Наклонная плоскость

Демонстрационный прибор из Исторической коллекции школы Бремерхафена. Рулон загружается весом слева. Вес справа противодействует силе спуска. За счет уменьшения угла наклона ролик подтягивается вверх по плоскости.

Наклонено , наклонная или наклонная плоскость (короткое соответственно просторечие наклона , перекос , наклонный или наклон ) находится в механизме плоскость , которая находится напротив поверхность горизонтально наклонен. Он используется для того, чтобы довести расходы до величины изменения при уменьшении массы - рабочее усилие остается неизменным, однако по мере увеличения расстояния (аналогично рычагу или шкиву ). Наклонная плоскость издревле была одной из самых элементарных так называемых простых машин . На нем основаны многочисленные механические механизмы действия, например, он лежит в основе других простых механизмов, таких как клиновые или винтовые .

Использование в повседневной жизни

Наклонные плоскости можно встретить в виде пандусов z. B. как погрузочные пандусы, велосипедные пандусы , пандусы для инвалидных колясок или пандусы для автовозов. Они используются для преодоления разницы в высоте транспортных средств или для более легкой загрузки или разгрузки тяжелых грузов. В древности их использовали для перевозки камней и строительства больших построек. Но даже при серпантинах в горах используется тот факт, что разницу в высоте можно легче преодолеть, если восхождение растянуто на большее расстояние.

Винты можно рассматривать как цилиндры со спиральной наклонной плоскостью. Он движется относительно тела, которое не вращается вместе с ним. В клине используется тот же принцип для создания больших сил, перпендикулярных наклонной плоскости.

• 

  По пандусу можно попасть на верхний этаж.

• 

  Пандус для инвалидных колясок

• 

  Погрузочная рампа грузовика

• 

  Дорога в Бирме, Ассаме, Индии, через Бирму в Китай, 1945 год.

• 

  Землю построили римляне во время осады Масады

история

Наклонная плоскость - один из древнейших инструментов, используемых человечеством. Строительство мегалитических гробниц в эпоху неолита немыслимо без наклонных плоскостей. Использование пандусов при строительстве египетских пирамид окончательно не выяснено, хотя на этот счет существуют различные теории . До наших дней сохранились остатки земляной рампы, построенной римлянами во время осады Масады около 70 г. н.э.

Путем экспериментов с водостоком Галилео Галилей опроверг теорию движения Аристотеля. Он обнаружил, что скорость падения увеличивается пропорционально прошедшему времени. Наклонная плоскость замедляла движение по сравнению со свободным падением и, таким образом, делала ее доступной для более пристального наблюдения. В своем мысленном эксперименте с цепью Саймон Стевин доказал, что дрейф под уклон на двух взаимно наклоненных плоскостях с одинаковой разницей в высоте обратно пропорционален их длине.

В качестве исторического инструмента лестница использовалась для подъема или опускания тяжелых стволов.

Аппликации наклонной плоскости

Обозначения

Наклонная плоскость
Красный - это вес и его разбивка на составляющие, зеленый - контактные силы между телом и поверхностью.

Для расчета сил на наклонной плоскости используются следующие термины:

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {G}} \,}$: Весовая сила ,

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {GN}} \,}$: Нормальный компонент веса.${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {G}} \ ,,}$

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {N}} \,}$ : Нормальная сила ,

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {GH}} = F _ {\ mathrm {H}} \,}$: Сила на спуске

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {R}} \,}$: Сила трения,

${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {H}} \,}$: Коэффициент статического трения ,

( : Коэффициент трения скольжения)${\ displaystyle \ mu \,}$

${\ Displaystyle \ альфа \,}$ : Угол наклона наклонной плоскости,

${\ displaystyle h \,}$: Высота наклонной плоскости,

${\ displaystyle b \,}$: Основание наклонной плоскости,

${\ displaystyle l \,}$: Длина наклонной плоскости.

Статический баланс

Если вы кладете тело на наклонную поверхность, сила спуска должна компенсироваться внешней силой в статическом равновесии . Эта сила может создаваться удерживающим устройством или статическим трением . В последнем случае сила нисходящего движения не должна превышать статическое трение. Если угол наклона плоскости слишком большой или трение слишком низкое, кузов начинает скользить - это происходит, например, в автомобиле, который предполагается припарковать на склоне по голому льду, и скользит.

Сила веса может быть разделена на составляющую, перпендикулярную наклонной плоскости (нормальная составляющая силы ), и составляющая, параллельная наклонной плоскости (сила нисходящего движения ). ${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {G}} = м \ cdot g}$${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {GN}}}$${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {GH}}}$

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {GN}} = m \ cdot g \ cos \ alpha}$

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {GH}} = м \ cdot g \ sin \ alpha}$

На поверхность контакта между телом и наклонной плоскостью действуют нормальная сила и сила трения.${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {N}}}$${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {R}} \,.}$

Если тело должно находиться в состоянии покоя, сила трения должна быть точно такой же, как и сила спуска: ${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {R}}}$

${\ Displaystyle \ F _ {\ mathrm {R}} = F _ {\ mathrm {GH}} \,.}$

Соответственно, к равновесию, перпендикулярному наклонной плоскости, применимо также следующее:

${\ Displaystyle \ F _ {\ mathrm {N}} = F _ {\ mathrm {GN}} \,.}$

С законом трения:

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {R}} \ leq \ mu _ {\ mathrm {H}} F _ {\ mathrm {N}}}$

результаты необходимых условий:

${\ Displaystyle \ mu _ {\ mathrm {H}} \ geq \ tan \ alpha \,.}$

Если угол наклона слишком велик или коэффициент трения покоя слишком мал, равновесие невозможно и тело скользит. ${\ Displaystyle \! \ \ альфа}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {H}} \,}$

При малых углах , поскольку они являются общими в дорожном движении относится: . В случае гололеда с коэффициентом трения 0,1 для резиновых шин уклон дороги должен составлять максимум 5,7 градуса или около 6%. Это максимальное значение уклона также предписано в соответствии с DIN 18040-1 для пандусов в общественных местах, чтобы инвалиды-колясочники могли самостоятельно получить доступ. ${\ Displaystyle \ загар \ альфа \ приблизительно \ грех \ альфа \ приблизительно \ альфа}$

Стационарное движение

Дрейф автомобиля под уклон по наклонной плоскости

Закон сохранения энергии применяется к телам, которые катятся по неподвижной наклонной плоскости без заметной скорости скольжения в точке контакта . Проделанная работа не зависит от пути. Это происходит на нескользких дорожных покрытиях в транспортных средствах или при погрузке и разгрузке бочек. Для работ с увеличением высоты в вертикальном направлении действует следующее: ${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle А = F _ {\ mathrm {G}} \ cdot h}$

Работа по наклонной плоскости:

${\ displaystyle A = F_ {H} \ times l = F _ {\ mathrm {G}} \ times h}$ аналогично работе в вертикальном направлении.

Контекст известен как « золотое правило механики », которое Галилей сформулировал в 1594 году следующим образом: ${\ displaystyle F_ {H} \ times l = F _ {\ mathrm {G}} \ times h}$

Дрейф на спуске и вес связаны:

${\ displaystyle {\ frac {F_ {H}} {F _ {\ mathrm {G}}}} = {\ frac {h} {l}}}$.

В автомобилях смещение под уклон компенсируется силами, действующими на колеса. Поскольку они передаются фрикционным соединением , наклон должен быть значительно меньше 45 °. Baldwin Street , который считается крутой улицей в мире, требует при наклоне 19,3 ° коэффициента трения и в зимних условиях слишком крутой. ${\ displaystyle \ mu = 0,35}$

Ускоренное движение

Горка

Если условие равновесия не соблюдается, тело испытывает постоянное ускорение .

${\ Displaystyle г ^ {*} = г \ CDOT \ грех \ альфа - \ му г \ CDOT \ соз \ альфа}$

Поскольку в долгосрочной перспективе это приведет к еще большей скорости, эти условия могут поддерживаться только в течение ограниченного периода времени. При катании на лыжах з. Б. по маршруту, не расположенному непосредственно у линии падения, или для велосипедистов по сопротивлению воздуха.

Свободное падение

Устройство для демонстрации равноускоренного движения катящегося тела по наклонной плоскости, Museo Galileo , Флоренция.

Эксперименты с желобом позволили Галилею проверить свою гипотезу о последовательности движений при свободном падении. С помощью наклонной плоскости процесс можно замедлить, чтобы можно было наблюдать за его течением во времени даже с неточными средствами его времени. Далее уравнение движения выводится для тела, катящегося по наклонной плоскости. По сравнению с трением скольжения трение качения намного ниже и им пренебрегают.

Для скорости в центре тяжести тела , такие как бочки, цилиндры, или шарик, который рулоны без скольжения по наклонной плоскости, где: . Для ускорения соответственно:${\ displaystyle v = \ omega \ cdot r}$${\ Displaystyle а = {\ точка {\ omega}} \ cdot r}$

В центре тяжести, параллельном наклонной плоскости, никакая другая сила, кроме силы спуска, не должна действовать. Угловое ускорение возникает из моментов вокруг точки контакта:

${\ displaystyle (\ Theta + mr ^ {2}) \ cdot {\ dot {\ omega}} = F_ {H} \ cdot r}$.

С радиусом вращения в соответствии с применимыми ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ Theta = м \ CDOT я ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ dot {\ omega}} = {\ frac {g \ sin \ alpha \ cdot r} {i ^ {2} + r ^ {2}}}}$

Ускорение рассчитывается следующим образом:

${\ Displaystyle а = г \ cdot \ грех \ альфа \ cdot {\ гидроразрыва {г ^ {2}} {я ^ {2} + г ^ {2}}}}$

С аббревиатурой применяется: ${\ displaystyle c_ {F} = {\ frac {r ^ {2}} {i ^ {2} + r ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle а = г \ cdot c_ {F} \ cdot \ грех \ альфа}$

Ускорение пропорционально ускорению свободного падения , но уменьшается пропорционально отношению высоты к длине наклонной плоскости ( ). Поскольку ускорение постоянно, тело движется с равномерным ускорением по закону скорость-время : ${\ Displaystyle \ грех \ альфа = {\ tfrac {ч} {l}}}$

${\ Displaystyle v = а \ cdot t}$

и закон времени пути :

${\ displaystyle s = {\ frac {1} {2}} а \ cdot t ^ {2}}$

Время, необходимое для преодоления расстояния, рассчитывается по закону расстояния-времени: ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle t = {\ sqrt {\ frac {2s} {g \ cdot c_ {F} \ cdot \ sin \ alpha}}}}$

Путем своих измерений Галилей установил, что соотношение различных рулежных дорожек зависит от квадратов необходимого времени.

${\ displaystyle {\ frac {s_ {1}} {s_ {2}}} = {\ frac {t_ {1} ^ {2}} {t_ {2} ^ {2}}}}$

Как он описал в своей книге «Discorsi e di-mostrazione mathematiche», это подтвердило его гипотезу о том, что скорость линейно увеличивается со временем. Расстояние также можно рассчитать по средней скорости : ${\ Displaystyle {\ overline {v}} = {\ tfrac {1} {2}} а \ cdot t}$

${\ displaystyle s = {\ overline {v}} \ cdot t \ Rightarrow s = {\ frac {1} {2}} a \ cdot t ^ {2}}$

Момент инерции зависит от распределения массы и может быть выражена радиусом вращения ( ). Для однородного полного цилиндра это момент инерции . Для полого цилиндра с пренебрежимо тонкой кромкой это момент инерции . Независимо от того, из каких материалов изготовлен тот и другой, и независимо от радиусов корпуса, полый цилиндр катится по наклонной плоскости медленнее, чем сплошной цилиндр. ${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Theta} = м \ cdot я ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Theta} = м \ cdot r ^ {2} / 2}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ Theta} = м \ cdot r ^ {2}}$

Скорость в конце наклонной плоскости дает:

${\ displaystyle v = {\ sqrt {2g \ cdot c_ {F} \ cdot h}}}$

Он отличается от свободного падения только фактором, зависящим от формы (точечная масса 1, твердый цилиндр 2/3, полый цилиндр 1/2, шар 5/7). Однако продолжительность процесса может быть значительно увеличена за счет наклона. Галилей использовал для своих экспериментов канал длиной 12 локтей, угол которого он изменил. При высоте на один локоть, соответствующей наклону 4,8 °, процесс можно было продлить примерно до 5 с. Реконструкция его рабочего кабинета находится в Немецком музее.${\ displaystyle c_ {F}}$

Движение с сопротивлением воздуха

Далее следует учитывать силу сопротивления воздуха при движении тела по наклонной плоскости. ${\ displaystyle F_ {W}}$

${\ displaystyle F_ {W} = {\ frac {\ rho} {2}} c _ {\ mathrm {w}} A \, v ^ {2} = kv ^ {2}}$.

Постоянная зависит от формы тела и плотности текучей среды. ${\ Displaystyle к \,}$

Где:

${\ displaystyle c _ {\ mathrm {w}} \,}$: коэффициент лобового сопротивления,

${\ Displaystyle А \,}$: площадь поперечного сечения корпуса,

${\ Displaystyle \ rho \,}$: плотность текучей среды

Горка

Сила спуска, а также сила трения и сопротивление воздуха действуют на тело параллельно наклонной плоскости. Уравнение движения Ньютона гласит:

${\ displaystyle m \ cdot a = F_ {H} -F_ {R} -F _ {\ mathrm {W}}}$

или:

${\ Displaystyle м {\ точка {v}} + kv ^ {2} = мг \ cdot (\ грех \ альфа - \ му \ соз \ альфа)}$

Случай предполагается : С участием ${\ displaystyle \ tan \ alpha> \ mu}$

${\ Displaystyle г ^ {*} = г \ CDOT (\ грех \ альфа - \ му \ соз \ альфа)}$

Подход:

${\ displaystyle v (t) = v _ {\ infty} \ tanh bt \ Rightarrow {\ dot {v}} = {\ frac {v _ {\ infty} b} {\ cosh ^ {2} \ left (bt \ right)}}}$

Диаграмма время-скорость (масштабирование оси времени следует понимать более символически)

Подставляя его в дифференциальное уравнение, учитывая:

${\ displaystyle \ cosh ^ {2} \ left (bt \ right) = 1 + \ sinh ^ {2} \ left (bt \ right)}$

и при сравнении коэффициентов:

${\ Displaystyle v (т \ rightarrow \ infty) = v _ {\ infty} = {\ sqrt {\ frac {m \ cdot g ^ {*}} {k}}}}$ а также

${\ displaystyle b = {\ frac {g ^ {*}} {v _ {\ infty}}} \,.}$

Решение такое:

${\ Displaystyle v = v _ {\ infty} \ tanh \ left [{\ frac {g ^ {*}} {v _ {\ infty}}} \ cdot t \ right] \,.}$

${\ displaystyle v _ {\ infty}}$ это максимальная скорость.

${\ Displaystyle \! \ \ tanh x}$- гиперболический тангенс .

При наклоне трамплина 37 ° и коэффициенте трения 0,03 результатом будет значение cw * A, равное 0,224 (оценка A 0,32 м ² , оценка cw 0,7, g * = 5,67 м / с ² , k = 0,134, m = 70 кг) получается 196 км / ч. Поэтому вышки для прыжков с трамплина не предназначены для достижения такой скорости. Более реалистичную оценку скорости запуска, основанную на энергосбережении, можно найти на LEIFIphysik.

рулон

Далее рассматривается транспортное средство с полной массой, катящееся по склону. Если в точке контакта шины с дорогой нет относительной скорости, сила трения отсутствует. Однако для увеличения угловой скорости колес требуется сила в том же направлении. Таким образом, формально уравнение движения Ньютона идентично случаю скольжения: ${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle m \ cdot a = F _ {\ mathrm {H}} -F _ {\ mathrm {R}} -F _ {\ mathrm {W}}}$

Если предположить упрощенно, что все колеса одинаково тяжелы и имеют одинаковый момент инерции, результат для требуемой силы для суммы всех колес будет:

${\ displaystyle F _ {\ mathrm {R}} = m _ {\ mathrm {R} ad} \ cdot a {\ frac {i ^ {2}} {r ^ {2}}}}$

В уравнение движения Ньютона вставлено:

${\ displaystyle (m + m _ {\ mathrm {R} ad} {\ frac {i ^ {2}} {r ^ {2}}}) \ cdot {\ dot {v}} + kv ^ {2} = мг \ грех \ альфа}$

Это уравнение формально соответствует уравнению, выведенному для случая скольжения. Так что у него такой же подход. Окончательная скорость получается из:

${\ Displaystyle v (т \ rightarrow \ infty) = v _ {\ infty} = {\ sqrt {\ frac {m \ cdot g \ sin \ alpha} {k}}}}$.

Для гонщика на гоночном велосипеде общей массой 80 кг, который скатывается с уклоном 10%, конечная скорость составляет 82 км / ч. Значение 0,25 м ² принято для c _W * A с учетом положения гонщика . При значении c _W * A 0,36 м ^{2 в} нормальном положении будет достигнута скорость 68 км / ч.

винт

Самым распространенным применением наклонной плоскости в повседневной жизни является винт . Винт можно представить как наклонную плоскость, намотанную на цилиндр. В пограничном случае винта без трения можно применить закон сохранения энергии. Работа от крутящего момента и угла поворота винта соответствует работе от растягивающей силы и смещения. ${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {t}}}$

Разложение сил на винт. F: тангенциальная сила, F_t: растягивающая сила

Шаг винта определяется как разница между резьбой винта. При повороте угла винт перемещается на это расстояние. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ phi = 2 \ pi}$

${\ Displaystyle Z = {\ гидроразрыва {\ phi} {2 \ pi}} \ cdot h}$

К работе относится следующее:

${\ Displaystyle M \ cdot \ phi = F _ {\ mathrm {t}} \ cdot z}$

и это приводит к растягивающей силе:

${\ displaystyle F _ {\ mathrm {t}} = {\ frac {M} {h}} \ cdot 2 \ pi}$

Между винтом и гайкой на контактной поверхности резьбы действует нормальная сила. Его можно разбить на тангенциальный компонент и компонент в продольном направлении винта. Тангенциальная составляющая обеспечивает равновесие моментов вокруг оси винта. Сила растяжения натягивает соединение. Из-за шага винта меньшее усилие в тангенциальном направлении изменяется при увеличении силы в продольном направлении .

Таким образом, большие усилия могут быть достигнуты с одинаковым крутящим моментом с помощью винтов с малым шагом. Для самоблокировки соединения требуется трение. Это можно учесть в КПД : ${\ displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle F _ {\ mathrm {t}} = \ eta {\ frac {M} {h}} \ cdot 2 \ pi}$

веб ссылки

• Определение конечной скорости на наклонной плоскости (PDF; 166 кБ)
• Задача с прокомментированным решением
• Распространение сил на LEIFIphysics

Индивидуальные доказательства

1. ^ Армин Германн: Fallgesetze. В: Армин Германн (ред.): Лексикон История физики А - Я. Биографии и ключевые слова, оригинальные сочинения и вторичная литература. 2-е издание Aulis Verlag Deubner, Cologne 1978, p. 102.
2. ↑ Вальтер Хель: Галилео Галилей противоречивый: ученый между гением и деспотом эпохи Возрождения . Springer Vieweg, 2017, ISBN 978-3-658-19294-5 , стр. 66 ( ограниченный предварительный просмотр в поиске Google Книг). 
3. ↑ Желоб по Галилео Галилею. Европейский университет Фленсбург, доступ к 9 апреля 2021 года . 
4. ↑ Бэрбель Фромме: «Свободное падение» - свободно основанное на Галилео - эксперименты по падению водосточных желобов с использованием современных школьных средств -. (PDF) Проверено 22 марта 2021 . 
5. ^ ^{A b} Юрген Эйхлер : Физика: основы инженерных исследований . Vieweg Verlag , Брауншвейг / Висбаден 1993, ISBN 978-3-528-04933-1 , стр. 31 , DOI : 10.1007 / 978-3-322-96859-3 ( Google Книги ). 
6. ↑ Лаборатория по Галилею. Немецкий музей, доступ к 23 марта 2021 года . 
7. ↑ Мир физики. Как скользят лыжи? В: Немецкое физическое общество. Проверено 26 марта 2021 года .  
8. ↑ Горизонтальный и наклонный бросок. В: LEIFIphysik. Проверено 28 марта 2021 года .  
9. ^ HJ Schlichting, R. Nobbe: Исследования по энергетике велосипеда. (PDF) Проверено 27 марта 2021 .