Подмножество

Диаграмма Венна : является (реальное) подмножество B .

В математических терминах подмножество и SUPERSET описывают отношение между двумя множествами . Другое слово для обозначения подмножества - это подмножество .

Для математического представления вложения подмножества ее основной сумма математической функции от отношения подмножества , которое картирование включения используется. является подмножеством и является подмножеством , если каждый элемент из является также содержится в. Если она также содержит дополнительные элементы, которые не содержатся в, то это истинное подмножество из , и является истинным подмножеством из . Множество всех подмножеств данного множества называется набор мощности из . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Георг Кантор - «изобретатель» теории множеств - ввел термин « подмножество» в 1884 году; символ подмножестве связи был введен Эрнстом Шредером в 1890 году в его « Алгебра из логики ».

определение

Если и являются множествами и каждый элемент также является элементом , вызывается подмножество или подмножество :${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ substeq B: \ Longleftrightarrow \ forall x \ in A \ двоеточие x \ in B}$

И наоборот, надмножество вызывается тогда и только тогда, когда оно является подмножеством : ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle B \ supseteq A: \ Longleftrightarrow A \ substeq B}$

Также существует понятие реального подмножества. является правильным подмножеством тогда и только тогда, когда подмножество и не идентично . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle A \ subsetneq B: \ Longleftrightarrow A \ substeq B \ land A \ neq B}$

Опять пишешь когда . ${\ Displaystyle B \ supsetneq A}$${\ Displaystyle A \ subsetneq B}$

Дальнейшие обозначения

Некоторые авторы также используют символы и для подмножества и надмножества вместо и . В большинстве случаев автор не дает определения термина «реальное подмножество». ${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ supset}$${\ displaystyle \ substeq}$${\ displaystyle \ supseteq}$

Другие авторы предпочитают символы и вместо того , чтобы и для надлежащего подмножества и надмножества . Такое употребление как нельзя лучше напоминает знаки неравенства и . Поскольку это обозначение в основном используется, когда важна разница между действительным и ненастоящим подмножеством, символы и используются редко. ${\ displaystyle \ subset}$${\ displaystyle \ supset}$${\ Displaystyle \ subsetneq}$${\ displaystyle \ supsetneq}$ ${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle <}$${\ Displaystyle \ subsetneq}$${\ displaystyle \ supsetneq}$

Есть также варианты персонажа , и . Если не является подмножеством , также можно использовать. Соответствующие варианты написания не для , и для , а также (не надстройкой). ${\ Displaystyle \ subsetneq}$${\ Displaystyle \ varsubsetneq}$${\ Displaystyle \ subsetneqq}$${\ Displaystyle \ varsubsetneqq}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ nsubseteq B: \ Longleftrightarrow \ lnot \ left (A \ substeq B \ right)}$${\ Displaystyle \ varsupsetneq}$${\ displaystyle \ supsetneq}$${\ displaystyle \ supsetneqq}$${\ Displaystyle \ varsupsetneqq}$${\ displaystyle \ supsetneq}$${\ Displaystyle A \ nsupseteq B}$

Соответствующие символы Unicode : ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋ (см .: Блочные математические операторы Unicode ).

Способы говорить

Вместо того , чтобы « является подмножеством .», «Сумма содержится в количестве » или «Сумма будет состоять из » . Также используется . Таким же образом вместо « является надмножеством .», Также используется «Набор содержит набор» . Или «Набор включает набор ». Если не может быть недоразумений, также сказано " содержит " и т. Д. Недоразумения могут возникнуть, особенно с «Количество содержит элемент ». ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$

Примеры

Набор {барабан, игральная карта} - это подмножество набора {гитара, игральная карта, цифровая камера, барабан}

Правильные многоугольники - это подмножество множества всех многоугольников.

• {1, 2} является (действительным) подмножеством {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} - (ложное) подмножество {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3, 4} не является подмножеством {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} не является подмножеством {2, 3, 4}.
• {} является (действительным) подмножеством {1, 2}.
• {1, 2, 3} является (собственным) надмножеством {1, 2}.
• {1, 2} является (несобственным) надмножеством {1, 2}.
• {1} не является расширенным набором {1, 2}.
• Набор простых чисел - это действительное подмножество набора натуральных чисел .
• Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел .

Другие примеры в виде количественных диаграмм:

• 

  A - собственное подмножество B

• 

  C является подмножеством B, но не реальным подмножеством B

свойства

• Пустое множество является подмножеством любого множества:

  ${\ displaystyle \ varnothing \ substeq A}$

• Каждый набор представляет собой подмножество самого себя:

  ${\ displaystyle A \ substeq A}$

• Характеристика включения с помощью ассоциации :

  ${\ Displaystyle A \ substeq B \ Leftrightarrow A \ чашка B = B}$

• Характеристика включения с использованием среднего :

  ${\ Displaystyle A \ substeq B \ Leftrightarrow A \ cap B = A}$

• Характеристика включения с помощью набора разностей :

  ${\ displaystyle A \ substeq B \ Leftrightarrow A \ setminus B = \ varnothing}$

• Характеристика включения с помощью характеристической функции :

  ${\ displaystyle A \ substeq B \ Leftrightarrow \ chi _ {A} \ leq \ chi _ {B}}$

• Два набора равны тогда и только тогда, когда каждый является подмножеством другого:

  ${\ displaystyle A = B \ Leftrightarrow A \ substeq B \ land B \ substeq A}$

  Это правило часто используется для доказательства равенства двух множеств путем демонстрации их взаимного включения (в два этапа).

• При переходе к дополнению направление включения меняется на противоположное:

  ${\ Displaystyle A \ substeq B \ Rightarrow A ^ {\ rm {c}} \ supseteq B ^ {\ rm {c}}}$

• При создании перекрестка всегда получается подмножество:

  ${\ Displaystyle A \ cap B \ substeq A}$

• При формировании союза всегда получается надмножество:

  ${\ Displaystyle A \ чашка B \ supseteq A}$

Включение как отношение порядка

Если A ⊆ B и B ⊆ C, то и A ⊆ C тоже

Включение как отношение между множествами выполняет три свойства отношения частичного порядка , а именно: оно рефлексивно , антисимметрично и транзитивно :

${\ displaystyle A \ substeq A}$

${\ Displaystyle A \ substeq B \ substeq A \ Rightarrow A = B}$

${\ Displaystyle A \ substeq B \ substeq C \ Rightarrow A \ substeq C}$

(Это сокращение от и .) ${\ Displaystyle A \ Substeq B \ substeq C}$${\ displaystyle A \ substeq B}$${\ Displaystyle B \ substeq C}$

Таким образом , если существует множество наборов (а набор системы ), то есть частичный порядок . Это особенно верно для набора мощности данного набора . ${\ Displaystyle M \,}$${\ Displaystyle (М, \ substeq)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$

Цепи включения

Если система величин таким образом, что две из величин , входящих в один охватывают другие или охватываются другой, то такой системой величин , называется включение цепью . Примером этого может служить система из левых неограниченных открытых интервалов в . ${\ Displaystyle M \,}$${\ Displaystyle M \,}$${\ displaystyle \ {{] {- \ infty, x} [} \ mid x \ in \ mathbb {R} \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Частный случай цепочки включения - это когда дана (конечная или бесконечная) последовательность величин , которая упорядочена в порядке возрастания или убывания . Затем вы коротко напишите: ${\ displaystyle \ substeq}$ ${\ displaystyle \ supseteq}$

${\ Displaystyle A_ {1} \ substeq A_ {2} \ substeq A_ {3} \ substeq \ ...}$

${\ Displaystyle A_ {1} \ supseteq A_ {2} \ supseteq A_ {3} \ supseteq \ ...}$

Размер и количество подмножеств

• Каждое подмножество конечного множества конечно, и следующее относится к мощностям :

  ${\ Displaystyle A \ substeq B \ Rightarrow \ left | A \ right | \ Leq \ left | B \ right |}$

  ${\ Displaystyle A \ subsetneq B \ Rightarrow \ left | A \ right | <\ left | B \ right |}$

• Каждое надмножество бесконечного множества бесконечно.
• Даже при бесконечных количествах к толщине применимо следующее:

  ${\ Displaystyle A \ substeq B \ Rightarrow \ left | A \ right | \ Leq \ left | B \ right |}$

• Однако в случае бесконечных множеств возможно, что реальное подмножество имеет ту же мощность, что и его базовое множество. Например, натуральные числа являются истинным подмножеством целых чисел , но оба набора имеют одинаковую силу (а именно, счетно бесконечны ).
• После того, как теорема Кантора является набор мощности некоторого количества всегда более мощной , чем сумма сам: .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | A | <{\ bigl |} {\ mathcal {P}} (A) {\ bigr |}}$
• Конечное множество с элементами имеет ровно подмножества.${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$
• Количество -элементных подмножеств -элементного (конечного) множества задается биномиальным коэффициентом .${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

Смотри тоже

• характеристическая функция

литература

• Оливер Дайзер: Введение в теорию множеств . Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5
• Джон Л. Келли: Общая топология . Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк 1975, ISBN 3-540-90125-6 (перепечатка издания Ван Ностранда 1955 года). 

веб ссылки

Индивидуальные доказательства

1. ↑ ^{a b} Оливер Дайзер: Введение в теорию множеств . Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5 , стр. 33 ( выдержка (Google) ).
2. ↑ Адольф Френкель: Введение в теорию множеств: элементарное введение в царство бесконечно великого . Springer, 2-е издание, 2013 г., ISBN 9783662259009 , стр. 15
3. ↑ Теория множеств . В: Энциклопедия математики .
4. ↑ Отто Кернер, Джозеф Маурер, Ютта Стеффенс, Томас Тоде, Рудольф Фоллер: Vieweg Mathematik Lexikon . Vieweg, 1988, ISBN 3-528-06308-4 , стр.190 .