В математике, квадрика (от латинских квадр квадрата) является множество решений в квадратичное уравнение нескольких неизвестных. В двух измерениях квадрика обычно образует кривую на плоскости , которая затем является коническим сечением . В трех измерениях квадрика обычно описывает область в пространстве , которую также называют областью второго порядка или квадратной областью . В общем случае квадрика - это алгебраическое многообразие , т.е. специальная гиперповерхность в конечномерном вещественном координатном пространстве . Каждая квадрика может быть преобразована в одну из трех возможных нормальных форм с помощью преобразования большой оси . Таким образом, квадрики можно разделить на несколько основных типов.
Квадрики особенно изучаются в аналитической и проективной геометрии . Применение квадрик в технике и естественных науках можно найти в геодезии ( опорный эллипсоид ), архитектуре ( несущая конструкция ) или оптике ( параболические зеркала ).
определение
Квадрика - это набор точек в -мерном вещественном координатном пространстве вида
-
,
в котором
является квадратичным многочленом от переменных . По крайней мере, один из коэффициентов полинома должен быть ненулевым. Кроме того, можно без ограничений предполагать, что распространяется на всех . Квадрика есть множество нулей квадратичного полинома от нескольких переменных или множества решений в квадратном уравнении с несколькими неизвестными.
Примеры
Например, описывает набор точек
эллипс в плоскости. Количество баллов
описывает однослойный гиперболоид в трехмерном пространстве.
характеристики
Матричный дисплей
В компактной матричной записи квадрика может использоваться как набор векторов
описаны, где а симметричные матрицы и и векторы - столбцы имеют соответствующие длины. С помощью расширенной матрицы дисплея
и соответственно расширенный вектор может также сделать квадрику компактной по множеству
представлены в однородных координатах .
Типы
Есть три основных типа квадрик. Решение о том, что тип данной квадрики может быть сделано на основе рангов матриц , и :
-
Конический тип :
-
Центральная площадь :
-
Параболический тип :
Квадрика называется вырожденной , если
применяется. В то время как невырожденные квадрики образуют изогнутые гиперповерхности во всех направлениях, вырожденные квадрики имеют линейную структуру в некоторых направлениях или иначе являются вырожденными.
Трансформации
Квадрики можно преобразовывать с помощью карт сходства без изменения их типа. Если это регулярная матрица , то линейное преобразование дает новую квадрика в координатах , что уравнения
довольно. Параллельный сдвиг на вектор также дает новую квадрику, которая является уравнение
встретились с единичной матрицей . В частности, ранг матриц и такие сродства не меняются.
Если это так, оба метода можно комбинировать, используя и :
Поскольку матрица симметрична, она ортогонально диагонализуема, то есть существует ортогональная матрица , которая является диагональной матрицей. При этом квадрика может выполнить условие
быть выраженным. Таким образом, больше нет смешанных квадратичных или линейных членов. Таким образом, центр квадрики включен .
Нормальные формы
Каждую квадрику можно преобразовать в одну из следующих нормальных форм с помощью преобразования по большой оси . Для этой цели на ортогональную матрице , например, вращение или отражение матрицы , сначала выбираются в таким образом , что через диагональные матричные результаты , которые содержат собственные значения из в порядке убывания. На втором этапе преобразованная квадрика сдвигается на вектор таким образом, что линейные члены и постоянный член также в значительной степени исчезают. Наконец, квадрика нормализуется таким образом, что постоянный член, если он не равен нулю, становится единицей. Это приводит к следующим трем нормальным формам:
- Конический тип: с
- Центральная площадь: с
- Параболический тип: с
Кроме того, есть особый случай
- Пустой набор: с
Во всех случаях коэффициенты равны . Показатели и результат подписи матрицы .
классификация
Квадрики в одном измерении
В одном измерении квадрика - это множество решений квадратного уравнения с неизвестным, то есть множество точек вида
-
.
Следующие два случая можно выделить с помощью сдвига ( сложения квадратов ) и нормализации:
Невырожденные квадрики
|
Вырожденные квадрики
|
---|
Два решения
|
|
Решение
|
|
В оставшемся случае набор решений - это пустой набор. Во всех случаях это так .
Квадрики в плоскости
На плоскости квадрика - это множество решений квадратного уравнения с двумя неизвестными, т. Е. Множество точек вида
-
.
За исключением вырожденных случаев, это конические сечения , с вырожденными коническими сечениями, в которых вершина конуса содержится в плоскости сечения, и различают невырожденные конические сечения. Общее уравнение квадрики можно преобразовать к одной из следующих нормальных форм с помощью преобразования главной оси:
Невырожденные квадрики
|
Вырожденные квадрики
|
---|
эллипс
|
|
Две пересекающиеся прямые
|
|
гипербола
|
|
Две параллельные прямые
|
|
парабола
|
|
Прямо
|
|
|
|
Один балл
|
|
В двух оставшихся случаях и набором решений является пустой набор. Во всех случаях есть .
Квадрики в космосе
В трехмерном пространстве квадрика - это набор решений квадратного уравнения с тремя неизвестными, т.е. набор точек вида
-
.
В космосе разнообразия квадрик значительно больше, чем на плоскости. Здесь также есть вырожденные и невырожденные квадрики. Вырожденные квадрики также включают просто криволинейные поверхности, такие как цилиндры и конусы. Как и в случае с двумя измерениями, общее уравнение квадрики можно преобразовать к одной из следующих нормальных форм:
Невырожденные квадрики
|
Вырожденные квадрики (искривленные поверхности)
|
Вырожденные квадрики (уровни и т. Д.)
|
---|
Эллипсоид
|
|
Эллиптический конус
|
|
Две пересекающиеся плоскости
|
|
Гиперболоид с одной оболочкой
|
|
Эллиптический цилиндр
|
|
Две параллельные плоскости
|
|
Гиперболоид с двойной оболочкой
|
|
Гиперболический цилиндр
|
|
Уровень
|
|
Эллиптический параболоид
|
|
Параболический цилиндр
|
|
Прямо
|
|
Гиперболический параболоид
|
|
|
|
Один пункт
|
|
В остальных трех случаях , и пустое множество является результатом множества решений. Во всех случаях есть .
Для (или получается в случае двухлистного гиперболоида) в следующих случаях следует отнести поверхности вращения , также называемые квадриками вращения : эллипсоид , одно- и двухслойный гиперболоид вращения , параболоид вращения , круговой конус и круговой цилиндр . Линейчатые поверхности , т.е.поверхности , образованные однонаправленным семейством прямых линий , представляют собой конусы, эллиптические и параболические цилиндры, плоскости, гиперболоид с одной оболочкой и гиперболический параболоид. Последние три поверхности образуются даже двумя наборами прямых линий и являются единственно возможными линейчатыми поверхностями с двойной кривизной в пространстве.
Проективные квадрики
Разнообразие квадрик значительно уменьшается, если и аффинное пространство, в котором определена квадрика, и сама квадрика проективно замкнуты . Все проективные расширения эллипсов, гипербол и парабол проективно эквивалентны друг другу, то есть существует проективная коллинеация, которая отображает одну кривую на другую (см. Раздел проективные коники ).
В трехмерном пространстве следующие квадрики эквивалентны:
- Эллипсоид, двухслойный гиперболоид и эллиптический параболоид,
- однооболочечный гиперболоид и гиперболический параболоид,
- эллиптический, гиперболический, параболический цилиндр и конус.
Обобщения
В более общем плане квадрики также можно рассматривать в векторных пространствах над любым телом , то есть над телом комплексных чисел или даже над конечными телами .
Индивидуальные доказательства
-
^ A b Тило Аренс, Франк Хеттлих, Кристиан Карпфингер, Ульрих Кокелькорн, Клаус Лихтенеггер, Хельмут Штахель : математика . 2-е издание. Spektrum Akademischer Verlag, 2011, ISBN 3-8274-2347-3 , стр. 719 .
-
^ Курт Мейберг, Питер Вакенауэр: Высшая математика 1 . 6-е издание. Springer, 2003, ISBN 978-3-540-41850-4 , стр. 345 .
-
↑ Ханфрид Ленц : Лекции по проективной геометрии. Академическое издательство Geest & Portig, Лейпциг, 1965, стр.155.
литература
- Илья Николаевич Бронштейн, Константин А. Семендяев: Карманный справочник по математике. Teubner-Verlag, Leipzig 1983, ISBN 3-87144-492-8 , стр.283.
- Клеменс Бург, Герберт Хаф, Фридрих Вилле: высшая математика для инженеров. Том II, Teubner-Verlag, Штутгарт, ISBN 3-519-22956-0 , стр. 341.
-
атлас dtv по математике. Том 1, Deutscher Taschenbuch-Verlag, ISBN 3-423-03007-0 , стр. 200-203.
- Курт Мейберг, Петер Вакенауэр: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5 , стр. 343.
веб ссылки