Кривая Лоренца

Использование кривой Лоренца для иллюстрации распределения доходов : например (на сплошной кривой) на 50% беднейших домохозяйств приходится около 27% общего дохода; 80% самых бедных имеют около 60% своего дохода. Конечно, это также показывает, что оставшиеся 40% дохода поступают от 20% самых богатых домохозяйств. Пунктирная кривая показывает более неравномерное распределение доходов. Здесь на долю беднейших 50% приходится лишь около 15% дохода.

Кривая Лоренца (также: кривая Лоренца ) была разработана в 1905 году американским статистиком и экономистом Максом Отто Лоренц (1876-1959). Он показывает статистические распределения графически и иллюстрирует степень несоответствия (неравенства) или относительной концентрации в распределении; поэтому ее также называют кривой диспаратности . Официальная статистика использует кривую Лоренца для иллюстрации распределения доходов в стране; Эти расчеты основаны на списке индивидуальных доходов или активов, отсортированном в порядке возрастания слева направо (см. Также: Pen's Parade ).

Структура и объяснение

Кривая Лоренца - это функция в единичном квадрате 1-го квадранта. Он показывает, какие части общей суммы функций относятся к каким частям базового набора с носителями функций. Ось ( абсцисса ) показывает процент от общего числа признаков (например: населения), а ось ( ординат ) показывает пропорции общей суммы признаков (например : доход). Прежде всего, данные сортируются в порядке возрастания - начиная с наименьшей доли от общего количества функций - а затем накапливаются («суммируются»). Это создает характерный «живот» кривой Лоренца ниже диагонали, который отражает степень неравномерности распределения. Каждая точка на кривой Лоренца обозначает утверждение, например, «нижние 20% всех домохозяйств получают 10% от общего дохода» (см .: принцип Парето ). Идеальным равным распределением доходов было бы такое распределение доходов, при котором все люди имеют одинаковый доход. В этом случае доход всегда будет у низов общества . Это можно четко проиллюстрировать прямой линией ; их называют идеальной линией идеального равенства. Напротив, идеальным неравенством было бы распределение, при котором один человек имеет весь доход, а все остальные люди не имеют дохода. В этом случае кривая была бы для всех, и в этой кривой упоминается как прямая идеального неравенства (линия идеального неравенства) . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle N \, \%}$${\ Displaystyle N \, \%}$${\ displaystyle y = x}$ ${\ Displaystyle у = 0 \, \%}$${\ Displaystyle х <100 \, \%}$${\ Displaystyle у = 100 \, \%}$${\ Displaystyle х = 100 \, \% \,.}$

Коэффициент Джини представляет собой долю площади между линией идеального равномерного распределения и наблюдаемой кривой Лоренца площади под линией равномерного распределения. Таким образом, коэффициент Джини представляет собой число от 0 до 1; чем он выше, тем более неравномерно распределение.

расчет

Сдержанный случай

Кривая Лоренца определяется как линейная кривая, определенная в секциях (то есть как курс многоугольника ) через точки . Если доли в совокупности носителей признаков и доли в общей сумме признаков (эти термины см. Выше «Структура и объяснение»), то координаты точек определяются как: ${\ displaystyle (0 \ vert 0), \ left (u_ {1} \ vert v_ {1} \ right), \ left (u_ {2} \ vert v_ {2} \ right), \ ldots, \ left ( u_ {n} \ vert v_ {n} \ right), (1 \ vert 1)}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle y_ {j}}$${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$

${\ displaystyle u_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} x_ {j}}$ .

и

${\ displaystyle v_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} y_ {j}}$ .

Устойчивое / непрерывное падение

Как общее правило

Кривая Лоренца часто может быть представлена ​​функцией с нанесенными на нее абсциссой и ординатой. ${\ Displaystyle L (F)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle L}$

Для большой популяции с последовательностью значений , индексированных в порядке возрастания , кривая Лоренца представляет собой непрерывную секционную линейную функцию, которая соединяет точки ( , ) , где , есть и для : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ Displaystyle я = 1,2, \ ldots, п}$${\ Displaystyle \ влево (Y_ {я} \ Leq Y_ {я + 1} \ вправо) \ ,,}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ Displaystyle я = 0,1, \ ldots, п}$${\ displaystyle F_ {0} = 0}$${\ displaystyle L_ {0} = 0}$${\ Displaystyle я = 1,2, \ ldots, п}$

${\ displaystyle F_ {i} = {\ frac {i} {n}} \ ,,}$

${\ displaystyle S_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} y_ {j} \ ,,}$

${\ displaystyle L_ {i} = {\ frac {S_ {i}} {S_ {n}}} \,.}$

Его также называют коэффициентом асимметрии Лоренца . ${\ displaystyle S_ {i}}$

Для дискретной функции вероятности является , точки с не- / ненулевые вероятности обозначены порядком возрастания . Кривая Лоренца - это непрерывная линейная функция, определенная в секциях, которая соединяет точки ( , ) ,, между собой, где , is и для : ${\ displaystyle f (y)}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ Displaystyle я = 1,2, \ ldots, п}$${\ Displaystyle \ влево (у_ {я} <у_ {я + 1} \ вправо)}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ Displaystyle я = 0,1, \ ldots, п}$${\ displaystyle F_ {0} = {0}}$${\ displaystyle L_ {0} = 0}$${\ Displaystyle я = 1,2, \ ldots, п}$

${\ Displaystyle F_ {я} = \ сумма \ пределы _ {j = 1} ^ {i} f (y_ {j}) \ ,,}$

${\ displaystyle S_ {i} = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {i} f (y_ {j}) \, y_ {j} \ ,,}$

${\ displaystyle L_ {i} = {\ frac {S_ {i}} {S_ {n}}} \,.}$

Для распределения Лапласа , т. Е. Для всех , получаем в точности указанные выше формулы для и . ${\ displaystyle f (y_ {i}) = {\ frac {1} {n}}}$${\ Displaystyle я = 1 \ ldots, п}$${\ displaystyle F_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$

Для функции плотности вероятности с кумулятивной функцией распределения вероятностей кривая Лоренца определяется следующим образом: ${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle F (х)}$${\ Displaystyle L [F (x)]}$

${\ Displaystyle L [F (x)] = {\ frac {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {x} t \, f (t) \, \ mathrm {d} t} {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} t \, f (t) \, \ mathrm {d} t}} \,.}$

Для кумулятивной функции распределения с обратной функцией кривая Лоренца имеет вид: ${\ Displaystyle F (х)}$${\ Displaystyle х (F)}$${\ Displaystyle L (F)}$

${\ Displaystyle L (F) = {\ гидроразрыва {\ int \ limits _ {0} ^ {F} x (F_ {1}) \, \ mathrm {d} F_ {1}} {\ int \ limits _ { 0} ^ {1} x (F_ {1}) \, \ mathrm {d} F_ {1}}} \,.}$

Обратная функция не может существовать , так как функция распределения имеет скачки ( разрывы ) или интервалы значений констант. Предыдущее уравнение остается в силе, если его определить в более общем виде следующей формулой:${\ Displaystyle х (F)}$${\ displaystyle x (F_ {1})}$${\ Displaystyle х (F_ {1}) = \ inf \ left \ {y \ двоеточие F (y) \ geq F_ {1} \ right \} \,.}$

Определение гастритов

Рассмотрим неотрицательную случайную величину с соответствующей нормированной функцией квантиля . После Джозефа Льюиса Гаствирта фигура ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Q ^ {*}}$

${\ Displaystyle {\ begin {выравнивается} L \ двоеточие [0,1] \ rightarrow & [0,1] \\\ alpha \ mapsto & L (\ alpha) = \ int \ limits _ {0} ^ {\ alpha } Q ^ {*} ({\ тильда {\ альфа}}) \ mathrm {d} {\ тильда {\ альфа}} \ конец {выровнено}}}$

называется (непрерывной) Lorenz кривой в или для распределения .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

характеристики

Кривая Лоренца обладает следующими свойствами:

• Он всегда начинается в начале координат и заканчивается в точке .${\ Displaystyle (0 \ верт 0)}$${\ Displaystyle (1 \ верт 1)}$
• Производной кривой монотонно возрастает, поэтому сама кривая является выпуклой и лежит ниже диагонали.
• Кривая Лоренца непрерывна на открытом интервале (0.1), в дискретном случае даже кусочно линейна .

Кривая Лоренца не определена для среднего значения распределения вероятностей, равного нулю или бесконечности.

Кривая Лоренца для распределения вероятностей является непрерывной функцией. Но кривые Лоренца разрывных функций могут быть сформулированы как предельные значения (Лаймы) кривых Лоренца вероятностных распределений, таких как линия совершенного неравенства (линия идеального неравенства).

Данные кривой Лоренца можно суммировать с помощью коэффициента Джини и коэффициента асимметрии Лоренца.

Кривая Лоренца инвариантна с положительным масштабированием. Если это случайная величина , то случайная величина имеет такое же кривой Лоренц как для любого положительного числа , причем Лоренц кривого случайной величины, конечно , понимается , что ассоциированное распределение. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle cX}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle X}$

Кривая Лоренца не инвариантна относительно сдвигов, т. Е. При постоянном сдвиге значений. Если случайная величина с кривой Лоренца и средним значением равно, то получается следующая формула для кривой Лоренца смещенной случайной величины , где фиксированная константа равна: ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle L_ {X} (F)}$${\ displaystyle \ mu _ {X}}$${\ Displaystyle L_ {X + c} (F)}$${\ displaystyle X + c}$${\ displaystyle c \ neq - \ mu _ {X}}$

${\ Displaystyle F-L_ {X + c} (F) = {\ frac {\ mu _ {X}} {\ mu _ {X} + c}} [F-L_ {X} (F)]}$

Для кумулятивной функции распределения со средним значением и (обобщенной) обратной функцией выполняется для каждого с${\ Displaystyle F (х)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle х (F)}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle 0 <F <1 \ двоеточие}$

• Если кривая Лоренца дифференцируема, применяется следующее:

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} L (F)} {\ mathrm {d} F}} = {\ frac {x (F)} {\ mu}} \,;}$

• Если кривая Лоренца двукратно дифференцируема, то в этой точке существует функция плотности вероятности и:${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} L (F)} {\ mathrm {d} F ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ mu f [x (F) ]}} \,;}$

• Если непрерывно дифференцируема, то касательная параллельна совершенной прямой равенства в точке . Это также точка, в которой несоответствие равенства , вертикальное расстояние между кривой Лоренца и идеальной линией равенства является наибольшим. Размер несоответствия равен половине относительного среднего отклонения:${\ Displaystyle L (F)}$${\ Displaystyle L (F)}$${\ Displaystyle F (\ mu)}$${\ displaystyle FL (F)}$

${\ Displaystyle F (\ mu) -L [F (\ mu)] = {\ frac {\ text {среднее отклонение}} {2 \ mu}} \,.}$

Кривая Лоренца случайной величины отражается в точке перехода от к , то есть с указанными выше условиями: ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle (0,5 \ верт 0,5)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle -X}$

${\ Displaystyle L _ {- X} (F) = 1-L_ {X} (1-F) \,.}$

Крайние случаи

Чем более равномерно распределена сумма признаков между носителями, тем ближе кривая Лоренца приближается к диагонали. В крайнем случае равного экономического распределения (статистическое одноточечное распределение) оно совпадает с ним.

В случае большего несоответствия кривая движется вниз по оси абсцисс. Для крайнего случая максимально неравномерного распределения (носитель признаков объединяет всю сумму признаков) кривая Лоренца проходит в виде линии на абсциссе до точки и ведет от нее к точке . ${\ displaystyle 1 - {\ tfrac {1} {n}}}$${\ Displaystyle (1 \ верт 1)}$

Постоянно и дискретно засекреченные данные

Точная форма кривой Лоренца зависит от типа данных для объекта. В принципе, непрерывные данные (см. Пример изображения выше) следует отличать от дискретных данных. Во втором случае кривая Лоренца представляет собой линию, проходящую через точки . ${\ displaystyle \ left (F_ {j} \ vert L_ {j} \ right)}$

Измерение относительной концентрации (несоответствия)

Кривая Лоренца предлагает графический способ просмотра степени несоответствия в распределении. Чем больше кривая изгибается вниз, тем больше несоответствие (см. Раздел «Крайние случаи» ). Однако в случае пересечения двух кривых Лоренца график больше не может использоваться для четкого определения, какая из них имеет большее несоответствие. Измерение с использованием графики также является слишком неточным. Точные значения обеспечиваются коэффициентом Джини и коэффициентом вариации . Коэффициент Джини напрямую связан с кривой Лоренца: это удвоенная площадь между кривой Лоренца и диагональю в единичном квадрате.

Пример таблицы для дискретно классифицированных данных

Сбор данных для 5 классов, названных индексом , привел к относительным частотам (доля характерных носителей класса в общем количестве характеристических носителей) и пропорциям характеристической суммы, которые выделяются классу. в таблице ниже. Отсюда мы определяем ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle f_ {j}}$${\ displaystyle h_ {j}}$${\ displaystyle j}$

• ${\ displaystyle F_ {j} \ двоеточие}$ кумулятивная (относительная частота),
• ${\ displaystyle L_ {j} \ двоеточие}$кумулятивная (несоответствие) .${\ displaystyle h_ {j}}$

индекс ${\ displaystyle j}$	Относительная частота ${\ displaystyle f_ {j}}$	Накопленная относительная частота ${\ displaystyle F_ {j}}$	Несоответствие ${\ displaystyle h_ {j}}$	Кумулятивное неравенство ${\ displaystyle L_ {j}}$
1	0,2	0,2	0,00	0,00
2	0,4	0,6	0,05	0,05
3	0,1	0,7	0,15	0,20
4-й	0,1	0,8	0,30	0,50
5	0,2	1.0	0,50	1,00

Объяснение:

Кривая Лоренца создается путем нанесения на абсциссу и ординату и соединения точек линией. ${\ displaystyle F_ {j}}$${\ displaystyle L_ {j}}$

В статье о распределении Парето есть еще один пример кривой Лоренца.

Теорема Ротшильда и Стиглица

Два распределения приведены и с Лоренц кривой лежит выше кривой Лоренца от Тогда и только тогда относится к каждой симметричной и квази-выпуклой функции${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ left (x_ {1} ^ {*}, \ ldots, x_ {n} ^ {*} \ right)}$${\ displaystyle \ sum x_ {v} = \ sum x_ {v} ^ {*} \,.}$${\ displaystyle \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$${\ displaystyle \ left (x_ {1} ^ {*}, \ ldots, x_ {n} ^ {*} \ right) \,.}$ ${\ displaystyle F \ двоеточие}$

${\ Displaystyle F \ left (x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right) \ leq F \ left (x_ {1} ^ {*}, \ ldots, x_ {n} ^ {*} \ right ) \,.}$

Вывод: если две кривые Лоренца пересекаются, это зависит от выбора соответствующей симметричной и квазивыпуклой функции, какая из двух кривых должна быть описана как кривая с большим неравенством . ${\ displaystyle F}$

длина

Длина кривой Лоренца также может использоваться в качестве меры диспаратности (меры относительной концентрации) . Диапазон значений действителен для диапазона определения${\ displaystyle L_ {L}}$${\ displaystyle \ mathbb {W} _ {L_ {L}} = \ left \ {L \ in \ mathbb {R} {\ bigg \ vert} {\ sqrt {2}} \ leq L \ leq 2 \ right \ } \,;}$${\ displaystyle \ mathbb {D} _ {L_ {L}} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} \ vert 0 \ leq x \ leq 1 \ right \}.}$

Сдержанный случай

Как следует из названия, это можно получить из дискретной кривой Лоренца, суммируя длины участков маршрута. Следующее относится к длине дискретной кривой Лоренца:

${\ displaystyle {\ begin {align} L_ {L} & = {\ sqrt {{F \ left (x_ {1} \ right)} ^ {2} + {g \ left (x_ {1} \ right)} ^ {2}}} + {\ sqrt {{\ left [F \ left (x_ {2} \ right) -F \ left (x_ {1} \ right) \ right]} ^ {2} + {\ left [g \ left (x_ {2} \ right) -g \ left (x_ {1} \ right) \ right]} ^ {2}}} + \ ldots + {\ sqrt {{\ left [F \ left ( x_ {n} \ right) \ right] -F \ left (x_ {n-1} \ right)} ^ {2} + {\ left [g \ left (x_ {n} \ right) -g \ left ( x_ {n-1} \ right) \ right]} ^ {2}}} \\ & = \ sum \ limits _ {j = 1} ^ {n-1} {\ sqrt {{\ left [F \ left (x_ {j + 1} \ right) -F \ left (x_ {j} \ right) \ right]} ^ {2} + {\ left [g \ left (x_ {j + 1} \ right) -g \ left (x_ {j} \ right) \ right]} ^ {2}}} \, \ end {align}}}$

В случае равномерного распределения существует абсолютная концентрация только на одном единственном характеристическом значении.${\ displaystyle L_ {L} = {\ sqrt {1 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = {\ sqrt {2}} \,.}$${\ Displaystyle L_ {L} = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} = 2 \,.}$

Устойчивое / непрерывное падение

Длина установившегося / непрерывной, дифференцируемой кривой Лоренца [между точками и ] вычисляется с первой производной функции кривой Лоренца следующим образом : ${\ Displaystyle А (0 \ верт 0)}$${\ Displaystyle В (1 \ верт 1)}$${\ Displaystyle L (F)}$

${\ Displaystyle L_ {L} (а) = \ int \ limits _ {0} ^ {a} {\ sqrt {1+ \ left [L '(F) \ right] ^ {2}}} \ cdot \ mathrm {d} F}$

с . ${\ Displaystyle а \ в [0,1]}$

Приложения

Экономика

В экономике кривая Лоренца используется для графического представления кумулятивной функции распределения эмпирического распределения вероятностей богатства; это график, показывающий степень распределения, предполагаемую для меньшего из значений. Его часто используют для отображения распределения доходов, при этом меньшее из домохозяйств показывает, насколько велика доля общего дохода , принадлежащая им. Доля домашних хозяйств отложена по оси абсцисс, доля доходов - по ординате. Его также можно использовать для отображения распределения доходов. В этом смысле многие экономисты рассматривают кривую Лоренца как показатель социального неравенства (показатель социального неравенства). Он был разработан в 1905 году Максом О. Лоренцем для иллюстрации неравенства в распределении доходов. ${\ Displaystyle у \, \%}$${\ Displaystyle х \, \%}$${\ Displaystyle у \, \%}$

Помимо иллюстрации распределения доходов, кривая Лоренца также используется для представления рыночной власти или пространственного распределения (сравните: сегрегация ).

Кривая Лоренца также используется в логистическом анализе ABC , в котором кривая Лоренца иллюстрирует распределение товаров, упорядоченное в соответствии с классификационным свойством (например, стоимостью) и количеством потребления.

Кривая Лоренца также может быть использовано для бизнеса - моделей - например , в сфере потребительского кредитования, чтобы определить реальные невыплаты по срокам погашения (правонарушения) от потребителя с наихудшими прогнозируемыми рисками / кредитных баллами. ${\ Displaystyle Y \, \%}$${\ Displaystyle X \, \%}$

экология

Концепция кривой Лоренца полезна для описания неравенства между количеством особей в экологии и используется в исследованиях биоразнообразия путем сравнения совокупных пропорций видов животных с совокупными пропорциями особей.

Концентрация, а также несоответствие

Несоответствие (кривая Лоренца) и (абсолютная) концентрация (кривая концентрации ) являются взаимосвязанными показателями, но описывают разные вещи. В то время как кривая Лоренца показывает, какие части суммы признаков (ордината) относятся к каким частям группы носителей признаков (абсцисса), кривая концентрации показывает, какие части суммы признаков (ордината) относятся к каким носителям признаков (абсцисса) ). Это означает, что кривая Лоренца сравнивает пропорции с пропорциями, кривая концентрации сравнивает пропорции с абсолютными числами (абсциссой). Таким образом, может происходить одновременно большое несоответствие и низкая концентрация или высокая концентрация и низкая диспаратность. Следующий пример иллюстрирует вопрос:

Предположим, компании делят рынок. В таблице случаи высокого и низкого неравенства или концентрации разобраны с (фиктивными) абсолютными числами: ${\ displaystyle x}$

	Высокое неравенство	Несоответствие низкое
Концентрация высокая	${\ Displaystyle \! \ x_ {1} = 90}$ ${\ Displaystyle \! \ x_ {2} = x_ {3} = 5}$	${\ Displaystyle \! \ x_ {1} = 34}$ ${\ Displaystyle \! \ x_ {2} = x_ {3} = 33}$
Низкая концентрация	${\ Displaystyle \! \ x_ {1} = \ ldots = x_ {400} = 0 {,} 9}$ ${\ Displaystyle \! \ x_ {401} = \ ldots = x_ {1000} = 0 {,} 01}$	${\ Displaystyle \! \ x_ {1} = \ ldots = x_ {400} = 0 {,} 9}$ ${\ Displaystyle \! \ x_ {401} = \ ldots = x_ {1000} = 0 {,} 89}$

литература

• Джозеф Льюис Гаствирт: Общее определение кривой Лоренца. В: Econometrica , Vol. 39, No. 6, New York Nov.1971. pp. 1037-1039.
• Йозеф Блеймюллер, Гюнтер Гелерт, Герберт Гюлихер: Статистика для экономистов. Учебный курс WiSt. 10-е издание, Verlag Franz Vahlen, Мюнхен, 1996. ISBN 978-3-8006-2081-4 (3-8006-2081-2). 244 с.

веб ссылки

• Гюнтер Фаес: Четкое описание кривой Лоренца и коэффициента Джини , faes.de

Индивидуальные доказательства

1. ^ Дуден: кривая Лоренца . В: Экономика Дудена от А до Я: Базовые знания для школы и учебы, работы и повседневной жизни. 4-е издание Bibliographisches Institut, Mannheim 2009 (лицензионное издание: Федеральное агентство гражданского образования, Бонн)
2. ↑ ^{a b} Томас Огюстен, Себастьян Петри: экономическая и социальная статистика ( памятная записка с оригинала от 1 февраля 2012 г. в Интернет-архиве ) Информация: ссылка на @ 1@ 2Шаблон: Webachiv / IABot / www.statistik.lmu.de архив была вставлена ​​автоматически и еще не проверена. Проверьте исходную ссылку и ссылку на архив в соответствии с инструкциями, а затем удалите это уведомление. . (PDF-файл; 216 kB), LMU, Munich 2010. P. 45 ff.
3. ↑ Джозеф Льюис Гаствирт: Общее определение кривой Лоренца. В: Econometrica , Vol. 39, No. 6, New York Nov.1971. pp. 1037-1039.
4. ↑ Карл Мослер, Фридрих Шмид: Описательная статистика и экономическая статистика. Springer, Берлин / Гейдельберг 2009, ISBN 978-3-642-01556-4 .
5. ^ ^{A b} Кристиан Дамгаард, Якоб Вайнер: Описание неравенства в размерах растений или плодовитости. . 4 - е изд экологии, 2000. Т. 81.. DOI : 10,1890 / 0012-9658 (2000) 081 [1139: DIIPSO] 2.0.CO; 2 С. 1139-1142..
6. ↑ Артур О'Салливан, Стивен М. Шеффрин: Экономика: принципы в действии . Пирсон Прентис Холл, Верхняя Сэдл-Ривер (Нью-Джерси 07458) 2003. ISBN 0-13-063085-3 . С. 349 и сл.
7. ↑ Ливен Виттеболле и др.: Первоначальная ровность сообщества способствует функционированию в условиях избирательного стресса. 7238. Ed. Nature, 2009. Vol. 458. pp. 623-626. DOI: 10,1038 / природа07840 . PMID 19270679 .