вычитаются, так что Луна с периодом 18,6 лет попеременно имеет диапазон склонения ± 28,6 ° или только ± 18,4 °.

Это прецессионное движение лунной орбиты имеет ту же причину, что и прецессионное движение земной оси : гравитационное притяжение Солнца пытается втянуть наклонную лунную орбиту в плоскость эклиптики. Луна, вращающаяся по этой орбите, реагирует как волчок, который реагирует на внешний крутящий момент, поворачивая ось лунной орбиты.

Например, если Луна приближается к нисходящему узлу орбиты, дополнительная разрушающая сила, действующая в направлении плоскости эклиптики, заставляет Луну приближаться к эклиптике быстрее, чем это было бы без разрушающей силы. Таким образом, Луна проникает через эклиптику раньше и под более крутым углом. Возмущающая сила подтолкнула узловую линию к Луне и увеличила наклон орбиты. Поскольку узловая линия каждый раз смещается в одном и том же направлении, результатом является постоянное вращение узлов по эклиптике. Однако кратковременно увеличенный наклон снова уменьшается после прохождения через узел. Возмущающая сила теперь снижает скорость, с которой Луна удаляется от эклиптики, так что ее орбита снова становится более плоской. Таким образом, наклон орбиты испытывает только регулярные колебания и не изменяется постоянно в том же смысле, что и узловая линия.

Колебание наклона орбиты

Колебание наклона орбиты.

Наклонение орбиты колеблется примерно на ± 0,15 ° от среднего значения. Доминирующее колебание имеет амплитуду 0,14 ° и период 173,3 дня.

Развитие сериала

${\ displaystyle {\ begin {align} i = 5 {,} 15668983 ^ {\ circ} & + 0 {,} 13507 ^ {\ circ} \ cdot \ cos (2D-2F) \\ & \ pm \ dots \ конец {выровнен}}}$

видно, что наклон принимает максимальное значение, когда узловая линия лунной орбиты указывает в направлении солнца (тогда 2 D - 2 F = 0 ° или 360 °, т.е. D = F или F + 180 °). Это происходит в среднем каждые 173,3 дня (чуть меньше полугода, поскольку узловая линия одновременно ретроградно перемещается на 0,05295 градуса в сутки). Это колебание также накладывается на более мелкие колебания, которые более выражены в минимумах наклона.

Наклон орбиты колеблется, потому что гравитационное притяжение Солнца пытается уменьшить угол наклона, притягивая Луну к плоскости эклиптики. Эффект солнца максимален, когда угол раскрытия между эклиптикой и лунной орбитой указывает в направлении солнца, то есть узловая линия перпендикулярна направлению солнца. Он равен нулю, когда узловая линия указывает в направлении солнца; затем наклон снова принимает большие значения. Таким образом, период в 173,3 дня составляет всего половину года затмения, а наклон орбиты всегда максимален, когда солнце находится рядом с узлом, особенно во время затмения.

Колебание наклона орбиты было обнаружено Тихо Браге, который - после того, как уже были сделаны намеки, - впервые окончательно описал его в письме от 1599 года.

Вращение линии апсиды

Движение перигея

Вращение линии апсиды

Линия апсид также не закреплена в помещении; он движется по прямой по лунной орбите. Следовательно, апсиды движутся в том же направлении, что и Луна, поэтому аномальный месяц (возврат к той же апсиде) длиннее, чем сидерический месяц (возврат к той же неподвижной звезде).

Средняя скорость вращения апсид относительно точки весеннего равноденствия составляет 40,7 градуса в год. Апсидам требуется 8,85 года для полного обращения (точнее 3231,50 суток; один оборот относительно неподвижных звезд занимает 3232,61 суток).

Наибольшие сроки наложенных колебаний имеют амплитуду 15,448 ° за период 31,81 суток и 9,462 ° за период 205,9 суток. В ходе этих колебаний пергум может отклоняться на 30 ° от своего центрального положения.

Периодические изменения скорости и расстояния Луны, когда она движется по своей эллиптической орбите, вызваны переменными тангенциальными и центростремительными компонентами земной гравитации, действующей на Луну. Возмущения изменяют эти составляющие силы. В частности, они попеременно усиливают и ослабляют центростремительные силы, но, как показывает более внимательное рассмотрение, преобладает ослабление. Таким образом, ускорение Луны по направлению к Земле уменьшается, и после одного оборота по орбите от перигея Луна больше не приближалась к Земле, как это было бы без возмущений. Луне требуется немного больше времени, чтобы снова достичь перигея; перигей и, следовательно, вся апсидальная линия сместились в направлении движения Луны по орбите.

Возмущения эклиптической длины

Если положение Луны вдоль эклиптики (ее эклиптическая длина λ) должно быть вычислено с учетом возмущающих воздействий, современная теория возмущений предоставляет исчерпывающий набор поправочных членов , которые - в сочетании с равномерно увеличивающейся средней длиной L _M - приводят к в правильном положении. Ведущими условиями такого расчета являются:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {3} \ lambda = L_ {M} & + 6 {,} 289 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (G_ {M}) & \ quad & {\ text {( Большое неравенство)}} & \ quad & {\ text {(1)}} \\ & - 1 {,} 274 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (G_ {M} -2D) && {\ text {( Evection)}} && {\ text {(2)}} \\ & + 0 {,} 658 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (2D) && {\ text {(вариация)}} && {\ text { (3)}} \\ & + 0 {,} 214 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (2G_ {M}) &&&& {\ text {(4)}} \\ & - 0 {,} 186 ^ { \ circ} \ cdot \ sin (G_ {S}) && {\ text {(Годовое уравнение)}} && {\ text {(5)}} \\ & - 0 {,} 114 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (2F_ {M}) && {\ text {(сокращение до эклиптики)}} && {\ text {(6)}} \\ & - 0 {,} 059 ^ {\ circ} \ cdot \ sin ( 2G_ {M} -2D) &&&& {\ text {(7)}} \\ & - 0 {,} 057 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (G_ {M} -2D + G_ {S}) &&&& { \ text {(8)}} \\ & + 0 {,} 053 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (G_ {M} + 2D) &&&& {\ text {(9)}} \\ & + 0 { ,} 046 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (2D-G_ {S}) &&&& {\ text {(10)}} \\ & + 0 {,} 041 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (G_ {M} -G_ {S}) &&&& {\ text {(11)}} \\ & - 0 {,} 035 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (D) && {\ text {(параллактическое уравнение)} } && {\ text {(12)}} \\ & - 0 {,} 031 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (G_ {M} + G_ {S}) &&&& {\ text {(13)}} \\ & - 0 {,} 015 ^ {\ circ} \ cdot \ sin (2F_ {M} -2 D) &&&& {\ text {(14)}} \\ & \ pm \ dotsc &&&& \\ & + {\ text {вековое ускорение}} &&&& \\\ end {alignat}}}$

Есть аналогичные серии разработок для эклиптической широты и радиуса орбиты Луны.

Поскольку Луна очень рано привлекла внимание астрономов, занимающихся измерениями и расчетами, некоторые из самых крупных возмущений известны давно и даже имеют свои собственные названия.

Большое неравенство

Этот термин не является возмущением в собственном смысле, а просто учитывает неоднородную скорость из-за орбитальной эллиптичности. Луна движется быстрее в окрестности перигея и медленнее в районе апогея, чем в среднем. Таким образом, в случае средней аномалии G _M примерно 90 ° или 270 ° она в каждом случае достигает своего максимального отклонения от среднего положения.

В дополнение к вышеупомянутому главному члену 6,289 ° · sinG _M , остальные члены уравнения средней точки также находятся в ряду возмущений

${\ displaystyle \ nu -G_ {M} = \ left (2e \ cdot \ sin (G_ {M}) + {\ frac {5} {4}} e ^ {2} \ cdot \ sin (2G_ {M}) ) + \ dotsc \ right) {\ frac {180} {\ pi}}}$

который описывает разницу между истинной аномалией ν и средней аномалией G _M для пути с эксцентриситетом e (и, таким образом, представляет собой решение проблемы Кеплера ). Член 4 вышеуказанного ряда возмущений является следующим следующим членом в уравнении средней точки. Термины «неравенство» или «уравнение», используемые в истории, следует понимать в смысле «исправления».

В целом, из-за уравнения средней точки Луна может отклоняться на ± 6,2922 ° от положения фиктивной, постоянно движущейся Луны. Это значительное отклонение было известно еще древним астрономам. Вавилоняне описали это арифметическим рядом, греческие астрономы - соответствующим эпициклическим символом .

Evection

Периодические нарушения эксцентриситета и положения перигея деформируют траекторию таким образом, что луна, следуя деформированной траектории, попеременно опережает или отстает от среднего положения.

Если солнце, земля и луна находятся на одной линии (S - E - M или S - M - E, полная луна или новолуние), солнце притягивает землю сильнее, чем луна в первом случае, а луна сильнее чем земля во втором. В обоих случаях это увеличивает расстояние между Землей и Луной и - согласно третьему закону Кеплера - снижает скорость Луны. Если Земля и Луна расположены так, что их соединительная линия перпендикулярна направлению солнца (первая или последняя четверть), оба одинаково притягиваются солнцем, но направления, в которых они нарисованы, не совсем параллельны, они сходятся к закату. Это приводит к компоненту притяжения, который сближает Луну и Землю, в результате чего скорость Луны увеличивается - снова в соответствии с третьим законом Кеплера. Наибольшее расстояние до невозмущенного положения на пути всегда достигается, когда только что описанное изменение скорости меняет знак и начинает действовать в противоположном смысле. На только что описанный процесс также накладывается колебание скорости, вызванное эксцентриситетом орбиты Луны, так что в целом возникает сложный ход возмущения.

В сизигиях (2 D = 0 ° или 360 °) член возмущения сокращается до -1,274 ° sin ( G _M ). Угол наклона отрицательный, если Луна находится между перигеем и апогеем в этот момент времени (0 <  G _M  <180 °), и положительный, если Луна находится между апогеем и перигеем (180 ° <  G _M  <360 °). В квадратурах (2 D  = ± 180 °) преобладают противоположные условия.

В промежуточных положениях Луны курс эвекции более сложен, но он всегда становится нулевым, когда Солнце находится посередине между Луной и перигеем ( D = ½ G _M ), или на 90 ° или 180 ° от этого. точка. Эвекция достигает максимальных значений ± 1,274 ° с периодом 31,8 суток.

Эвекция была открыта Птолемеем после того, как Гиппарх, по- видимому, уже заметил признаки отклонения от простой эпициклической модели. Птолемею удалось распознать закономерность в измеренных отклонениях и ввести кривошипно-шатунный механизм, чтобы включить его в свою эпициклическую теорию.

вариация

Вариация зависит только от удлинения D луны, то есть от ее углового расстояния до Солнца и, таким образом, косвенно от лунных фаз. Он исчезает, когда удлинение составляет 0 °, 90 °, 180 ° или 270 °, то есть при новолунии, полнолунии и двух полумесяцах. Он достигает своих максимальных значений ± 0,658 ° между этими орбитальными точками, то есть в так называемых октантах (45 °, 135 °, 225 °, 315 °). Следовательно, он варьируется с периодом в половину синодического месяца.

Причина вариации в том, что в октантах угол, который образует соединительная линия Земля-Луна с линией действия от Солнца до Земли и Луны, не является целым кратным 90 °, как в случае с эвекцией, а является "наклонный" компонент содержит, который вместо того, чтобы приближаться или удаляться, заставляет Луну скользить вперед и назад относительно ее невозмущенного положения.

Размер изменения позволил бы древним астрономам заметить его; однако греки в основном использовали затмения для определения орбиты Луны, где вариация становится нулевой и не заметна. Он был открыт Тихо Браге и впервые упомянут в письме к Хагецию в 1595 году .

Годовое уравнение

Годовое уравнение означает, что Луна движется немного медленнее, когда система Земля-Луна находится близко к Солнцу (в половине орбиты Земли со стороны перигелия, в настоящее время зимой) и немного быстрее в половине со стороны афелия (т. Е. летом). Он зависит от периода аномального года и достигает максимальных значений ± 0,1864 °.

Годовое уравнение вызвано эксцентриситетом земной орбиты. Если система Земля-Луна находится на расстоянии от Солнца, гравитационное притяжение Солнца несколько меньше по сравнению с гравитационным притяжением Земли, и Луна уносится Солнцем на меньшее расстояние от Земли. В этой ситуации он немного ближе к земле и поэтому бежит быстрее. Напротив, в перигелии притяжение Солнца сильнее, Луна уносится дальше от Земли и движется медленнее. Осенью луна немного опережает свое среднее положение, весной немного отстает. Это также связано с колебанием продолжительности цикла на ± 10 минут.

Годовое уравнение было независимо открыто Кеплером и Браге.

Приведение к эклиптике

Сведение к эклиптике опять же не является нарушением в строгом смысле слова. Он служит для учета того факта, что плоскость, в которой движется Луна и по которой отсчитывается координата орбиты, наклонена по отношению к плоскости эклиптики, вдоль которой отсчитывается эклиптическая длина. Необходимое преобразование координаты орбиты в координату эклиптики может быть выполнено преобразованием координат или, как здесь, расширением ряда.

Размер уменьшения зависит от взаимного расстояния между двумя наклоненными координатными плоскостями в местоположении Луны и, таким образом, от расстояния F _M Луны от восходящего узла орбиты, отсчитываемого вдоль орбиты . Приведение к эклиптике становится нулевым в узлах орбиты и посередине между узлами (при F _M = 90 ° и 270 ° ). При F _M = 45 ° , 135 ° , 225 ° и 315 ° он становится максимальным. Так что он меняется с периодом в половину драконовского месяца.

Птолемей был знаком с этим термином, но пренебрег им из-за его небольшого размера.

Параллактическое уравнение

Параллактическое уравнение принимает максимальные значения ± 0,0356 ° и имеет период в один синодический месяц.

Это происходит аналогично годовому уравнению. Новолуние ближе к солнцу, чем полная луна. Поэтому он сильнее уносится от земли Солнцем и из-за большего расстояния движется медленнее, чем полная луна. Поэтому медленно накапливающееся отклонение от невозмущенного положения является наибольшим в фазах серпа.

Название этого возмущения происходит от того факта, что оно зависит от отношения расстояния между Землей и Луной к расстоянию между Землей и Солнцем и, следовательно, позволяет определять расстояние и, таким образом, параллакс Солнца из точное изучение движения Луны. Поскольку другие возмущения зависят в первую очередь от гравитационной силы Солнца, т.е. ЧАС. С одной стороны, исходя из их расстояния, но, с другой стороны, также из их массы, невозможно сделать вывод о расстоянии от них без независимого определения солнечной массы. Параллактическое уравнение, с другой стороны, зависит только от расстояний, а не от массы Солнца.

Светское ускорение

Помимо перечисленных периодических возмущений, Луна также подвержена непериодическим (« вековым ») возмущениям, которые приводят к (положительному или отрицательному) ускорению курса Луны на протяжении тысячелетий.

«Ускорение свободного падения» вызвано тем, что эксцентриситет земной орбиты в настоящее время уменьшается. В результате гравитационное влияние Солнца на Луну в среднем снижается, что, как и в случае с годовыми уравнениями и уравнениями параллактики, приводит к немного более быстрому движению Луны. Это ускорение равно 6 ″ / столетие ² , так что через t столетий к длине Луны нужно добавить 6 ″ · t ² .

« Приливное ускорение» работает в обратном направлении . Приливные волны, накапливаемые Луной на земных океанах, смещаются в сторону из-за вращения Земли, так что они не лежат точно на соединительной линии Земля-Луна и, в свою очередь, оказывают крутящий момент на Луну. Этот крутящий момент передает угловой момент и энергию на Луну, так что она поднимается на более высокую, более энергичную орбиту, которая, согласно третьему закону Кеплера, соответствует более низкой орбитальной скорости. Это замедление составляет примерно -26 ″ / столетие ² , так что через t столетий из длины Луны ^нужно вычесть ½ · 26 · t ² . Тот факт, что здесь появляется коэффициент 1/2 в отличие от гравитационного ускорения, можно проследить только в соответствии с соответствующими соглашениями. В результате приливного увеличения орбиты Луна ежегодно удаляется от Земли на 3,8 см.

Гелиоцентрическая лунная орбита

Земля и Луна вращаются вокруг Солнца, сечение за месяц. Вокруг полной луны (вверху рисунка) кривизна лунной орбиты больше, в сторону новолуния (справа) меньше, но все же в сторону Солнца. Земля и Луна не в масштабе - земля была бы меньше ширины линии.

Луна движется вместе с Землей со скоростью около 30 км / с вокруг Солнца. Его скорость колеблется от 29 км / с (в новолуние) до 31 км / с (в полнолуние). В определенной степени он обгоняет Землю на внешней орбите, когда Луна полная, а затем отступает за Землю на внутренней орбите, когда Луна новая. Его путь всегда изгибается к солнцу, потому что его притяжение превышает притяжение Земли: Солнце почти в 400 раз дальше, но его масса в 333000 раз больше .

Топоцентрическая лунная орбита

В топоцентрической системе отсчета, то есть для наблюдателя на поверхности вращающейся Земли, Луна, как и все другие небесные тела, показывает ежедневное движение . Это видимое движение вызвано вращением Земли и заставляет небесные тела подниматься над восточным горизонтом и заходить за западный горизонт. В час это 360 ° / 24 = 15 °, что примерно в тридцать раз больше видимого диаметра Луны . Однако в действительности движение Луны по орбите вокруг Земли происходит в противоположном направлении. Это легко определить для внимательного наблюдателя: если, например, Луна находится рядом с определенной звездой в данный момент времени, то через час она переместится примерно на один диаметр луны в восточном направлении по отношению к этой звезде. Спустя 24 часа угол расстояния составляет около 13 °, а в течение чуть более 27 дней, звездного месяца, в сумме получается 360 °, полный оборот перед неподвижным звездным фоном.

Топоцентрическая лунная орбита отклоняется от геоцентрической лунной орбиты из-за параллакса : чем дальше наблюдатель находится от линии, соединяющей центры Земли и Луны, тем больше Луна отклоняется от своего положения от этой соединительной линии (или гипотетически от центра земли из «увиденного»). Это расстояние и его направление также меняются при вращении Земли. Поэтому стационарный наблюдатель будет наблюдать соответствующее «нарушение работы железной дороги», сила которого зависит от географической широты места.

Поэтому следующие параграфы описывают суточную дугу лунной орбиты с геоцентрической привязкой к центру Земли.

Что касается неподвижных звезд, то Луна проходит по небу один раз в звездном месяце из 27,3 дней, то есть в среднем около 13,2 ° в день. Кажущееся суточное вращение звездного неба в противоположном направлении покрывает этот угол за добрые 50 минут. Смещенная в среднем примерно на это время, самая высокая точка Луны, ее кульминация , происходит позже, чем предыдущая. Эта задержка также применяется к датам восхода и захода Луны, если можно не учитывать топоцентрические обстоятельства, такие как географическая широта. Луна восходит и заходит в среднем на час позже, чем накануне. Новолуние восходит утром вместе с солнцем, в первой четверти луна восходит около полудня, затем как полная луна вечером, а в последней четверти - только около полуночи. За время погружения взимается соответствующая дополнительная плата. Зная фазу луны, время восхода и захода солнца можно оценить, но лишь приблизительно.

Интервалы от одной кульминации к другой могут колебаться на добрую четверть часа, от 24 ^часов  48 минут до 25 ^часов  06 минут . Даты восхода и захода колеблются еще больше. Средний период обращения Луны по отношению к положению относительно Солнца, синодический месяц , длится около 29,5 дней, но лунные часы от одного новолуния к другому могут отличаться более чем на 3 часа. В течение десяти лет отклонения от среднего значения более чем на ± 6 часов возникают в течение цикла фаз Луны . Поскольку некоторые эффекты, вызывающие флуктуации орбитальной скорости, нейтрализуют друг друга в течение всей орбиты, различия в продолжительности становятся еще больше, если рассматривать отдельные четверти фазового цикла. Интервал времени между двумя фазами луны - например, от последней четверти (убывающей) полумесяца до следующего новолуния - может быть более чем на 20 часов выше среднего значения в 21 веке и более чем на 19 часов меньше, например во второй четверти (расширяющегося) полумесяца до следующего полнолуния (конец июня 2003 г.). Среднее значение для синодической лунной четверти составляет около 7 дней 9 часов.

Поскольку Луна всегда движется в окрестности эклиптики, наклоненной к экватору, она движется по той же области с севера на юг, что и Солнце, когда движется по своей орбите, но не один раз в год, а один раз в месяц. Полная луна, наиболее заметная фаза Луны, всегда находится напротив Солнца на небе, то есть она расположена в южной части эклиптики, когда Солнце находится на севере (в северном полушарии летом), и наоборот (в зима). Поэтому полнолуние летом находится низко, а зимой - высоко. Если луна находится в первой четверти, она высокая весной и низкая осенью и т. Д. Исходя из информации о времени года и фазе луны, можно оценить высоту кульминации и направление восхода и захода. .

Поскольку орбита Луны наклонена на 5 ° к эклиптике, она покрывает почти, но не совсем ту же область с севера на юг, что и Солнце. Если узловая линия ее орбиты такова, что наклон орбиты относительно эклиптики и наклон эклиптики относительно экватора складываются, то Луна достигает максимального склонения до ± 28,6 °; соответственно, его точки подъема и падения покрывают особенно широкую область на горизонте («Великий поворот Луны», последний раз в 2006 году). Зимние полнолуния тогда особенно высоки, а летние полнолуния - особенно низко. 9,3 года спустя узловая линия повернулась на 180 °, наклоны лунной орбиты и эклиптики противоположны, и Луна достигает склонения только ± 18,4 °. Его область подъема и падения на горизонте теперь имеет наименьшую протяженность («Маленький поворот Луны»).

Это означает, что наклон лунной орбиты к земному экватору колеблется от 18,4 ° до 28,6 °.

Из-за наклона лунной орбиты к эклиптике Луна может закрывать не только звезды , находящиеся на эклиптике, но и звезды, находящиеся на расстоянии до ± 6,60 ° по обе стороны от эклиптики (до 5-го числа, вызванного эклиптикой). наклонением орбиты ° нужно добавить параллакс Луны и радиус ее диска). Однако в определенный месяц Луна покрывает только те звезды, которые находятся в непосредственной близости от ее текущей орбиты. В результате прецессии узла орбита немного смещается с каждой орбитой, и самое позднее через 18,6 лет орбита проходит мимо всех доступных звезд.

Кроме того, из-за этого движения вверх и вниз по отношению к эклиптике (верхняя) кульминация (самая высокая точка) и меридиональный проход (положение точно на юге) не совпадают с Луной . Для кумулятивных эффектов колеблющихся высот горизонта кульминации в течение месяца есть выражения « нюхать» и «одержимость» (восходящая и падающая луна).

Эти расчеты лунных дат (восход, заход, кульминация / прохождение меридиана, видимая яркость и особенно затмения и покрытия) являются одними из самых сложных задач расчета эфемерид из-за сильно нарушенной орбиты Луны и ее близости к Земле. . Они относятся к классическим проблемам зрения в астрономической феноменологии .

веб ссылки

Викисловарь: Лунная орбита  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

• Java-апплет: визуализация геометрии пути и отклонений по длине (английский язык, требуется Java)
• Х.-Д. Гера: орбита Луны и цикл Сароса.
• Астролексикон: «Орбита Луны»
• П. Шлайтер: Вычисление положения планет - учебное пособие с рабочими примерами (Как рассчитать положение Луны, английский)

Индивидуальные доказательства

1. ↑ ^{б с д е е г ч} IMCCE: Ле Мануэл де затмений. EDP ​​Sciences, Les Ulis 2005, ISBN 2-86883-810-3 , стр. 32 (Средние орбитальные элементы Луны для эпохи J2000, (онлайн) )
2. ↑ ^{a b c d e f g h i j} Дж. Л. Саймон, П. Бретаньон, Дж. Чапронт, М. Шапрон-Туз, Г. Франсу, Дж. Ласкар: численные выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет . В кн . : Астрономия и астрофизика . Лента 282 , 1 февраля 1994 г., стр. 663-683 , bibcode : 1994A & A ... 282..663S . 
3. ↑ рассчитано,${\ displaystyle b = a {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2}}}}$
4. ↑ рассчитано по Рамануджану ,${\ displaystyle U \ приблизительно \ pi (a + b) \ left (1 + {\ frac {3 \ lambda ^ {2}} {10 + {\ sqrt {4-3 \ lambda ^ {2}}}}}} \ right) \; {\ text {with}} \; \ lambda = {\ frac {ab} {a + b}}}$
5. ↑ Военно-морская обсерватория США, Управление морского альманаха: Астрономический альманах за 2009 год . Типография правительства США , Вашингтон / Канцелярия, Лондон 2007, ISBN 978-0-11-887342-0 , стр. D2.
6. ^ FR Стивенсон: Исторические затмения и вращение Земли. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания, 1997 г., ISBN 0-521-46194-4 , стр. 11.
7. ↑ ^{а б} Дж. Шапронт, М. Шапрон-Тузе, Ж. Франсу: новое определение параметров лунной орбиты, постоянной прецессии и приливного ускорения на основе измерений LLR. В кн . : Астрономия и астрофизика. т. 387, 2002, с. 700-709. (онлайн)
8. ↑ ^{a b} NASA: Moon Fact Sheet ( онлайн , по состоянию на 6 июня 2011 г.)
9. ↑ ^{а б в г} Дж. Миус: кусочки математической астрономии. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4 , глава 4.
10. ↑ Значение получено в результате полугода и одновременного поворота линии апсиды примерно на 20 °.
11. ^ ^{A b} J. Meeus: кусочки математической астрономии. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4 , глава 2.
12. ↑ ^{б с д е е г} H.-U. Келлер: Астро-знания . Franckh-Kosmos, Штутгарт 2000, ISBN 3-440-08074-9 , стр.77 .
13. ↑ ^{а б в г д} Х.-У. Келлер (ред.): Das Himmelsjahr 1992. Kosmos-Verlag, Stuttgart 1991, ISBN 3-440-06238-4 , стр. 82-87.
14. ↑ Р. Ронколи: Документ о лунных константах и ​​моделях . JPL 2005. ( онлайн ; PDF; 25,5 МБ)
15. ↑ П.К. Зайдельманн (Ред.): Пояснительное приложение к астрономическому альманаху . Научные книги университета, Милл-Вэлли 1992, ISBN 0-935702-68-7 .
16. ↑ ^{а б в г} Д. Х. Экхардт: Теория либрации Луны. Луна и планеты, т. 25 (август 1981 г.), стр. 3–49 (онлайн)
17. ↑ Х.-У. Келлер: Астро-знания . Franckh-Kosmos, Штутгарт 2000, ISBN 3-440-08074-9 , стр.79 .
18. ^ JH Mädler: Популярная астрономия. 4-е издание. Карл Хейманн, Берлин 1852 г., стр.162.
19. ^ AW Harris, WR Ward: Динамические ограничения на образование и эволюцию планетарных тел . В: Ежегодный обзор наук о Земле и планетах. т. 10, 1982, стр. 61-108. (онлайн) , с. 86.
20. ↑ JL Simon, P. Bretagnon, J. Chapront, M. Chapront-Touzé, G. Francou, J. Laskar: Численные выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет. В кн . : Астрономия и астрофизика. т. 282, 1994, стр. 663-683. ( онлайн ) стр. 669 е. Указанные здесь скорости в угловых секундах за юлианский век были переведены в градусы в день для ясности (деление на 3600 и 36525). Более высокие потенции того времени игнорировались.
21. ↑ ^{а б в г д} IMCCE: Le manuel des éclipses. EDP ​​Sciences, Les Ulis 2005, ISBN 2-86883-810-3 , стр. 34: Колебания орбитальных элементов Луны (онлайн)
22. ↑ ^{a b c d e f g h} Дж. Миус: кусочки математической астрономии. Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4 . Глава 1
23. ^ ^{A b} О. Нойгебауэр: История древней математической астрономии . Springer, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1975, ISBN 3-540-06995-X , стр. 1111.
24. ↑ ^{а б} Дж. Х. Мэдлер: Популярная астрономия. 4-е издание. Карл Хейманн, Берлин 1852 г., стр.159.
25. ↑ Т.С. ван Фландерн, К.Ф. Пулккинен: Формулы с низкой точностью для определения положения планет. В: Астрофизический журнал. Дополнение серии; 41, ноябрь 1979 г., стр. 391-411. (онлайн)
26. ^ О. Нойгебауэр: История древней математической астрономии . Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1975, ISBN 3-540-06995-X , стр. 1108: «Открытие и четкое различение всех лунных возмущений, которые находятся в пределах точности, присущей наблюдениям невооруженным глазом, следует причислить к числу выдающиеся достижения ранней науки. Таким образом была подготовлена ​​основа, на которой динамика Ньютона могла бы построить и раскрыть объединяющий принцип объяснения большого разнообразия явно несвязанных эффектов ».
27. ↑ JMA Danby: Основы небесной механики . Виллманн-Белл, Ричмонд, 2003, с. 379.
28. ^ JH Mädler: Популярная астрономия. 4-е издание. Карл Хейманн, Берлин 1852 г., стр.157.
29. ^ ^{А б} Х. Годфрей: Элементарный трактат по теории Луны . Macmillan and Co., Лондон / Нью-Йорк 1885, стр. 69 (онлайн)
30. ^ О. Нойгебауэр: История древней математической астрономии . Springer, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк 1975, ISBN 3-540-06995-X , стр. 84 f.
31. ^ JH Mädler: Популярная астрономия. 4-е издание. Карл Хейманн, Берлин 1852 г., стр.158.
32. ^ DH Kelley, EF Milone: Изучение древнего неба . Спрингер, Нью-Йорк, 2005 г., стр. 34.
33. ^ О. Нойгебауэр: История древней математической астрономии . Springer, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1975, ISBN 3-540-06995-X , стр. 1109.
34. ^ О. Нойгебауэр: История древней математической астрономии . Springer, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1975, ISBN 3-540-06995-X , стр. 1110.
35. ^ О. Нойгебауэр: История древней математической астрономии . Springer, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1975, ISBN 3-540-06995-X , стр. 1107.
36. ^ JH Mädler: Популярная астрономия. Карл Хейманн, Берлин 1852 г., стр.160.
37. ^ ^{А б} Ф. Р. Стивенсон: Исторические затмения и вращение Земли. Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания 1997, ISBN 0-521-46194-4 , гл. 1.
38. ^ J. Meeus: математические кусочки астрономии . Willmann-Bell, Richmond 1997, ISBN 0-943396-51-4 , глава 19.

	Эта статья доступна в виде аудиофайла:
	Сохранить | Информация  | 05:15 мин (1,8 МБ) Текст разговорной версии
	Больше информации в устной Википедии.