Постоянная времени

Постоянная времени (греч. (Тау) или ) является характеристической величиной линейной динамической системы , которая описывается обыкновенным дифференциальным уравнением или соответствующей передаточной функцией. Он имеет измерение времени; его единицей измерения обычно является секунда. ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle G (s)}$

Функциональная схема элемента ПТ ₁
после скачка входа.

Динамическая система - это функциональный блок для обработки и передачи сигналов; системная входная переменная определяется как причина, а системная выходная переменная - как временное следствие. Типичными входными сигналами для проверки поведения системы являются импульсная функция , ступенчатая функция и функция нарастания . ${\ Displaystyle и (т)}$${\ Displaystyle у (т)}$

В электротехнике обычно известно поведение во времени элемента задержки первого порядка (например, RC-элемента - фильтра нижних частот ) с переходной характеристикой с экспоненциальной асимптотикой. Постоянная времени определяет курс во времени. По истечении примерно 3-х постоянных времени выходной сигнал достигает примерно 95% от размера входного сигнала при увеличении коэффициента усиления системы . ${\ displaystyle T = R \ cdot C}$${\ displaystyle K = 1}$

В основном, ход выходного сигнала системы передачи любого порядка зависит от типа системы передачи и входного сигнала и не относится только к элементам ( элементам) временной задержки . ${\ displaystyle PT_ {1}}$

Термин постоянная времени является результатом описания линейной динамической системы с помощью обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами . Чтобы упростить вычисление зависящего от времени поведения системы, дифференциальное уравнение, описывающее систему, подвергается преобразованию Лапласа, и на основании этого отношение сигналов формируется как передаточная функция . ${\ Displaystyle G (s)}$

Передаточная функция в представлении постоянной времени возникает следующим образом:

• Преобразование Лапласа обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка,
• Формирование передаточной функции .${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {\ text {полином (ы) в числителе}} {\ text {полином (ы) в знаменателе}} }}$

Полюса и нули передаточной функции являются наиболее важными параметрами поведения системы.${\ displaystyle s_ {pi}}$${\ displaystyle s_ {ni}}$

• Факторизуя многочлены в представлении полюс-нуль: ${\ Displaystyle G (s) = {\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)}} = k \ cdot {\ frac {(s-s_ {n1}) (s-s_ {n2}) \ dotsm (s-s_ {nm})} {(s-s_ {p1}) (s-s_ {p2}) \ dotsm (s-s_ {pn})}}}$
• Преобразование представления полюс-нуль числовыми значениями полюсов и нулей в представление постоянной времени,
• Значения полюсов и нулей линейного множителя могут принимать три формы: ноль, отрицательное действительное, отрицательное сопряженное комплексное.

Это означает, что в числителе и знаменателе передаточной функции могут возникать различные основные формы линейных факторов и факторов 2-го порядка с различным поведением системы.${\ Displaystyle 3 \ cdot 2 = 6}$

${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = k \ cdot {\ frac {T_ {v} \ cdot s \ cdot (T \ cdot s + 1) \ cdot (T ^ {2} \ cdot s ^ {2} + 2DT \ cdot s + 1)} {T_ {n} \ cdot s \ cdot (T \ cdot s + 1) \ cdot (T ^ {2} \ cdot s ^ {2} + 2DT \ cdot s + 1)}}}$.

Постоянная времени соответствует коэффициенту перед комплексной переменной Лапласа . Они , как правило , рассчитывается с обратной отрицательной действительной полюса или нуля в знаменателе многочлена или числитель полинома передаточной функции , как:${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s_ {p}}$${\ displaystyle s_ {n}}$

${\ displaystyle T_ {i} = {\ frac {1} {| s_ {pi} |}}}$или .${\ displaystyle T_ {i} = {\ frac {1} {| s_ {ni} |}}}$

Определение постоянных времени по полиномам линейной динамической системы передачи высшего порядка

Системные описания через передаточные функции могут возникать из: ${\ Displaystyle G (s)}$

• Преобразование Лапласа обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего систему, в передаточную функцию,
• Сложные делители напряжения с безреакционным соотношением импедансов (пример: операционный усилитель с RC-цепочкой ),
• Идентификация системы с помощью ступенчатой ​​или импульсной характеристики.

Для облегчения вычислений и понимания описывающее систему обыкновенное дифференциальное уравнение подвергается преобразованию Лапласа и, следовательно, может быть вычислено алгебраически . Согласно теореме дифференцирования Лапласа, А первый порядок производная дифференциального уравнения заменяется переменным Лаплас в качестве комплексной частоты . Высшие производные n-го порядка находятся в соответствии с атомным номером путем замены. ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle s ^ {n}}$

Пример обыкновенного дифференциального уравнения высшего порядка системы передачи с постоянными коэффициентами и : ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

${\ displaystyle a_ {n} y ^ {(n)} + \ ldots + a_ {2} {\ ddot {y}} + a_ {1} {\ dot {y}} + a_ {0} y = b_ { m} u ^ {(m)} + \ ldots + b_ {2} {\ ddot {u}} + b_ {1} {\ dot {u}} + b_ {0} u}$

Эта общая форма дифференциального уравнения подвергается преобразованию Лапласа:

${\ Displaystyle {a_ {n} \ cdot s ^ {(n)} \ cdot Y (s) + \ ldots + a_ {2} \ cdot s ^ {2} \ cdot Y (s) + a_ {1} \ cdot s \ cdot Y (s) + a_ {0} \ cdot Y (s) = b_ {m} \ cdot s ^ {(m)} \ cdot U (s) + \ ldots + b_ {2} \ cdot s ^ {2} \ cdot U (s) + b_ {1} \ cdot U (s) + b_ {0} \ cdot U (s)}}$.

Передаточная функция получается путем применения теоремы о дифференцировании Лапласа к обыкновенному дифференциальному уравнению, описывающему систему . Путем определения полюса и нуля числителя и полинома знаменателя создается факториальное представление (линейные коэффициенты) передаточной функции. ${\ Displaystyle G (s)}$

Передаточная функция G (s) формируется из отношения выходной переменной к входной. Не должно быть начальных значений внутреннего накопителя энергии ( представления в пространстве состояний ) системы.

${\ Displaystyle G (s) = {\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {b_ {m} \ cdot s ^ {m} + \ dotsb + b_ {2} \ cdot s ^ {2} + b_ {1} \ cdot s + b_ {0}} {a_ {n} \ cdot s ^ {n} + \ dotsb + a_ {2} \ cdot s ^ {2} + a_ {1 } \ cdot s + a_ {0}}} = {\ frac {\ text {многочлены числителя}} {\ text {многочлены знаменателя}}}}$

Переменная Лапласа является независимой переменной в комплексной частотной области (область изображения, s-область) с действительной и мнимой частью. Он допускает любые алгебраические операции в s-области, но является только символом завершенного преобразования Лапласа и не содержит числового значения. Показатели s соответствуют степени производной дифференциалов . ${\ displaystyle s = \ delta + j \ omega}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle j \ omega}$

Для определения элементарных индивидуальных систем передаточной функции G (s) более высокого порядка полиномы числителя и знаменателя факторизируются путем определения нулей. ${\ Displaystyle G_ {1} (s); G_ {2} (s); \ точки}$

Если доступны числовые значения коэффициентов, полюсы и нули можно вычислить с помощью различных методов. Для этого подходит так называемая формула pq для систем 2-го порядка. Доступные в Интернете готовые программы для систем до 4-го порядка можно использовать с вызовом: «Определить нули (решения) многочленов». ${\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0}$

Полюса (нули в знаменателе) и нули (нули в числителе) передаточной функции являются наиболее важными параметрами поведения системы. Они либо равны нулю (отсутствует конечный член дифференциального уравнения), либо вещественны [ ]; и [ ] или комплексно сопряженные [ ] и [ ]. ${\ displaystyle s_ {pi}}$${\ displaystyle s_ {ni}}$${\ displaystyle a_ {0}, \ b_ {0}}$${\ displaystyle s_ {n} = - \ delta}$${\ displaystyle s_ {p} = - \ delta}$${\ displaystyle s_ {n} = - \ delta \ pm j \ omega}$${\ displaystyle s_ {p} = - \ delta \ pm j \ omega}$

Для определения постоянных времени полиномы передаточной функции разбиваются на линейные множители и множители 2-го порядка путем определения нулей. Если числовые значения даны для коэффициентов многочленов, многочлены могут быть факторизованы путем определения корней.

Разложение полиномов числителя и знаменателя более высокого порядка по полюсам и нулям приводит к множеству линейных множителей и множеству множителей 2-го порядка. В качестве предпосылки для этого многочлены не должны иметь пробелов в порядке элементов суммы согласно порядковому номеру.

Если эти факторы определены как независимые индивидуальные передаточные функции, в зависимости от типа полюсов и нулей возникают следующие элементарные передаточные функции:

• Конечные члены дифференциального уравнения равны нулю: Результирующий линейный коэффициент является переменной: как в числителе, так и в знаменателе.${\ displaystyle a_ {0}; b_ {0}}$${\ displaystyle K \ cdot s}$
• Полюса или нули отрицательные действительные. Из [ ] или [ ] линейный множитель возникает в представлении постоянной времени [ ] как в числителе, так и в знаменателе.${\ displaystyle s-s_ {n}}$${\ displaystyle s-s_ {p}}$${\ Displaystyle Т \ cdot s + 1}$
• Полюса или нули отрицательно сопряжены. Из [ ] или [ ] множитель возникает в представлении постоянной времени [ ] 2-го порядка как в числителе, так и в знаменателе.${\ displaystyle s-s_ {n}}$${\ displaystyle s-s_ {p}}$${\ displaystyle T ^ {2} \ times s ^ {2} + 2DT \ times s + 1}$

Пример передаточной функции с полиномиальным представлением, представлением полюс-нуль и представлением постоянной времени:

${\ displaystyle {\ begin {align} G (s) & = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {b_ {m} s ^ {m} + \ ldots + b_ {2} s ^ {2} + b_ {1} s + b_ {0}} {a_ {n} s ^ {n} + \ ldots + a_ {2} s ^ {2} + a_ {1} s + a_ {0}}}: = k \ cdot {\ frac {(s-s_ {n1}) (s-s_ {n2}) \ dotsm (s-s_ {nm})} {(s-s_ {p1}) ) (s-s_ {p2}) \ dotsm (s-s_ {pn})}}: = \\ &: = k \ cdot {\ frac {T_ {v} \ cdot s \ cdot (T \ cdot s + 1) \ cdot (T ^ {2} \ cdot s ^ {2} + 2DT \ cdot s + 1)} {T_ {n} \ cdot s \ cdot (T \ cdot s + 1) \ cdot (T ^ { 2} \ cdot s ^ {2} + 2DT \ cdot s + 1)}} \ конец {выровнено}}}$.

Постоянные времени элементарных индивидуальных систем в числителе и знаменателе передаточной функции

Разложение полинома знаменателя приводит к отдельным системам с запаздыванием (линейные факторы) и факторам запаздывания 2-го порядка. Разложение полинома числителя приводит к дифференцированию отдельных систем (линейных факторов) и дифференцирующих факторов 2-го порядка. В сочетании с запаздывающими системами знаменателя последние не влияют на поведение во времени, а только на амплитуды сигналов . ${\ Displaystyle у (т)}$

• Постоянные времени линейных факторов как переменных с полюсами и нулями, равными нулю:${\ displaystyle T \ cdot s}$

Эти линейные множители возникают в результате преобразования Лапласа обыкновенного дифференциального уравнения, описывающего систему, конечные члены которого отсутствуют или отсутствуют.${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle b_ {0}}$

Член продукта становится числителем и знаменателем соответственно . Постоянные времени для элемента I и для элемента D, показанные в таблице ниже в следующем разделе , взяты из определения контроллера . На самом деле они соответствуют коэффициентам пропорциональности или имеют рейтинг 1, если не указаны другие числовые значения.${\ displaystyle (s-0)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {T_ {n}}}}$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {1} {T_ {n} \ cdot s}} \ right)}$${\ displaystyle T_ {v}}$${\ displaystyle (T_ {v} \ cdot s)}$${\ displaystyle K_ {I}}$${\ displaystyle K_ {D}}$

• Постоянная времени линейных факторов с полюсами и нулями одинакова  :${\ displaystyle - \ delta}$

Определение постоянная времени в -Члене или -Член рассчитывается как следует из полюсов и нулей для числовых значений с отрицательными вещественными частями .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ displaystyle PD_ {1}}$${\ displaystyle s_ {pi}, s_ {ni}}$

Пример определения постоянной времени из линейного коэффициента счетчика:

${\ displaystyle \ underbrace {(s-s_ {n})} _ {\ text {linear factor}} \: = \ underbrace {(s + | s_ {n} |)} _ {{\ text {термин с} } s_ {n} = {\ text {negat.}}} = \ \ underbrace {| s_ {n} | \ cdot \ left ({\ frac {1} {| s_ {n} |}} \ cdot s + 1 \ right)} _ {{\ text {Срок действия}} | s_ {n} | {\ text {divid.}}} \ Quad: = \ underbrace {{\ frac {1} {T}} \ cdot ( T \ cdot s + 1)} _ {\ text {Представление постоянной времени}}}$.

Постоянное время , как правило , вычисляются из обратной величины (обратная величина) от отрицательного действительного нулевого или в знаменателе полином или числитель полинома передаточной функции , как: ${\ displaystyle s_ {p}}$${\ displaystyle s_ {n}}$

${\ displaystyle T_ {i} = {\ frac {1} {| s_ {pi} |}}}$или .${\ displaystyle T_ {i} = {\ frac {1} {| s_ {ni} |}}}$

• Постоянные времени множителя второго порядка с комплексно сопряженными полюсами и нулями:

Факторы второго порядка возникают из представления полюс-нуль с отрицательными комплексно сопряженными полюсами и нулями. Если [ ] или [ ] заменяется на комплексно сопряженный ноль из нулевого представления , представление постоянной времени создается возведением в квадрат, чтобы избежать мнимых величин:${\ displaystyle s-s_ {n}}$${\ displaystyle s_ {n}}$${\ displaystyle s_ {n} = - \ delta \ pm j \ omega}$${\ displaystyle s_ {p} = - \ delta \ pm j \ omega}$

Фактор 2-го порядка в представлении полюс-ноль после возведения в квадрат:

${\ displaystyle [s ^ {2} -2 \ cdot \ delta \ cdot s + \ delta ^ {2} + \ omega ^ {2}]}$

Нормальная форма постоянная времени представления результатов второго фактора порядка с:${\ displaystyle T = {\ frac {1} {\ omega}}}$

${\ displaystyle [T ^ {2} \ cdot s ^ {2} + 2DT \ cdot s + 1] \ qquad D = {\ text {Степень демпфирования}} \ 0 <D <1}$

Заключение:

• Этот коэффициент второго порядка применяется как к полиномам числителя, так и знаменателя и не может быть разбит на более мелкие математические выражения.
• Временной ход стандартизованной переходной характеристики системы передачи 2-го порядка с комплексно сопряженными полюсами ( -ссылка) зависит от постоянной времени и демпфирования .${\ displaystyle PT2_ {kk}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle D}$

Установление и поведение элементарных индивидуальных систем

Назначив эти коэффициенты в числителе и знаменателе передаточных функций, следующие 6 различных стабильных элементарных систем могут возникнуть индивидуально или несколько раз: ${\ displaystyle G_ {i} (s)}$

${\ Displaystyle G_ {1} (s) = (T \ cdot s) ^ {\ pm 1}; \ qquad G_ {2} (s) = (T \ cdot s + 1) ^ {\ pm 1}; \ qquad G_ {3} (s) = \ left (T ^ {2} \ times s ^ {2} +2 \ times D \ times T \ times T \ times s + 1 \ right) ^ {\ pm 1} \ quad}$

обозначение	I-ссылка	D ссылка	${\ displaystyle PT_ {1}}$-Элемент	${\ displaystyle PD_ {1}}$-Элемент	${\ displaystyle PT_ {2kk}}$-Ссылка (вибрирующая ссылка)	${\ displaystyle PD_ {2kk}}$-Элемент
Полюсные нули	${\ displaystyle s_ {p} = 0}$	${\ displaystyle s_ {n} = 0}$	${\ displaystyle s_ {p} = - \ delta}$	${\ displaystyle s_ {n} = - \ delta}$	${\ displaystyle s_ {p1 / 2} = - \ delta \ pm j \ omega}$	${\ displaystyle s_ {n1 / 2} = - \ delta \ pm j \ omega}$
Функция передачи	${\ displaystyle {\ frac {Y} {U}} (s) = {\ frac {1} {T_ {n} \ cdot s}}}$	${\ displaystyle {\ frac {Y} {U}} (s) = T_ {V} \ cdot s}$	${\ displaystyle {\ frac {Y} {U}} (s) = {\ frac {K} {T \ cdot s + 1}}}$	${\ displaystyle {\ frac {Y} {U}} (s) = T \ cdot s + 1}$	${\ displaystyle {\ frac {Y} {U}} (s) = {\ frac {K} {T ^ {2} \ cdot s ^ {2} + 2TD \ cdot s + 1}}}$	${\ displaystyle {\ frac {Y} {U}} (s) = K ({T ^ {2} \ cdot s ^ {2} + 2TD \ cdot s + 1})}$

В представлении постоянной времени постоянная времени соответствует коэффициенту перед комплексной переменной Лапласа . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle s}$

Расчет временного поведения всей системы передачи всегда требует, чтобы количество факторов в знаменателе всегда было равно или больше, чем количество факторов в числителе . ${\ displaystyle n \ geq m}$

Дифференцирующие элементы могут полностью компенсировать поведение замедляющих элементов во времени с теми же постоянными времени. То же самое, конечно, относится к ссылкам и ссылкам. ${\ displaystyle PD_ {1}}$${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ displaystyle PD_ {2}}$${\ displaystyle PT_ {2}}$

Переходная характеристика различных элементарных систем передачи.

Тестовые сигналы для проверки поведения системы:

Общие тестовые сигналы для систем передачи: ступенчатая функция, функция возврата, импульсная функция, функция нарастания и синусоидальная функция . Эти сигналы также преобразуются по Лапласу из временной области в область изображения. См. Определение тестовых сигналов в следующем разделе.

Временной ход дифференцирующих передаточных элементов:

Временное поведение переходной характеристики или импульсной характеристики дифференцирующей системы полинома числителя не может быть представлено графически только потому, что изменение выходного сигнала происходит во временной области . Временное поведение дифференцирующей системы может быть представлено только графически с входным сигналом в виде функции нарастания. Дифференцирующие системы без так называемых запаздывающих паразитных элементов технически не могут быть изготовлены в виде оборудования. Требуемая паразитная постоянная времени элемента задержки времени должна быть намного меньше постоянной времени элемента или элемента. ${\ displaystyle 0 \ to 0 _ {+}}$${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle PD_ {1}}$

Временной ход передаточных элементов с комплексно сопряженными полюсами ( элементами):${\ displaystyle PT_ {2kk}}$

Эти передаточные элементы 2-го порядка содержат двойные полюса в диапазоне s . В зависимости от величины демпфирования , когда система возбуждается любым входным сигналом, возникает затухающая, колеблющаяся выходная переменная. Переходная характеристика часто представляется как характерное поведение, при котором выходная переменная экспоненциально асимптотически достигает конечного значения с наложением вибрации. ${\ displaystyle D}$

В эти системы можно разбить на две части. ${\ displaystyle D \ geq 1}$${\ displaystyle PT_ {1}}$

Постоянные времени, связанные с системой, имеют квадратную форму. ${\ displaystyle T}$

Системы передачи с линейными коэффициентами или коэффициентами 2-го порядка с положительной действительной частью полюсов:

Положительные действительные части полюсов и нулей приводят к отрицательным постоянным времени.

Передаточные элементы с положительными полюсами образуют нестабильные нелинейные передаточные функции, которые могут быть достигнуты с помощью z. B. можно назвать «нестабильными членами T1» или «нестабильными членами T2». Им также можно назначить постоянные времени. Выходной сигнал этих систем экспоненциально увеличивается после любого положительного входного сигнала до предела и возвращается только тогда, когда входной сигнал становится отрицательным ( эффект обратной связи ). (Подробнее см. Управляемая система № Характеристика контролируемых систем ) ${\ Displaystyle и (т)> 0}$

Расчет временного поведения передаточных функций

Обратное преобразование Лапласа: поведение системы на выходе любой системы передачи во временной области зависит от передаточной функции и типа входного сигнала . Обратное преобразование Лапласа можно использовать для определения поведения времени с использованием таблиц преобразования Лапласа и условия поиска:${\ Displaystyle у (т)}$${\ Displaystyle G (s)}$${\ Displaystyle U (s)}$

${\ displaystyle y (t) = {\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ underbrace {\ left \ {G (s) \ cdot U (s) \ right \}} _ {\ text {поисковый запрос} }}$

Если это нормализованная ступенчатая функция входного сигнала , то есть .${\ Displaystyle и (т) = 1}$${\ displaystyle U (s) = {\ frac {1} {s}}}$

Численный расчет: с помощью числовой математики путем расчета разностных уравнений выходные сигналы могут быть рассчитаны как пронумерованные последовательные уравнения динамической системы для заданных входных сигналов . Постоянные времени в разностных уравнениях определяют поведение отдельных систем.${\ displaystyle u_ {ki}}$${\ displaystyle y_ {ki}}$${\ displaystyle T}$

Разностные уравнения, аппроксимируя непрерывную функцию, постепенно вычисляют последовательность значений со следующими элементами для небольшого интервала, последовательность значений в точке , посредством чего вычисленные значения нумеруются .${\ Displaystyle у = е (х)}$${\ Displaystyle у _ {(ки)}}$${\ Displaystyle к = [0,1,2,3, \ точки]}$${\ displaystyle h = \ Delta x}$${\ displaystyle y _ {(k)} = [y _ {(0)}, y _ {(1)}, y _ {(2)}, y _ {(3)} \ точки]}$${\ Displaystyle х _ {(к)} = [х _ {(0)}, х _ {(1)}, х _ {(2)}, х _ {(3)} \ точки]}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle у _ {(ки)}}$

Тестовые сигналы

Переходные характеристики от 4-х разъединенных последовательно соединенных элементов PT1, каждый с одинаковыми временными константами.

Непериодические (детерминированные) тестовые сигналы имеют центральное значение в теории систем. С их помощью можно протестировать трансмиссионную систему, проверить ее устойчивость или определить свойства.

Чтобы вычислить поведение системы передачи во времени, преобразованные тестовые сигналы могут быть умножены в области изображения вместо передаточной функции системы . Для обратного преобразования из во временную область желаемое уравнение отклика системы может быть найдено с помощью таблиц преобразования Лапласа. ${\ Displaystyle U (s)}$${\ Displaystyle G (s)}$${\ displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle у (т)}$

Импульсные характеристики от 4 последовательно соединенных развязанных элементов PT1, каждый с одинаковыми постоянными времени.

Общим для тестовых сигналов является то, что они начинаются в определенный момент времени и имеют амплитуду = 0 атм. Чтобы различать функции сигналов, они обозначаются символами δ ( импульс ), Ϭ ( скачок ), a (подъем) и s ( синус ). ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle t <0}$

Тестовые сигналы представлены как входная переменная и как переменная, преобразованная по Лапласу, как показано ниже. ${\ Displaystyle и (т)}$${\ Displaystyle U (s)}$

Срок действия тестового сигнала u (t)	Область изображения входного сигнала	Ответ системы y (t)
Импульсная функция δ или функция удара, дельта-импульс	${\ Displaystyle U _ {\ delta} (s) = 1 \,}$	Импульсная характеристика или весовая функция
Ступенчатая функция σ	${\ Displaystyle U _ {\ sigma} (s) = {\ frac {1} {s}}}$	Переходная характеристика или переходная функция
Увеличение функции или рампы	${\ displaystyle U_ {a} (s) = {\ frac {1} {s ^ {2}}}}$	Отклик на повышение или отклик на повышение
Синусоидальная функция s (периодический сигнал)	${\ displaystyle U_ {s} (s) = {\ frac {\ omega} {s ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}$	Частотный отклик

Основы определения постоянных времени из обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка с постоянными коэффициентами и гласит: ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

${\ displaystyle a_ {1} \ cdot {\ dot {y}} (t) + a_ {0} \ cdot y (t) = b_ {0} \ cdot u (t)}$.

Постоянная времени уже может быть вычислена из этой формы дифференциального уравнения. ${\ Displaystyle Т = а_ {1} / а_ {0}}$

В общем, высшая производная дифференциального уравнения используется для определения нулей, в этом случае все члены уравнения делятся на соответствующий коэффициент . Таким образом, новое математически идентичное дифференциальное уравнение гласит: ${\ displaystyle a_ {1}}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} (t) + {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}} \ cdot y (t) = {\ frac {b_ {0}} {a_ {1) }}} \ cdot u (t)}$.

Передаточная функция G (s) этого дифференциального уравнения читается для начальных условий, равных нулю, после применения теоремы о дифференцировании Лапласа:

${\ displaystyle s \ cdot Y (s) + {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}} \ cdot Y (s) = {\ frac {b_ {0}} {a_ {1}}}) \ cdot U (s)}$.

Передаточная функция в представлении постоянной времени получается из отношения выходной переменной к входной : ${\ displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle U (s)}$

${\ Displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {\ frac {b_ {0}} {a_ {1}}} {s + {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}}}} = {\ frac {b_ {0}} {a_ {1} \ cdot s + a_ {0}}} = {\ frac {\ frac {b_ { 0}} {a_ {0}}} {{\ frac {a_ {1}} {a_ {0}}} \ cdot s + 1}}}$.

При такой форме передаточной функции постоянная времени может быть считана непосредственно как коэффициент перед переменной Лапласа с отношением коэффициентов . ${\ Displaystyle G (s)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle Т = а_ {1} / а_ {0}}$

Если вы вставите для и в уравнение передаточной функции, вы получите нормальную форму передаточной функции элемента ( элемента) задержки в представлении постоянной времени: ${\ displaystyle {\ frac {a_ {1}} {a_ {0}}} = T}$${\ displaystyle {\ frac {b_ {0}} {a_ {0}}} = K}$${\ displaystyle PT_ {1}}$

${\ Displaystyle G (s) = {\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {K} {T \ cdot s + 1}}}$

Построение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка из аппаратного ФНЧ.

Элемент задержки ( элемент PT1 ), описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, чаще всего встречается в природе и в технике. Возникает з. B. Когда тепло течет в среду или к RC-элементу прикладывается электрическое напряжение . Всегда интересно, как выходная переменная системы ведет себя как функция времени для данной входной переменной. Поведение системы особенно ясно для данной входной переменной как ступенчатой ​​функции.

Самая известная динамическая система в электротехнике, которая описывается обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, - это RC-элемент в виде цепи резистор-конденсатор с постоянной времени . ${\ displaystyle T = R \ cdot C}$

Простой RC-фильтр нижних частот с
U _e : входное напряжение
U _a : выходное напряжение

Общее математическое описание RC-элемента является результатом применения законов Кирхгофа .

Для аппаратной модели в качестве фильтра нижних частот применяется сеточное уравнение напряжений:

${\ displaystyle -U_ {e} + U_ {R} + U_ {C} = 0}$.

Это входная переменная, желаемый выходной размер. Если уравнение для зарядного тока вставить в приведенное выше уравнение для падения напряжения при R , дифференциальное уравнение RC-элемента создается как низкочастотный: ${\ displaystyle U_ {e}}$${\ displaystyle U_ {C} = U_ {a}}$${\ displaystyle U_ {R}}$${\ displaystyle i = C \ cdot {\ frac {dU_ {C}} {dt}}}$

${\ Displaystyle R \ cdot C \ cdot {\ frac {dU_ {C}} {dt}} + U_ {C} = U_ {e}}$

Если используются обычные имена сигналов из теории систем, новые имена сигналов представляют собой обыкновенное дифференциальное уравнение: и . ${\ displaystyle U_ {e}: = u (t)}$${\ displaystyle U_ {a}: = y (t)}$

Не существует полинома числителя и знаменателя для дифференциального уравнения первого порядка и соответствующей передаточной функции . Это уже линейный множитель в знаменателе передаточной функции. Следовательно, ноль не имеет значения. ${\ Displaystyle G (s)}$

В обычном представлении дифференциального уравнения высшая производная коэффициентов остается свободной путем деления всех членов уравнения на соответствующий коэффициент (здесь ). Таким образом, новое математически идентичное дифференциальное уравнение гласит: ${\ Displaystyle R \ cdot C}$

${\ displaystyle {\ dot {y}} (t) + {\ frac {1} {R \ cdot C}} \ cdot y (t) = {\ frac {1} {R \ cdot C}} \ cdot u (t)}$

Передаточная функция G (s) этого дифференциального уравнения читается для начальных условий, равных нулю, согласно теореме дифференцирования:

${\ Displaystyle s \ cdot Y (s) + {\ frac {1} {R \ cdot C}} \ cdot Y (s) = {\ frac {1} {R \ cdot C}} \ cdot U (s) }$.

Суммированная как отношение выходных переменных к входной, передаточная функция приводит к представлению постоянной времени:

${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {\ frac {1} {R \ cdot C}} {s + {\ frac {1} {R \ cdot C}}}} = {\ frac {1} {R \ cdot C \ cdot s + 1}} = {\ frac {1} {T \ cdot s + 1}}}$.

Коэффициент перед переменной Лапласа соответствует постоянной времени . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle T = R \ cdot C}$

Построение передаточной функции фильтра ( элемента) нижних частот через соотношение комплексных сопротивлений.${\ Displaystyle G (p)}$${\ displaystyle PT_ {1}}$

В отличие от передаточной функции , частотная характеристика может быть измерена с помощью линейной передаточной системы. Частотная характеристика - это частный случай передаточной функции. Передаточную функцию можно преобразовать в частотную характеристику с идентичными коэффициентами (постоянными времени) в любое время. Генезис АЧХ и передаточная функция различны, написание может оставаться идентичным. ${\ Displaystyle G (s)}$ ${\ Displaystyle G (p)}$${\ displaystyle p = j \ omega}$

${\ Displaystyle G (p) = {\ гидроразрыва {Y (p)} {U (p)}}}$

В показанной RC-цепи отношение выходного напряжения к входному также можно определить как отношение выходного импеданса к входному. Если установить емкость с комплексным сопротивлением, для комплексного отношения сопротивлений как передаточной функции будут получены следующие результаты : ${\ displaystyle p = j \ cdot \ omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {C} = {\ frac {1} {p \ cdot C}}}$${\ Displaystyle G (p)}$

${\ Displaystyle G (p) = {\ frac {U_ {a} (p)} {U_ {e} (p)}} = {\ frac {\ frac {1} {p \ cdot C}} {R + {\ frac {1} {p \ cdot C}}}} = {\ frac {1} {R \ cdot C \ cdot p + 1}} = {\ frac {1} {T \ cdot p + 1}} }$

Результат соответствует члену, полученному из дифференциального уравнения . ${\ displaystyle PT_ {1}}$

Создание передаточной функции для высокого проходного отношения комплексных сопротивлений.${\ Displaystyle G (p)}$

Если емкость C заменяется индуктивностью L в RC-цепи, создается фильтр верхних частот первого порядка при рассмотрении входных и выходных напряжений системы. В случае высокочастотных входных сигналов индуктивность имеет высокое комплексное сопротивление. С падением частоты индуктивное сопротивление падает.

В показанной LC-схеме отношение выходного напряжения к входному также можно определить как отношение выходного импеданса к входному. Если установить для индуктивности с комплексным сопротивлением, следующие результаты для комплексного отношения сопротивлений как передаточной функции : ${\ displaystyle U_ {a} (p)}$${\ displaystyle U_ {e} (p)}$${\ displaystyle p = j \ cdot \ omega}$${\ Displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {L} = L \ cdot p}$${\ Displaystyle G (p)}$

${\ displaystyle G (p) = {\ frac {U_ {a} (p)} {U_ {e} (p)}} = {\ frac {p \ cdot L} {p \ cdot L + R}} = {\ frac {{\ frac {L} {R}} \ cdot p} {{\ frac {L} {R}} \ cdot p + 1}}}$

Передаточная функция элемента RL следующая : ${\ displaystyle T = {\ frac {L} {R}}}$

${\ displaystyle G (p) = {\ frac {U_ {a} (p)} {U_ {e} (p)}} = {\ frac {T \ cdot p} {T \ cdot p + 1}}}$

Результат соответствует последовательному соединению -link с D-link. Для нормализованного входного шага выходной сигнал перескакивает в момент времени до , а затем экспоненциально асимптотически падает до значения . ${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ Displaystyle и (т) = 1}$${\ displaystyle t = 0}$${\ Displaystyle и (т) = 1}$${\ displaystyle t> 0}$${\ Displaystyle у (т) = 0}$

Временное поведение, связанное с этой передаточной функцией, соответствует скачку входа: ${\ Displaystyle у (т)}$

${\ Displaystyle у (т) = е ^ {- т / Т}}$

Стандартное уравнение применяется к входному скачку ; . ${\ Displaystyle и _ {\ sigma} (т) = 1}$${\ displaystyle e = {\ text {число Эйлера}} \ приблизительно 2 {,} 71828}$

Расчет временного поведения элемента после входного скачка${\ displaystyle PT_ {1}}$

Временной ход переходной характеристики элемента с постоянной времени T = 1, K = 1.${\ displaystyle PT_ {1}}$

Часто выходная переменная передаточной функции элемента (= элемент) представлена ​​как переходная характеристика во временной области . Нормализуется скачок является преобразование Лапласа: . ${\ Displaystyle у (т)}$${\ displaystyle RC}$${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ Displaystyle U (s)}$${\ Displaystyle U (s): = {\ hat {U}} _ {\ sigma} (s) = {\ frac {1} {s}}}$

Таким образом, передаточная функция и переходная характеристика: ${\ displaystyle Y (s)}$${\ Displaystyle U (s): = {\ hat {U}} _ {\ sigma} (s)}$

${\ displaystyle {Y (s)} = {\ hat {U}} _ {\ sigma} (s) \ cdot {\ frac {1} {T \ cdot s + 1}} = {\ frac {1} { s \ cdot (T \ cdot s + 1)}}}$.

Возможно существующий коэффициент усиления не может быть преобразован. Он также не появляется в соответствующих таблицах преобразования Лапласа обратного преобразования и может быть принят без изменений во временной области. ${\ displaystyle K}$

Решение во временной области переходной характеристики получается из таблиц соответствия таблиц преобразования Лапласа для выражения: ${\ Displaystyle у (т)}$

${\ Displaystyle {Y (s)} = {\ гидроразрыва {1} {s \ cdot (T \ cdot s + 1)}}}$:

дает временное поведение элемента задержки с добавленным коэффициентом усиления . ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle у (т) = К \ cdot (1-е ^ {- т / Т}}$)

Стандартизировано уравнение применимо к входной скачке к . . ${\ Displaystyle у (т) = 0}$${\ Displaystyle у (т) = 1}$${\ displaystyle e = {\ text {число Эйлера}} \ приблизительно 2 {,} 71828}$

Время поведение перейти обратно${\ Displaystyle {\ шляпа {и}} _ {\ sigma \ downarrow} (т)}$ от стартового значения в элементе к . ${\ Displaystyle у _ {(т = 0)} = 1}$${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ Displaystyle у (т) = 0}$

${\ Displaystyle у (т) = е ^ {- т / Т}}$

Стандартизированное уравнение применяется к доходности от до .${\ Displaystyle у (т) = 1}$${\ Displaystyle у (т) = 0}$

Выходные значения элемента перехода и возврата для одной-пяти постоянных времени:${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ Displaystyle у (т) = 1-е ^ {- т / Т}}$${\ Displaystyle у (т) = е ^ {- т / Т}}$

Постоянная времени T	Скачок реакции на скачок : в [%]${\ Displaystyle у (т)}$	Возврат ступенчатого отклика : в [%] ${\ Displaystyle у (т)}$
T легко	63,2	36,8
${\ Displaystyle 2 \ cdot T}$	86,5	13,5
${\ Displaystyle 3 \ cdot T}$	95,0	5.0
${\ Displaystyle 4 \ cdot T}$	98,2	1,8
${\ Displaystyle 5 \ cdot T}$	99,3	0,7

Это стандартизированное уравнение применяется к входному скачку . - коэффициент усиления . ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {\ sigma} (t) = 1: = 100 \, \%}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle e = {\ text {число Эйлера}} \ приблизительно 2 {,} 71828}$

Пример расчета для определения постоянных времени обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка

Дано: дифференциальное уравнение временного элемента 2-го порядка без дифференциалов входной переменной . ${\ Displaystyle и (т)}$ ${\ displaystyle a_ {2} \ cdot {\ ddot {y}} (t) + a_ {1} \ cdot {\ dot {y}} (t) + a_ {0} \ cdot y (t) = b_ { 0} \ cdot u (t)}$ Требуются: передаточная функция, полюса, постоянные времени. Применение преобразования Лапласа дифференциального уравнения согласно теореме дифференцирования: ${\ Displaystyle a_ {2} \ cdot s ^ {2} \ cdot Y (s) + a_ {1} \ cdot s \ cdot Y (s) + a_ {0} (t) \ cdot Y (s) = b_ {0} \ cdot U (s)}$. Формирование передаточной функции и освобождение от высшей преобразованной производной${\ Displaystyle G (s) = Y (s) / U (s)}$ : ${\ Displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {b_ {0}} {a_ {2} \ cdot s ^ {2} + a_ {1 } \ cdot s + a_ {0}}} = {\ frac {\ frac {b_ {0}} {a_ {2}}} {s ^ {2} + {\ frac {a_ {1}} {a_ { 2}}} \ cdot s + {\ frac {a_ {0}} {a_ {2}}}}} = {\ frac {\ text {многочлен (ы) числителя}} {\ text {многочлен (ы) знаменателя }}}}$. Даны числовые значения :${\ displaystyle a_ {i}}$ и для . ${\ Displaystyle \ a_ {2} = 2, \ a_ {1} = 3, \ a_ {0} = 1}$${\ displaystyle b_ {0} = K = 1}$ Таким образом, передаточная функция и исключение самого высокого показателя степени (уравнение, деленное на ) выглядят следующим образом : ${\ displaystyle a_ {2} = 2}$ ${\ Displaystyle G (s) = {\ гидроразрыва {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {1} {2 \ cdot s ^ {2} +3 \ cdot s + 1}} = {\ frac {0 {,} 5} {s ^ {2} +1 {,} 5 \ cdot s + 0 {,} 5}}}$. В Интернете (Google) есть программы, которые могут вычислять нули многочленов до 4-го порядка. Так называемая формула pq может использоваться для решения нулей (полюсов) многочлена 2-го порядка: Полином: ${\ displaystyle s ^ {2} +1 {,} 5 \ cdot s + 0 {,} 5 = 0 \ qquad {\ text {with}} p = 1 {,} 5; \ q = 0 {,} 5 }$ ${\ displaystyle s_ {p1; 2} = - {\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ frac {p ^ {2}} {4}} - q}} = - {\ frac {1 {,} 5} {2}} \ pm {\ sqrt {{\ frac {1 {,} 5 ^ {2}} {4}} - 0 {,} 5}} = - 0 {,} 75 \ pm 0 {,} 25 \ qquad s_ {p1} = - 1; s_ {p2} = - 0 {,} 5}$. Это позволяет факторизовать полином и передаточную функцию в представлении постоянной времени. ${\ displaystyle G (s) = {\ frac {Y (s)} {U (s)}} = {\ frac {0 {,} 5} {s ^ {2} +1 {,} 5 \ cdot s +0 {,} 5}} = {\ frac {0 {,} 5} {(s-s_ {p1)} (s-s_ {p2})}} = {\ frac {0 {,} 5} { (s + 1) (s + 0 {,} 5)}} = {\ frac {1} {(s + 1) (2 \ cdot s + 1)}}}}$. Эти уравнения алгебраически идентичны. Результат: Двухзвенная система передачи содержит постоянные времени . ${\ displaystyle PT_ {1}}$${\ displaystyle T_ {1} = 1 {\ text {и}} T_ {2} = 2}$ Аппаратное моделирование этой системы с двумя последовательно включенными RC-элементами требует развязки без нагрузки.

Аннотация:

Расчет временного поведения передаточной функции более высокого порядка сложной динамической системы для заданной входной переменной состоит из:

• Примените таблицы преобразования Лапласа для соответствующей функции времени с нормализованной передаточной функцией,
• или преобразовать факторную форму передаточной функции в представление частичной дроби , аддитивные члены которого могут быть легко перенесены во временную область,
• или посредством численного расчета с разностными уравнениями , которые выводятся из линейных факторов передаточной функции, чтобы вычислить временное поведение для определенной входной переменной .${\ Displaystyle у (т)}$${\ Displaystyle и (т)}$
• В случае передаточных функций более высокого порядка со смесью отрицательных действительных нулей и отрицательных сопряженных комплексных нулей расчет временного поведения из уравнений таблиц преобразования Лапласа с комплексными тригонометрическими функциями и экспоненциальными функциями может быть довольно сложным. Значительно проще численный расчет с помощью разностных уравнений или приобретения коммерческих программ моделирования.

Стандартизированные постоянные времени и частоты переходов фильтров

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Автор: Ян Лунзе / Control Engineering 1; Springer Vieweg, Берлин, 8-е издание, 2014 г., ISBN 978-3-642-53943-5 ; Основная глава: передаточная функция, подраздел: постоянные времени передаточной функции.
2. ↑ Автор: Ян Лунзе / Control Engineering 1; Springer Vieweg, Берлин, 8-е издание, 2014 г., ISBN 978-3-642-53943-5 ; Глава: Описание анализа линейных систем в частотной области.

литература

• Хольгер Лутц, Вольфганг Вендт: Карманный справочник по технике управления с MATLAB и Simulink. 12-е издание. Verlag Europa-Lehrmittel, 2021, ISBN 978-3-8085-5870-6 .
• Ян Лунзе: Техника управления 1. 6. Издание. Springer Verlag, Берлин 2007, ISBN 978-3-540-70790-5 . Техника управления 2-е 4-е издание. Springer Verlag, Берлин 2006 г., ISBN 978-3-540-32335-8 .
• Майкл Лэйбл: Механические величины, измеряемые электрически. Основы и примеры технической реализации. 7-е издание. Эксперт Verlag, Реннинген 1980, ISBN 3-8167-2892-8 .
• Вольфганг Шнайдер: Практическая техника управления. Учебник и тетрадь для инженеров-неэлектриков. 3. Издание. Vieweg + Teubner Verlag, Висбаден, 2008 г., ISBN 978-3-528-24662-4 .
• Вальтер Касперс, Ханс-Юрген Кюфнер: Измерение контроля, контроль. 3. Издание. Friedrich Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-24062-8 .
• Дэвид Халлидей, Роберт Резник, Джерл Уокер: Физика . Выпуск для бакалавров, 2-е издание. John Wiley & Sons Verlag, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-41181-8 .

Смотри тоже

• Сигмовидная функция
• Высокая частота
• НЧ
• Bandpass
• Bandstop
• Режущая характеристика
• Время отдыха
• Расслабление (наука)

веб ссылки

• Постоянная времени и частота кроссовера (частота среза) (файл PDF; 228 кБ)
• Амплитудно-частотная характеристика и эквализация - расчет постоянной времени и частоты среза