плоский эллипсоид вращения
|
удлиненный эллипсоид вращения
|
Вращения эллипсоида (английский сфероид ) является поверхностью вращения , создаваемый вращающимися в эллипс вокруг одной из его осей. В отличие от трехосного или трехосного эллипсоида , две оси имеют одинаковую длину.
В зависимости от того, какая из двух полуосей образующего эллипса действует как ось вращения , различают:
Вхождение
Эллипсоид вращения и перемещения массы (красный)
Большинство более крупных небесных тел представляют собой приблизительно сплюснутые эллипсоиды вращения, которые также называют сфероидами . Они вызваны центробежной силой , которая вызывает деформацию вращающегося сферического тела . Эти тела сплющиваются в полюсах , то есть в точках пересечения оси вращения , а на экваторе возникает выпуклость. Уплощение больших газовых планет Юпитера и Сатурна особенно заметно, потому что они особенно быстро вращаются и не затвердевают. Но земля и другие планеты в Солнечной системе также деформируются в эллипсоиды вращения под действием центробежных сил , возникающих при вращении. Юпитер, который вращается в десять часов, сплющивается примерно 1/16, то Земли уплощение 1 / +298,257223563 ( WGS - 84 ).
Эллиптические галактики часто бывают не сфероидами, а трехосными.
Параметрическое представление
уплощенный и удлиненный эллипсоид вращения
Следующее параметрическое представление описывает эллипсоид вращения, который при вращении половинного эллипса (в - - уровне ) к созданной оси (с. Поверхность вращения ):
-
.
Цифры - это полуоси вращающегося полуэллипса. В этом случае возникает уплощенный эллипсоид вращения, в случае вытянутого эллипсоида вращения. Если есть, получается сфера с радиусом .
Примечание: полюса (точки на оси вращения ) не имеют четкого представления.
Получающийся эллипсоид вращения имеет неявное представление :
объем
Объем приведенной выше эллипсоида вращения является
-
.
Здесь радиус экваториальной окружности и расстояние между полюсами и центром .
поверхность
Поверхность для сплющенного эллипсоида ( ) также вычисляется
что из удлиненного эллипсоида ( ) с
Сфера с радиусом имеет объем и поверхность (см сферы).
- Вывод формул
Содержание поверхности оболочки при вращении кривой, образованной поверхностью вращения, равно
-
(см. поверхность вращения )
Для приведенного выше эллипсоида вращения есть . Значит, это должен быть интеграл
(2 раза по половине эллипсоида) можно вычислить. Ибо есть, и получается поверхность сферы . Предполагается следующее .
Замещение с приводит к
и таким образом
-
если , и
-
если .
Принимая во внимание, что дробь ниже квадратного корня положительна в обоих случаях, первообразные для двух интегралов и, наконец, приведенные выше формулы для поверхности получаются из таблицы интегрирования (например, Бронштейна-Семенджаева ) .
применение
В геодезии , картографии и других науках о Земле эллипсоиды вращения используются в качестве геометрического приближения физического геоида . Эти эллипсоиды вращения затем служить в качестве опорной поверхности , чтобы указать положение или высоту объектов на земной поверхности . Затем говорят об эллипсоиде отсчета .
В полом теле граничные поверхности (вытянутого) эллипсоида вращения отражают излучение от одной фокусной точки к другой. Хранилище шепота использует этот эффект для объединения звуковых волн .
Сформированные таким образом оптические отражатели фокусируют излучение почти точечно, в одной из фокальных точек расположен источник света, в другом фокусе эллипсоида . Интерфейс на волоконно - оптический кабель , другой оптический элемент или местоположение процесса радиационно-индуцированного может быть расположена там.
Примеры применения
Юпитер и Сатурн
Планеты Юпитер и Сатурн значительно более плоские на полюсах, чем на экваторе, из-за центробежных сил, действующих через быстрое вращение, и они имеют приблизительно форму эллипсоида вращения.
Юпитер
Юпитер имеет экваториальный диаметр 142 984 км и диаметр полюса 133 708 км. Так что для полуосей и . Масса Юпитера составляет около 1,899 · 10 27 кг. Используя приведенные выше формулы для объема , средней плотности и поверхности, получаем :
-
Объем :
- Это примерно в 1321 раз больше объема Земли.
-
Средняя плотность :
- В целом Юпитер имеет немного большую плотность, чем вода при стандартных условиях .
-
Поверхность :
- Это примерно в 121 раз больше поверхности Земли.
Сатурн
Сатурн имеет экваториальный диаметр 120 536 км и диаметр полюса 108 728 км. Так что для полуосей и . Масса Сатурна составляет около 5,683 · 10 26 кг. Это приводит к:
-
Объем :
- Это примерно 764 раз объем земли.
-
Средняя плотность :
- В целом, Сатурн имеет немного меньшую плотность, чем вода при стандартных условиях .
-
Поверхность :
- Это примерно в 84 раза больше, чем поверхность Земли.
Мяч для регби
Мяч для регби составляет около 280 миллиметров в длину и имеет диаметр около 200 мм на оси малой . Так что для полуосей и . Масса регби мяч составляет около 400 граммов. Это приводит к:
-
Объем :
-
Средняя плотность :
Смотри тоже
веб ссылки
Индивидуальные доказательства
-
↑ Бейер, Справочник по математическим наукам CRC, 5-е издание, стр.198.