Эллипсоид вращения

плоский эллипсоид вращения

удлиненный эллипсоид вращения

Вращения эллипсоида (английский сфероид ) является поверхностью вращения , создаваемый вращающимися в эллипс вокруг одной из его осей. В отличие от трехосного или трехосного эллипсоида , две оси имеют одинаковую длину.

В зависимости от того, какая из двух полуосей образующего эллипса действует как ось вращения , различают:

• сплюснутый эллипсоид при вращении вокруг небольшой полуоси (пример: форма шоколада линзы )
• удлиненный ( вытянутый ) эллипсоид при вращении вокруг большой полуоси (пример: форма мяча для регби ).

Вхождение

Эллипсоид вращения и перемещения массы (красный)

Большинство более крупных небесных тел представляют собой приблизительно сплюснутые эллипсоиды вращения, которые также называют сфероидами . Они вызваны центробежной силой , которая вызывает деформацию вращающегося сферического тела . Эти тела сплющиваются в полюсах , то есть в точках пересечения оси вращения , а на экваторе возникает выпуклость. Уплощение больших газовых планет Юпитера и Сатурна особенно заметно, потому что они особенно быстро вращаются и не затвердевают. Но земля и другие планеты в Солнечной системе также деформируются в эллипсоиды вращения под действием центробежных сил , возникающих при вращении. Юпитер, который вращается в десять часов, сплющивается примерно 1/16, то Земли уплощение 1 / +298,257223563 ( WGS - 84 ).

Эллиптические галактики часто бывают не сфероидами, а трехосными.

Параметрическое представление

уплощенный и удлиненный эллипсоид вращения

Следующее параметрическое представление описывает эллипсоид вращения, который при вращении половинного эллипса (в - - уровне ) к созданной оси (с. Поверхность вращения ): ${\ Displaystyle (а \ соз т, 0, с \ грех т), - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq t \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a ~ \ cos t ~ \ cos \ varphi \\ a ~ \ cos t ~ \ sin \ varphi \\ c ~ \ sin t \ end {pmatrix}} \ qquad (- {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq t \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}} \, \ 0 \ leq \ varphi <2 \ pi, \ 0 <a, c)}$.

Цифры - это полуоси вращающегося полуэллипса. В этом случае возникает уплощенный эллипсоид вращения, в случае вытянутого эллипсоида вращения. Если есть, получается сфера с радиусом . ${\ displaystyle a, c}$${\ displaystyle a> c}$${\ displaystyle a <c}$${\ displaystyle a = c}$ ${\ displaystyle a}$

Примечание: полюса (точки на оси вращения ) не имеют четкого представления.

Получающийся эллипсоид вращения имеет неявное представление :

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + y ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {c ^ {2}}} = 1 \. }$

объем

Объем приведенной выше эллипсоида вращения является

${\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi} {3}} a ^ {2} c}$.

Здесь радиус экваториальной окружности и расстояние между полюсами и центром . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$

поверхность

Поверхность для сплющенного эллипсоида ( ) также вычисляется ${\ displaystyle a> c}$

${\ displaystyle A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}}} \, \ operatorname {arsinh} \ left ({\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} {c}} \ right) \ right) \,}$

что из удлиненного эллипсоида ( ) с ${\ displaystyle c> a}$

${\ displaystyle A = 2 \ pi a \ left (a + {\ frac {c ^ {2}} {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}}} \, \ operatorname {arcsin} \ left ({\ frac {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} {c}} \ right) \ right) \.}$

Сфера с радиусом имеет объем и поверхность (см сферы). ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi} {3}} r ^ {3}}$${\ displaystyle A = 4 \ pi r ^ {2}}$

Вывод формул

Содержание поверхности оболочки при вращении кривой, образованной поверхностью вращения, равно ${\ Displaystyle (г (т), 0, г (т)) \, т_ {1} \ Leq т \ Leq т_ {2}}$

${\ displaystyle A = 2 \ pi \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} r \ {\ sqrt {{\ dot {r}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2}}} \, немецкий \}$(см. поверхность вращения )

Для приведенного выше эллипсоида вращения есть . Значит, это должен быть интеграл${\ Displaystyle г (т) = а \ соз т, \ г (т) = с \ грех т}$

${\ displaystyle A = 2 \ cdot 2 \ pi \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} a \ cos t {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} \ mathrm {d} t}$

(2 раза по половине эллипсоида) можно вычислить. Ибо есть, и получается поверхность сферы . Предполагается следующее . ${\ displaystyle a = c}$${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ sin ^ {2} t + c ^ {2} \ cos ^ {2} t}} = {\ sqrt {a ^ {2} (\ sin ^ {2 } t + \ cos ^ {2} t)}} = a}$${\ displaystyle a \ neq c}$

Замещение с приводит к ${\ Displaystyle и = \ грех т}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} и = \ соз т \ mathrm {d} т}$

${\ displaystyle A = 4 \ pi a \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {a ^ {2} u ^ {2} + c ^ {2} (1-u ^ {2 })}} \ \ mathrm {d} u = 4 \ pi a \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {(a ^ {2} -c ^ {2}) u ^ { 2} + c ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u}$

и таким образом

${\ displaystyle A = 4 \ pi a {\ sqrt {a ^ {2} -c ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {u ^ {2} + {\ frac {c ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}}}} \ \ mathrm {d} u \ quad,}$если , и${\ displaystyle a> c}$

${\ displaystyle A = 4 \ pi a {\ sqrt {c ^ {2} -a ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {1} \! \! {\ sqrt {{\ frac {c ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}}} - u ^ {2}}} \ \ mathrm {d} u \ quad,}$если .${\ displaystyle c> a}$

Принимая во внимание, что дробь ниже квадратного корня положительна в обоих случаях, первообразные для двух интегралов и, наконец, приведенные выше формулы для поверхности получаются из таблицы интегрирования (например, Бронштейна-Семенджаева ) .

применение

В геодезии , картографии и других науках о Земле эллипсоиды вращения используются в качестве геометрического приближения физического геоида . Эти эллипсоиды вращения затем служить в качестве опорной поверхности , чтобы указать положение или высоту объектов на земной поверхности . Затем говорят об эллипсоиде отсчета .

В полом теле граничные поверхности (вытянутого) эллипсоида вращения отражают излучение от одной фокусной точки к другой. Хранилище шепота использует этот эффект для объединения звуковых волн .
Сформированные таким образом оптические отражатели фокусируют излучение почти точечно, в одной из фокальных точек расположен источник света, в другом фокусе эллипсоида . Интерфейс на волоконно - оптический кабель , другой оптический элемент или местоположение процесса радиационно-индуцированного может быть расположена там.

Примеры применения

Юпитер и Сатурн

Планеты Юпитер и Сатурн значительно более плоские на полюсах, чем на экваторе, из-за центробежных сил, действующих через быстрое вращение, и они имеют приблизительно форму эллипсоида вращения.

Юпитер

Юпитер имеет экваториальный диаметр 142 984 км и диаметр полюса 133 708 км. Так что для полуосей и . Масса Юпитера составляет около 1,899 · 10 ²⁷ кг. Используя приведенные выше формулы для объема , средней плотности и поверхности, получаем : ${\ Displaystyle а = 71492 \ \ mathrm {км}}$${\ displaystyle c = 66854 \ \ mathrm {км}}$

• Объем :${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (71492 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km} \ приблизительно 1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$

Это примерно в 1321 раз больше объема Земли.

• Средняя плотность :${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ {15} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {1 {,} 899 \ cdot 10 ^ {27} \ \ mathrm {kg}} {1 {,} 4313 \ cdot 10 ^ { 24} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ приблизительно 1327 \ \ mathrm {кг} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

В целом Юпитер имеет немного большую плотность, чем вода при стандартных условиях .

• Поверхность :${\ Displaystyle А \ приблизительно 4 \ CDOT \ пи \ CDOT \ влево ({\ гидроразрыва {(а \ cdot b) ^ {\ гидроразрыва {8} {5}} + (а \ cdot c) ^ {\ гидроразрыва {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ right) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 71492 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (71492 \ \ mathrm {km} \ cdot 66854 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ right) ^ {\ frac {5} {8}} \ приблизительно 6 {,} 15 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {км ^ {2}}}$

Это примерно в 121 раз больше поверхности Земли.

Сатурн

Сатурн имеет экваториальный диаметр 120 536 км и диаметр полюса 108 728 км. Так что для полуосей и . Масса Сатурна составляет около 5,683 · 10 ²⁶ кг. Это приводит к: ${\ Displaystyle а = 60268 \ \ mathrm {км}}$${\ displaystyle c = 54364 \ \ mathrm {км}}$

• Объем :${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (60268 \ \ mathrm {km}) ^ {2} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km} \ приблизительно 8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}$

Это примерно 764 раз объем земли.

• Средняя плотность :${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ {14} \ \ mathrm {km ^ {3}}}} = {\ frac {5 {,} 683 \ cdot 10 ^ {26} \ \ mathrm {kg}} {8 {,} 2713 \ cdot 10 ^ { 23} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ приблизительно 687 \ \ mathrm {кг} / \ mathrm {m ^ {3}}}$

В целом, Сатурн имеет немного меньшую плотность, чем вода при стандартных условиях .

• Поверхность :${\ Displaystyle А \ приблизительно 4 \ CDOT \ пи \ CDOT \ влево ({\ гидроразрыва {(а \ cdot b) ^ {\ гидроразрыва {8} {5}} + (а \ cdot c) ^ {\ гидроразрыва {8 } {5}} + (b \ cdot c) ^ {\ frac {8} {5}}} {3}} \ right) ^ {\ frac {5} {8}} = 4 \ cdot \ pi \ cdot \ left ({\ frac {(60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 60268 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}} + (60268 \ \ mathrm {km} \ cdot 54364 \ \ mathrm {km}) ^ {\ frac {8} {5}}} {3} } \ right) ^ {\ frac {5} {8}} \ приблизительно 4 {,} 27 \ cdot 10 ^ {10} \ \ mathrm {км ^ {2}}}$

Это примерно в 84 раза больше, чем поверхность Земли.

Мяч для регби

Мяч для регби составляет около 280 миллиметров в длину и имеет диаметр около 200 мм на оси малой . Так что для полуосей и . Масса регби мяч составляет около 400 граммов. Это приводит к: ${\ Displaystyle а = 100 \ \ mathrm {мм}}$${\ displaystyle c = 140 \ \ mathrm {мм}}$

• Объем :${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a ^ {2} \ cdot c = {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot (100 \ \ mathrm {mm}) ^ {2} \ cdot 140 \ \ mathrm {mm} \ приблизительно 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {6} \ \ mathrm {mm ^ {3}} = 5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {м ^ {3}}}$
• Средняя плотность :${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}} = {\ frac {400 \ \ mathrm {g}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ { 3}}}} = {\ frac {0 {,} 4 \ \ mathrm {kg}} {5 {,} 86 \ cdot 10 ^ {- 3} \ \ mathrm {m ^ {3}}}} \ приблизительно 68 \ \ mathrm {кг} / \ mathrm {м ^ {3}}}$

Смотри тоже

• Эллипсоид
• Параболоид революции
• Вращательный гиперболоид
• Ахернар

веб ссылки

Викисловарь: эллипсоид революции  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Бейер, Справочник по математическим наукам CRC, 5-е издание, стр.198.