Точка Хегнера

Точки Хегнера (названные в честь Курта Хегнера ) - это числа, которые решают квадратные уравнения с целыми коэффициентами и могут быть связаны с точками на геометрических фигурах, а именно с кривыми модулей . Точки на модульных кривых, заданные посредством ссылки, также называются точками Хегнера и являются предметом арифметической геометрии . Они играют важную роль в теории эллиптических кривых и в теории полей классов . Точки Хегнера отличаются от именных чисел Хегнера .

Решения квадратного уравнения, называемые точками Хегнера, представляют собой комплексные числа с исключительно положительной мнимой частью . Например, число является точкой Хегнера, потому что оно имеет положительную мнимую часть и удовлетворяет уравнению . Решения используются для создания точек, которые удовлетворяют более сложным уравнениям модульных кривых или эллиптических кривых. Дополнительным преимуществом этого метода является то, что точки Хегнера можно легко определить с помощью квадратного уравнения . Полученные таким образом точки в конечном итоге предоставляют некоторую информацию по вопросам теории чисел . Курт Хегнер использовал их для исследования вопросов о разложении чисел на более элементарные мультипликативные строительные блоки, которые аналогичны теории простых чисел . ${\ displaystyle i {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle x ^ {2} + 2 = 0}$

Точки Хегнера косвенно участвуют в идеях определения числа круга до многих знаков после запятой. Они являются отправной точкой для алгоритма Чудновский , с помощью которых более 62 трлн знаков после запятой по уже вычисленной на сегодняшний день (по состоянию на 2021 г. ) . ${\ displaystyle \ pi \ приблизительно 3 {,} 141}$ ${\ displaystyle \ pi}$

Точкам Хегнера уделяется особое внимание в области вопросов, относящихся к гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера , одной из семи проблем тысячелетия в математике. Они сыграли ключевую роль в вопросе о том, почему эта до сегодняшнего дня в целом недоказанная гипотеза могла быть доказана только в очень конкретных случаях с использованием уже полученных знаний. Это как раз те случаи, когда соответствующие эллиптические кривые - объекты гипотезы - имеют «прямую ссылку» на точки Хегнера. Одновременно просматривая бесконечное число точек Хегнера, так называемые системы Хегнера могли Виктор Колывагин в сочетании с результатами Бенедикта Гросса и Дона Загира в 1988 году показать, что гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера в случае аналитических рангов и верна. ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle r = 1}$

По сей день точки Хегнера считаются объектами математического интереса даже при использовании алгоритмов, то есть вычислительных процессов. Брайан Берч , Анри Дармон , Питер Суиннертон-Дайер , Бенедикт Гросс, Курт Хегнер, Винфрид Конен , Виктор Колывагин, Барри Мазур , Генрих Вебер , Чжан Вэй , Дон Загир и Шоу-Ву Чжан внесли важный вклад в их исследования .

Базовая классификация

О кривых и рациональных точках

Алгебраическая кривая - это, по сути, большое семейство точек, которые все имеют общее алгебраическое отношение. Это означает, что существует уравнение для нуля, которое только добавляет, вычитает, умножает и делит, которому удовлетворяют все точки одновременно. Примером может служить уравнение ( просто умножьте на себя, а затем вычтите 1 из результата ), которое решается в точности с помощью . Таким образом, семейство образует «предварительную стадию» кривой, хотя две точки еще не дают «кривого» вида. ${\ displaystyle x ^ {2} -1 = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x = \ pm 1}$${\ displaystyle \ {- 1,1 \}}$

Первым нетривиальным и часто упоминаемым примером кривой является окружность с радиусом 1 и центром  в плоскости чисел, которая задается точками, удовлетворяющими соотношению . Точки с более чем одной координатой также могут образовывать кривые, и фактически только здесь они становятся «богаче». То, что действительные решения уравнения образуют круг, можно доказать с помощью теоремы Пифагора . Интересно, что такая геометрическая фигура, как круг, возникает из алгебраического соотношения. Другие структуры, такие как прямые , плоскости , гиперболы и т. Д., Также основаны на алгебраических уравнениях. ${\ displaystyle (0,0)}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

Хотя круг можно создать только «без пробелов», учитывая все действительные числа, например, есть на круге ${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} \ right) ^ { 2} = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} = 1,}$

Теория чисел представляет интерес для поиска особо «простых» точек на кривых. Это означает, например, рациональные точки, которые, в дополнение к уже ограниченному положению кривой, должны обладать тем свойством, что их координаты могут быть описаны частным целых чисел . Итак, это классический вопрос теории чисел, какие рациональные точки лежат на окружности . Например, это не рациональная точка, зная, что квадратный корень из 2 не является рациональным числом. Примеры рациональных точек есть ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {3} {5}}, {\ frac {4} {5}} \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {3} {5}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {4} {5}} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {9 } {25}} + {\ tfrac {16} {25}} = {\ tfrac {9 + 16} {25}} = {\ tfrac {25} {25}} = 1,}$

но и так же . Эти точки являются производными от троек Пифагора , то есть нетривиальных целых чисел с . Элементарными методами можно показать, что существует бесконечное количество примитивных троек Пифагора, то есть таких, которые не являются целыми кратными другим троек, поэтому круг фактически «усеян» рациональными точками, см. Также статью Группа рациональных точки на единичной окружности . В общем, квадратичные кривые в основном понимаются с точки зрения рациональных точек.${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {5} {13}}, {\ frac {12} {13}} \ right)}$${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {20} {101}}, {\ frac {99} {101}} \ right)}$${\ Displaystyle (а, б, в)}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Этот пример уже показывает синтез из геометрии (фигуры, здесь круг), алгебра (уравнения , которые используют только основные арифметические операции) и теорию чисел (рациональные числа).

Эллиптические кривые

Далеко не так доступны так называемые эллиптические кривые (выше рациональных чисел), которые обычно можно описать в форме рациональных чисел . В то время как геометрическая фигура круга была основана на квадратном уравнении, эллиптическая кривая представляет собой кубическое уравнение (то есть с членами в степени 3 ). Особенность эллиптических кривых заключается в том, что вы можете вычислить новую рациональную точку из двух уже известных (рациональных) точек и через ссылку , так же как вы можете сгенерировать новое целое число из двух целых чисел с добавлением. При добавлении рациональной точки к себе могут возникнуть две ситуации: либо рассматриваемая точка имеет конечный порядок и замыкает конечный цикл, т.е. Другими словами, в какой-то момент ситуация возникает и начинается все сначала, или создаются новые точки вплоть до бесконечности, что сравнимо с генерацией всех натуральных чисел через нее . В этом случае говорят, что он имеет бесконечный порядок . Иногда точки конечного порядка также называют тривиальными точками, а точки бесконечного порядка также называют нетривиальными точками. ${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ displaystyle a, b}$${\ Displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1} + P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {3}}$${\ Displaystyle P + P + P + \ dotsb + P = P}$${\ Displaystyle 1 + 1 + 1 + 1 + \ dotsb}$${\ displaystyle P}$

Теория эллиптических кривых чрезвычайно обширна, имеет важное значение для теории чисел в связи с великой теоремой Ферма и, по оценкам математиков, таких как Анри Коэн , занимает многие тысячи страниц (на современном математическом языке). Несмотря на их структуру, некоторые из их свойств еще не выяснены. На сегодняшний день не известен ни один общий алгоритм, который обеспечивает конечное число рациональных точек, с помощью которых можно получить все другие рациональные точки на кривой путем связывания (положительный ответ на сильную гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера был бы таким: впрочем, используйте такой алгоритм доставки). Однако в некоторых случаях точки Хегнера могут помочь генерировать нетривиальные рациональные точки.

Что перемещает эллиптические кривые вокруг рациональных чисел, помимо их способности добавлять точки, в фокус интереса, так это то, что они являются единственными кривыми, которые могут иметь конечное, но также и бесконечное количество рациональных точек. Эллиптические кривые имеют пол, и согласно гипотезе Морделла , доказанной Гердом Фалтингсом , кривые пола с рациональной точкой уже имеют бесконечное количество рациональных точек, в то время как кривые пола могут иметь только конечное количество рациональных точек. За свои достижения в 1986 году Фальтингс был награжден медалью Филдса .${\ displaystyle g = 1}$${\ displaystyle g = 0}$${\ displaystyle g \ geq 2}$

Параметризация эллиптических кривых

Свойство эллиптической кривой быть бубликом над комплексными числами можно объяснить тем, как ее можно параметризовать.

Параметризация является отображением «простого» объекта параметра в «осложненный» целевом объект, с помощью которого любой нетривиальной часть целевого объекта может быть получена путем введения каких - либо входов (параметры) объекта параметра. Термин «простой» означает, что объект параметра - это в первую очередь «объект известного параметра», о котором имеется достаточно информации и значения которого теперь используются одно за другим для построения другого (неизвестного, более сложного или структурно). более требовательный) объект. Часто и вход, и выход являются точками, которые представляют геометрический объект в своей коллекции.

Примером параметризации является круг: «простой» объект параметра - это интервал , то есть все действительные числа от 0 до 1, содержание которых мы канонически удаляем, а «сложный» целевой объект - это круг, с возможным отображением ${\ displaystyle [0,1]}$

${\ Displaystyle т \ mapsto (\ соз (2 \ пи т), \ грех (2 \ пи т))}$

является. Согласно теореме Пифагора, это зависит от ввода , с помощью которого весь круг генерируется за счет периодичности и непрерывности на синус и косинус . Если вы используете иллюстрацию комплексных чисел (с действительными числами ) в качестве точек , параметризация упрощается. ${\ Displaystyle \ грех ^ {2} (\ тета) + \ соз ^ {2} (\ тета) = 1}$${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle a + ib}$${\ displaystyle a, b}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {2 \ pi it}.}$

Отношения между синусом, косинусом и комплексной экспоненциальной функцией см. Также в формуле Эйлера . С геометрической или топологической точки зрения интервал , «нить» с единицей длины, берется с обоих концов и соединяется, образуя круг.${\ displaystyle [0,1]}$

Особенность круговой параметризации заключается в том, что она генерируется трансцендентной функцией , а именно . Трансцендентного означает , что нет никакого общего принципа для генерации значения функции с помощью конечного числа сложений, вычитаний, умножений или делений от входов и фиксированных номеров. В этих обстоятельствах на самом деле следует ожидать, что значения функции при рациональных входах не имеют какой-либо специальной структуры ( хотя это поле, не требуется, чтобы оно все же было закрыто при бесконечном количестве алгебраических операций). Что еще хуже, алгебраические числа в асимптотическом смысле составляют 0% от всех комплексных чисел, поэтому «совпадение» будет исключено. На самом деле, однако, с помощью степенных законов можно показать , что каждое из значений с рациональными числами является алгебраическим числом, а именно, что оно удовлетворяет уравнению . Затем алгебраичность переносится на отдельные компоненты и . Согласно этому, все рациональные числа определенным образом являются «точками Хегнера окружности», поскольку они порождают алгебраические точки на окружности при параметризации. Например, это ${\ Displaystyle е (т) = е ^ {2 \ пи это}}$${\ displaystyle e ^ {2 \ pi it}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle е ^ {2 \ pi я {\ гидроразрыва {p} {q}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {p} {q}}}$${\ displaystyle x ^ {q} -1 = 0}$${\ Displaystyle \ грех (2 \ пи т)}$${\ Displaystyle \ соз (2 \ пи т)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle f \ left ({\ tfrac {1} {8}} \ right) = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} + i {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2} },}$

где лежит на единичной окружности (см. выше). ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ tfrac {\ sqrt {2}} {2}} \ right)}$

При параметризации набора точек, которые все вместе удовлетворяют уравнению , то есть эллиптической кривой, процедура в основном такая же. Поскольку это делается с помощью эллиптических функций , на этот раз в функциях параметров используются комплексные числа вместо реальных значений. Разыскивается здесь функциональная пара и , подобно синусу и косинусу, так что для каждого из комплексных чисел рассматривается. После вставки значения координаты кривой также можно скопировать. Здесь также используются периодические функции , которые, однако, определены с самого начала на комплексных числах. Таким образом, они присваивают комплексное число каждой точке на плоскости (= каждому комплексному числу ). Функции Weierstrasse ℘ - подходящие объекты . ${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle g (t) ^ {2} = f (t) ^ {3} + af (t) + b}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle (х, у) = (е (т), г (т))}$

Эта форма параметризации является элементарной с точки зрения теории функций , но еще не дает никакой информации о рациональных точках на кривой. Для этого необходимо рассмотреть еще одну, гораздо более сложную параметризацию, см. Ниже.

Определение точек Хегнера с помощью квадратных уравнений и примеров

Точки Хегнера - это комплексные числа с положительной мнимой частью, которые решают некоторое квадратное уравнение вида с целыми числами . Всегда предполагается, что это и есть самый большой общий фактор . Из-за формулы решения / формулы полуночи решение с положительной мнимой частью квадратного уравнения выражается ${\ Displaystyle А \ тау ^ {2} + В \ тау + С = 0}$${\ displaystyle A> 0, B, C}$${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {-B + {\ sqrt {B ^ {2} -4AC}}} {2A}} = {\ frac {-B + i {\ sqrt {4AC-B ^ {2 }}}} {2A}}}$

off, который был установлен на последнем шаге . Число ниже корня, а именно , должно быть отрицательным, так как в противном случае корень не будет генерировать мнимое число. Его также называют дискриминантом точки Хегнера и иногда обозначают как. ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}} =: i}$${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle D (\ тау)}$

Кроме того, крайне важно присвоить точкам Хегнера другие данные в дополнение к их дискриминантам. Это делается для того, чтобы их можно было связать с подходящими объектами в последующих счетах-фактурах. Кроме того, эти данные являются частью полного определения точки Хегнера и предоставляют информацию о геометрической фигуре, на которой ее впоследствии можно «найти». С одной стороны, у вас есть уровень в , который может быть считан из уравнения . Это целое положительное число, которое делится таким образом, чтобы наибольший общий делитель и был равен . Он обладает тем свойством, что точка Хегнера имеет тот же дискриминант, что и . ${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle А \ тау ^ {2} + В \ тау + С = 0}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tfrac {A} {N}}, B}$${\ displaystyle CN}$${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle Н \ тау}$${\ Displaystyle \ тау}$

Очень важным свойством точек Хегнера уровня и дискриминанта является то, что каждое число, преобразованное из этих ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle D (\ тау)}$

${\ displaystyle {\ frac {a \ tau + b} {Nc \ tau + d}}}$

с целыми числами , так что это снова точка Хегнера уровня и дискриминанта . Это преобразование с использованием так называемых конгруэнтных подгрупп . Можно даже идентифицировать со всеми этими точками, поскольку все эти важные свойства сохраняются после преобразования. Две точки, отождествленные друг с другом, называются эквивалентными. Так , например, на уровне 1, в точках , и эквивалентны друг другу. Правда, и не эквивалентны на уровне 11, но все же и . Как правило, количество возможных классов эквивалентности увеличивается с уровнем. ${\ displaystyle a, b, c, d}$${\ displaystyle ad-Nbc = 1}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle D (\ тау)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle {\ tfrac {я} {я + 1}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {4i + 1} {11i + 3}}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle {\ tfrac {я} {я + 1}}}$ ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ tfrac {4i + 1} {11i + 3}}}$

Это мотивирует тот факт, что только небольшая часть точек Хегнера на верхней полуплоскости должна вообще учитываться, поскольку эквивалентные точки опускаются. Говорят также, что рассматриваются классы взаимно эквивалентных точек. Этот принцип идентификации можно проиллюстрировать на более известном примере: любое действительное число можно идентифицировать со всеми числами, имеющими форму где - целое число. Таким же образом поступили и те же «Свойства». После рассмотрения этой эквивалентности достаточно изучить интервал вместо целых и 1-периодических функций, таких как равноправное рассмотрение эквивалентных точек. Серая область, показанная на правом рисунке, представляет собой область, в которой классы суммированы относительно уровня 1, однако также можно выбрать любую другую область, окруженную синими линиями. Поэтому очевидно, что на верхнем полууровне следует рассматривать функции, которые не изменяют свое значение при переходе между эквивалентными точками (по Хегнеру) или между различными областями идентификации, так же как их значение не изменяется при изменении с на . Для классов уровня 1 такой инвариантной функцией является так называемая j-функция . Например, это ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х + п}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 42}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ грех (2 \ пи х)}$${\ Displaystyle \ грех (2 \ пи х)}$${\ Displaystyle х \ mapsto х + 42}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle [42,43)}$

${\ displaystyle j (i) = j \ left ({\ frac {i} {i + 1}} \ right) = j \ left ({\ frac {4i + 1} {11i + 3}} \ right)}$

и т.д. И точно так , как параметрироваться от окружности - путем сгибания и склеивания на обоих концах - образует на кривой модуль из зоны опознавания уровня N . Это еще называется . На этом рисунке точки Хегнера с уровнями трансформируются в точки на соответствующей кривой модуля, но по-прежнему обозначаются как таковые. Как кривые, модульные кривые состоят из точек, которые решают алгебраическое уравнение, см. Ниже. ${\ Displaystyle х \ mapsto (\ соз (2 \ пи х), \ грех (2 \ пи х))}$${\ displaystyle [0,1)}$${\ Displaystyle \ тау \ mapsto (J (\ тау), J (N \ тау))}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle (J (\ тау), J (N \ тау)) = (х, у)}$

Количество классов точек Хегнера при указанном выше обозначении тесно связано с номером класса тела после фиксированного выбора дискриминанта . Если зафиксировать дискриминант, всегда будет только конечное число точек Хегнера рассматриваемого уровня и этот дискриминант в области идентификации. Это касается того, что число «по существу» точно соответствует номеру класса - здесь, однако, некоторые преобразования, подобные преобразованиям подгрупп сравнения, еще не были приняты во внимание, что также отправляет точки Хегнера тем, у кого такие же свойства. Их также называют инволюциями. Однако, поскольку они не являются частью подгруппы сравнения, связанные точки по-прежнему дифференцируются после идентификации подгруппой сравнения. Только после новой идентификации классов, которые возникают друг из друга с помощью инволюций, наконец, имеется ровно столько классов, сколько их было .${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

То, что уже было показано во введении

${\ Displaystyle \ тау = {\ гидроразрыва {1 + я {\ sqrt {163}}} {2}}}$

это точка Хегнера с уровнем 1, потому что она применяется

${\ displaystyle (x- \ tau) (x - {\ overline {\ tau}}) = \ left (x - {\ frac {1 + i {\ sqrt {163}}}} {2}} \ right) \ left (x - {\ frac {1-i {\ sqrt {163}}} {2}} \ right) = x ^ {2} -x + 41.}$

Пример точки Хегнера 3 уровня:

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {-1 + я {\ sqrt {59}}} {6}},}$

что соответствует квадрату с дискриминантом . Отсюда также следует, что, например, тоже ${\ displaystyle 3x ^ {2} + xy + 5y ^ {2}}$${\ Displaystyle D (\ тау) = 1 ^ {2} -4 \ cdot 3 \ cdot 5 = 1-60 = -59}$

${\ displaystyle {\ frac {4 \ tau +1} {15 \ tau +4}} = {\ frac {3558 + 6i {\ sqrt {59}}} {13356}}}$

точка Хегнера с уровнем 3 и дискриминантом  , потому что . ${\ displaystyle -59}$${\ displaystyle 4 \ times 4-1 \ times 15 = 1}$

От модульных кривых к эллиптическим кривым: иллюстрация

Параметризация с помощью функции Weierstrasse ℘ описывает фигуру эллиптической кривой, но не дает никакой теоретико-числовой информации. Чтобы построить рациональные точки на эллиптической кривой, необходимо знать простые точки на сетке периодов , чтобы координаты были рациональными. Однако таких гипотетических «точек Хегнера» обычно не существует, или их невозможно просто угадать. Однако благодаря теореме модульности , которая была доказана Эндрю Уайлсом и другими спустя долгое время , известно, что существует другой способ параметризации эллиптических кривых , которые определены над рациональными числами (т.е. с ). В этом случае функция, играющая роль в отображении, также является периодической и трансцендентной. Однако отображение намного сложнее, чем вариант с использованием функций Вейерштрассе ℘. Объектом параметра является верхняя полуплоскость , то есть все комплексные числа с положительной мнимой частью. ${\ Displaystyle г \ mapsto (\ wp (z), \ wp '(z))}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle (\ wp (z), \ wp '(z))}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q}}$

Для этого вычисляется лидер эллиптической кривой, целое положительное число. Это означает, что эллиптическая кривая параметризуется модульной кривой : поскольку параметризующая функция на верхней полуплоскости остается неизменной на эллиптической кривой при замене целыми числами , это имеет математический смысл. Объект параметров теперь кажется намного более сложным, но в отличие от эллиптической кривой или сетки периодов, некоторые алгебраические точки (возможно, даже рациональные точки) могут быть угаданы непосредственно на этом объекте - так называемые точки Хегнера. Ключом к пониманию того, что точки с точкой Хегнера уровня N имеют алгебраические координаты, является то, что квадратное уравнение становится слишком большим. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle \ tau \ mapsto {\ tfrac {a \ tau + b} {Nc \ tau + d}}}$${\ displaystyle ad-Nbc = 1}$${\ Displaystyle (J (\ тау), J (N \ тау))}$${\ Displaystyle А \ тау ^ {2} + В \ тау + С = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {-C} {A \ tau + B}} = \ tau}$

можно изменить. Из свойств инвариантности можно утверждать, что тогда существуют целые числа такие, что ${\ displaystyle j}$${\ displaystyle a_ {n}, a_ {n-1}, \ dotsc, a_ {0}}$

${\ displaystyle a_ {n} j (\ tau) ^ {n} + a_ {n-1} j (\ tau) ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {0} = 0}$

является. То же самое и с . Прямая трансцендентная параметризация, предсказанная Уайлсом, таким образом, может быть разбита на два, теоретически, более простых изображения, из которых первое обеспечивает промежуточную параметризацию кривой модуля. Это делает алгебраический характер всего изображения видимым в точках Хегнера. В результате разделения отображение переходит из верхней полуплоскости в кривую модуля и из кривой модуля в эллиптическую кривую, а не из верхней полуплоскости непосредственно в эллиптическую кривую:${\ Displaystyle Н \ тау}$

• Параметризация модульной кривой аналогична эллиптической кривой: j-функция используется для отображения точек из верхней полуплоскости , которые решают уравнение, например . Вот некое натуральное число , которое еще называют лидером более поздней эллиптической кривой.${\ Displaystyle Z \ mapsto (J (Z), J (Nz)) = (x, y)}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {7} -16x ^ {6} + 4x ^ {3} -2x + 87}$${\ displaystyle N}$
• Отображение точек на кривой модуля, которые, таким образом, решают это очень сложное уравнение, в точки на эллиптической кривой с помощью направляющих , которые решают это уравнение . Такие функции, как синус, косинус, или j здесь не используются, а скорее простое алгебраическое отображение . То есть точки, которые удовлетворяют уравнению кривой модуля , отображаются в точки, которые решают уравнение эллиптической кривой, где и являются многочленами от двух переменных. Примером алгебраического отображения может быть от кривой до нормальной параболы . Одним из величайших достижений Эндрю Уайлса было объяснение того, что отображение (параметризации) между модульной кривой и эллиптической кривой является алгебраическим . Это примечательно, потому что функция была трансцендентной в верхней полуплоскости .${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle (п (х, у), д (х, у))}$${\ Displaystyle р (х, у)}$${\ Displaystyle д (х, у)}$ ${\ Displaystyle (х, 0) \ mapsto (х, х ^ {2})}$${\ displaystyle y = 0}$ ${\ Displaystyle у = х ^ {2}}$

На практике это трудно утверждать , как уравнение кривых модуля и многочлены и в явном виде, так как они быстро становятся сложными , как лидер увеличивается. Поэтому для алгоритмов расчета всегда выбирается путь от верхней полуплоскости непосредственно к эллиптической кривой, см. Ниже. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

В итоге: поскольку алгебраические точки на модульной кривой могут быть «вычислены напрямую» с использованием точек Хегнера и j-функции, а следующее алгебраическое отображение модульной кривой в эллиптическую кривую сохраняет алгебраичность, этот метод генерирует алгебраические точки на эллиптической кривой. . Это аналогичная часть окружности - здесь с помощью трансцендентной функции алгебраические значения могут быть вычислены непосредственно на окружности (поэтому интервал здесь играет роль верхней полуплоскости). ${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {2 \ pi it}}$${\ displaystyle [0,1]}$

Даже на практике необычно записывать уравнения, определяющие модульную кривую , поскольку эти так называемые модульные уравнения очень быстро становятся очень сложными. Уже в случае находят${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle N = 2}$

${\ displaystyle -x ^ {2} y ^ {2} + x ^ {3} + 1488x ^ {2} y + 1488xy ^ {2} + y ^ {3} -162000x ^ {2} + 40773375xy-162000y ^ {2} + 8748000000x + 8748000000y-157464000000000 = 0.}$

Единственная точка Хегнера изначально не создает рациональную точку на эллиптической кривой. В отличие от круга, точки Хегнера не происходят из рациональных чисел, а лежат в квадратном теле с целым числом, если они находятся в верхней полуплоскости и не начинаются на кривой модуля . Тогда это дискриминант, о котором идет речь. Однако, если несколько связанных точек Хегнера грамотно смещены друг относительно друга, в некоторых случаях можно гарантировать, что точки на эллиптической кривой, сгенерированной с их помощью, будут даже рациональными. Требуемое количество точек Хегнера зависит от номера класса квадратного тела, в котором они расположены. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle D}$

Поэтому рассматриваемую параметризацию вместе с этим принципом можно рассматривать как обобщенную версию . ${\ displaystyle e ^ {2 \ pi it}}$

Теорема модульности и точки Хегнера

При вычислении рациональных точек на эллиптических кривых не имеет смысла использовать уравнения, которые определяют кривые модуля, см. Выше, а вместо этого параметризуйте непосредственно из верхней полуплоскости. Используя параметризацию Уайлса, точки Хегнера, то есть решения квадратных уравнений с положительной мнимой частью, отправляются функцией к значению, которое лежит на сетке периодов, принадлежащей эллиптической кривой. Оттуда соответствующие функции ℘ могут использоваться для отправки кортежа, чтобы . В то же время они отобраны, и оба обладают хорошими алгебраическими свойствами, поэтому, взятые сами по себе, они удовлетворяют алгебраическому уравнению. В лучшем случае это рациональный момент. ${\ Displaystyle е (\ тау)}$ ${\ Displaystyle е (\ тау)}$${\ Displaystyle е (\ тау)}$${\ Displaystyle (х (\ тау), у (\ тау))}$${\ Displaystyle у (\ тау) ^ {2} = х (\ тау) ^ {3} + топор (\ тау) + b}$${\ Displaystyle х (\ тау)}$${\ Displaystyle у (\ тау)}$${\ Displaystyle (х (\ тау), у (\ тау))}$

Уайлс смог показать, что данные можно использовать для получения параметров с помощью алгоритма . Для этого в первую очередь важно, чтобы оба были рациональными. Например, это случай с кривой . Для построения необходимо рассматривать простые числа . Это означает, что в случае простого числа для деления используются только остальные классы . Например, по модулю , потому что по так можно делить и то, и другое, а после деления с остатком остается тот же. При построении уравнение должно рассматриваться только с точки зрения остаточного равенства, но теоретически для всех простых чисел одно за другим. Например, нужно только проверить, лежат ли четыре точки на приведенной по модулю кривой , поскольку и единственные остатки являются по модулю . Путем вставки в верхнем порядке в один находит , где оба утверждения и по модулю истинны, поскольку остальные классы совпадают. Итак, здесь есть 2 точки на кривой. Аналогичную процедуру можно использовать по модулю произвольных простых чисел, и генерируется последовательность целых чисел по количеству решений. Из этой последовательности, в свою очередь, можно определить последовательность целых чисел, которая кодирует функцию, которая позже может быть использована для настройки параметризации. Он создается путем формирования ряда Фурье${\ displaystyle E \ двоеточие y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$${\ Displaystyle е (\ тау)}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle E \ двоеточие y ^ {2} = x ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle 0,1,2, \ dotsc, p-1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 7 = 2}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 7-2}$${\ displaystyle 5}$${\ displaystyle 7}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 5}$${\ Displaystyle е (\ тау)}$${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle p = 2}$${\ Displaystyle (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}$${\ displaystyle 2}$${\ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle E \ двоеточие y ^ {2} = x ^ {3} -3x + 1}$${\ displaystyle 0 = 1,0 = -1,1 = 1,1 = -1}$${\ displaystyle 1 = 1}$${\ displaystyle 1 = -1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ dotsc}$${\ displaystyle f_ {E} (\ tau)}$

${\ displaystyle f_ {E} (\ tau): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2 \ pi in \ tau} = a_ {1} e ^ {2 \ pi i \ tau} + a_ {2} e ^ {4 \ pi i \ tau} + a_ {3} e ^ {6 \ pi i \ tau} + \ dotsb}$.

Кроме того, Уайлсу удалось доказать, что эта функция не только периодическая из-за ряда Фурье, но также имеет другие свойства преобразования. Эти свойства преобразования делают его модульной формой и позволяют использовать его для вычисления интегралов на кривой модуля, описанной выше . Подставим интеграл ${\ displaystyle f_ {E} (\ tau)}$${\ displaystyle f_ {E} (\ tau)}$

${\ Displaystyle е (\ тау) = 2 \ пи я \ int _ {я \ infty} ^ {\ тау} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z = \ sum _ {n = 1} ^ { \ infty} {\ frac {a_ {n}} {n}} e ^ {2 \ pi in \ tau} = a_ {1} e ^ {2 \ pi i \ tau} + {\ frac {a_ {2} } {2}} e ^ {4 \ pi i \ tau} + {\ frac {a_ {3}} {3}} e ^ {6 \ pi i \ tau} + \ dotsb}$

точка Хегнера, когда точка бесконечно далеко вверху на верхней полуплоскости, результат изначально четко определен. Сумма в результате интеграла была получена путем добавления фундаментальной теоремы анализа и правил , что первообразные из есть. Однако никто больше не хочет рассматривать верхнюю полуплоскость, а рассматривать модульную кривую, потому что параметризация Уайлса является одной между алгебраическими кривыми и только как таковая может представлять алгебраическое отображение. Соответственно, интеграл фактически должен оставаться неизменным, если вместо этого используются точки Хегнера, которые идентифицируются с последующим изгибом и складыванием основных областей, чтобы сформировать бублик. Можно показать, что уникальность комплексного числа теряется, но восстанавливается, если вы видите результат на сетке периода, и не имеет значения, какая сетка выбрана точно. Как правило, эта сетка периодов принадлежит как раз явной эллиптической кривой, рассмотренной вначале. Однако при этом результат уже находится на рассматриваемой эллиптической кривой и имеет там хорошие свойства. ${\ displaystyle i \ infty}$${\ Displaystyle {\ tfrac {е ^ {ха}} {а}}}$ ${\ displaystyle e ^ {ax}}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ тау}$

Классификация теоретико-числового значения

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

В контексте гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера, названной в честь Брайана Берча и Питера Суиннертон-Дайера , важную роль играют точки Хегнера. Это предположение делает утверждение о так называемом ранге эллиптической кривой над рациональными числами. Ранг является неотрицательным целым числом и описывает порядок количества рациональных точек на эллиптической кривой.

Ранг 0 означает, что на кривой есть только конечное число рациональных точек. Следствием этого является то, что каждая рациональная точка должна иметь конечный порядок, то есть, если она добавляется к самой себе так часто, как требуется, она попадает в повторяющийся образец.

Начиная с ранга 1, кривые всегда имеют бесконечное количество точек. Тем не менее, здесь все же можно провести различие между степенью бесконечности . Чем выше ранг, тем «больше» точек имеет кривая. Степень частоты измеряется количеством точек, необходимых для создания всех точек на кривой путем добавления и вычитания этих выбранных точек. В этом смысле набор из бесконечного числа целочисленных кортежей 2 имеет ранг 2, потому что вам нужны две точки, чтобы получить все точки аддитивно, например , путем сложения и вычитания, и , например, ${\ Displaystyle \ {(х, у) \ середина х, у \ в \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle (0,1)}$

${\ Displaystyle (3, -2) = (1,0) + (1,0) + (1,0) - (0,1) - (0,1)}$

путем покомпонентного сложения. С другой стороны, он имеет только ранг 1, так как каждое целое число может быть сгенерировано само собой путем сложения или вычитания, то есть только одного элемента. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 1}$

Фактическое предположение гласит, что ранг эллиптической кривой над рациональными числами можно определить по их «аналитическим данным». Это означает именно модульную форму, созданную Уайлсом , которая является объектом комплексного анализа, а не «алгебры». Так называемая L-функция соответствующей эллиптической кривой может быть рассчитана следующим образом : Кроме того , возникает из чисел${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc \ двоеточие}$

${\ displaystyle L (E, s): = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}} = a_ {1} + {\ frac {a_ {2}} {2 ^ {s}}} + {\ frac {a_ {3}} {3 ^ {s}}} + \ dotsb}$

Это так называемая серия Дирихле . По словам Уайлса, это можно расширить до функции, которая действительна для всех комплексных чисел. Гипотеза утверждает, что нули порядка от точки прямо до ранга эквивалентны. Это одна из важнейших проблем математики, которая до сих пор остается невыясненной. ${\ Displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle s = 1}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$

Однако в случае рангов 0 и 1 эту проблему можно было решить с помощью очков Хегнера. Прорыв произошел в сочетании двух математических эссе, одно Бенедикта Гросса и Дона Загира , другое Виктора Колывагина . Достижение Гросса и Загира состояло в признании того, что каноническая высота рациональных точек, построенных точками Хегнера на эллиптической кривой, может быть выражена L-функциями в точке . Каноническая высота - это мера сложности точки на кривой. Для определения канонической высоты сначала определяют наивную высоту, которая присваивает каждой точке, насколько сложны содержащиеся в ней рациональные числа. Например, «более простое» рациональное число, чем есть, потому что требуемые числа были меньше в первом случае с полностью сокращенными дробями. Затем пишут как наивную высоту точки и, исключительно в качестве примера, через логарифмическое увеличение наибольшего числа, которое появляется ${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {997} {1001}}}$${\ displaystyle h (P)}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle h (({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {997} {1001}})) = \ log (1001).}$

Каноническая высота от теперь определяется ${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {h (\ underbrace {P + P + \ dotsb + P} _ {k - {\ text { раз}}})} {k ^ {2}}},}$

где параметр стремится к бесконечности в правой дроби . Идея состоит в том, что каноническая высота проста для точки кручения, которая постоянно повторяется при сложении, поскольку числитель дроби затем повторяется и поэтому ограничен, а знаменатель всегда больше из-за . Наоборот, можно показать , что в случае точки бесконечного порядка, значение больше , чем снаружи, так как суммы , , содержат все более и более сложными и т.д. рациональных компонентов. Гросс и Загье смогли доказать, что размер соответствует одному фактору . Если теперь имеет нуль порядка 1 дюйма , то его производная не имеет нуля . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k ^ {2}}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle P + P}$${\ Displaystyle P + P + P}$${\ displaystyle P + P + P + P}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ Displaystyle L '(Е, 1)}$${\ Displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle s = 1}$ ${\ displaystyle s = 1}$

Однако Виктор Колывагин показал, что если рациональная точка, порожденная точками Хегнера, имеет бесконечный порядок, кривая на самом деле уже имеет ранг 1. Однако из формулы Гросса и Загьера этот сценарий можно прочитать с помощью L-функции, а именно, только если L-функция имеет порядок 1 , и, таким образом, связь между рангом и предсказанием Берча и Суиннертона-Дайера будет Здесь установлен нулевой порядок L-функции. ${\ displaystyle s = 1}$

Номера кузова и класса

В математике интересуются множествами, которые замкнуты относительно как можно большего числа структур. Набор получает дополнительную структуру, когда между его элементами есть связи . Например, если вы посмотрите на набор целых чисел , вы заметите, что это завершается комбинациями сложения и умножения: если вы сложите или умножите два целых числа, результатом снова будет целое число, и вы не ушли. оригинальный набор. Однако он станет еще более структурированным, если вы также можете разделить. Однако это не всегда возможно для целых чисел, поскольку, например, целого числа нет. Следовательно, площадь здесь должна быть расширена, чтобы получить степень изоляции при разделении. В случае , мы приходим к рациональным числам . По-прежнему необходимо требовать наличия «0» и «1» (нейтральные элементы сложения и умножения), так что с фактом / правилом для всех чисел можно получить алгебраическую структуру, которую также называют полем. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ dotsc, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dotsc \}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {a}} = 1}$${\ Displaystyle а \ neq 0}$

Конечно это не единственный кузов. Набор действительных чисел также является полем, поскольку здесь также применяются описанные выше правила. Однако вещественных чисел гораздо больше, чем рациональных, поэтому многие вопросы теории чисел, особенно связанные с разложением чисел на «более элементарные числа», здесь больше не имеют смысла. Поэтому в теории чисел особенно интересуют тела, которые намного больше похожи на тела рациональных чисел, чем на действительные числа. Можно сложить отдельные нерациональные числа и построить из них новое тело, образуя все возможные суммы, произведения и частные. Например, набор , состоящий из всех чисел вида с рациональными числами , снова является полем. Такое расширение рациональных чисел называется числовым полем . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle x + y {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {Q}}$

Число классов и, следовательно, точки Хегнера вступают в игру, когда речь идет о том, чтобы рассматривать целые числа как родственников рациональных чисел , поскольку последние в определенной степени возникают из них, образуя частные. Такие связанные «целые числа» также можно найти с числовыми полями, но они больше не просто должны быть, они могут содержать другие элементы. Целые числа в теле будут примерно ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$

${\ displaystyle 2, \ quad 3, \ quad 1 + {\ sqrt {2}}, \ quad 3-2 {\ sqrt {2}}}$

в отличие от общих элементов тела, таких как

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}, \ quad {\ tfrac {3} {7}}, \ quad {\ tfrac {2} {11}} - {\ tfrac {5} {8}} {\ sqrt {2}}, \ quad - {\ tfrac {11} {89}} {\ sqrt {2}}.}$

В случае типов обобщенных целых чисел также можно проверить, существует ли однозначное разложение на «простые числа» (кроме таких элементов, как простые знаки и, конечно же, последовательность). В этом , как известно, в случае, например , с простыми числами и , и нет никаких других вариантов декомпозиции, для изменения знака и порядка , таких как , за исключением . Так что с точки зрения теории чисел это до некоторой степени «безобидно» - существует только один класс возможностей декомпозиции. Однако в случае произвольных числовых полей может случиться так, что их целые числа больше не могут быть четко разложены на «простые числа» (чаще называемые простыми элементами ). Пример отсутствия уникальности: ${\ displaystyle \ pm 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle -50 = -2 \ cdot 5 \ cdot 5}$ ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 5}$${\ Displaystyle 5 \ cdot (-2) \ cdot 5}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle 10 = 2 \ cdot 5 = (4 + {\ sqrt {6}}) \ cdot (4 - {\ sqrt {6}})}$

с четырьмя простыми элементами в целых числах . Для последнего преобразования, разность между двумя квадратами могут быть записаны, которые затем могут быть учтены в продукте от суммы и разности двух оснований и . Теперь можно измерить, насколько ситуация отклоняется от «идеального случая» явной разложимости. Эта ошибка называется номером класса числового поля и представляет собой натуральное число. Например, поле рациональных чисел имеет номер класса 1.${\ displaystyle 2,5,4 \ pm {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {6}})}$${\ displaystyle 10}$ ${\ displaystyle 16-6 = 4 ^ {2} - {\ sqrt {6}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle {\ sqrt {6}}}$

Определение номера класса числового поля, как правило, является очень сложным делом, и по сей день в этой области существует множество нерешенных проблем. Точки Хегнера могут (косвенно) использоваться для определения номера класса некоторых тел. Например, можно показать, что единственные поля квадратных чисел с мнимыми числами, в которых имеется однозначное разложение на простые элементы, - это в точности поля

${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-1}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-2}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {- 3}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-7}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-11}}), \, \ mathbb {Q} ({ \ sqrt {-19}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-43}}), \, \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-67}}), \, \ mathbb { Q} ({\ sqrt {-163}})}$

находятся.

Явный пример процедуры построения рациональной точки

Если кто-то хочет попытаться найти нетривиальную рациональную точку на эллиптической кривой над рациональными числами с помощью точек Хегнера, отправной точкой является уравнение кривой. Для рациональности генерируемой точки важно, чтобы все точки Хегнера уровня и определенный дискриминант перетекали в модульную кривую. Эквивалентность в отношении инволюций уже учтена, что означает, что точки (номер класса) всегда упаковываются в алгоритм. Пример проиллюстрирован ${\ displaystyle h (D)}$

${\ displaystyle E \ двоеточие y ^ {2} = x ^ {3} -157 ^ {2} x}$

выбрал. Первый шаг - определить уровень этой кривой. Это положительное целое число, которое впоследствии определяет, какие точки Хегнера можно рассматривать для построения, а именно те, которые находятся на том же уровне, что и кривая. Уровень эллиптической кривой дает уникальный номер, так что параметризация, упомянутая Уайлсом, существует от кривой модуля до кривой . Его можно вычислить из коэффициентов алгебраического уравнения с использованием алгоритма Джона Т. Тейта . В случае , один получает . Теперь вам нужно пройти систематическое сопоставление дискриминантов для уровня , которые вставляются в формулу Гросса и Загьера, чтобы численно проверить, выпадает ли каноническая высота более поздней рациональной точки или нет. Например, формула результата очень близка, поэтому наиболее вероятно, что результатом является тривиальная точка кручения. Однако при не выходит, поэтому этот дискриминант можно выбрать. Теперь ищем точки уровня Хегнера и дискриминанты . Число классов равно 4, поэтому теоретически необходимы 4 точки Хегнера, которые не эквивалентны друг другу, но алгоритм может применить это к 2 точкам. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N) \ longrightarrow E}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} -157 ^ {2} x}$${\ Displaystyle N = 32 \ cdot 157 ^ {2} = 788 \, 768}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle D = -31}$${\ displaystyle D = -39}$${\ Displaystyle N = 788 \, 768}$${\ displaystyle D = -39}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-39}})}$

${\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ frac {-1 \, 275 \, 547 + i {\ sqrt {39}}} {1 \, 577 \, 536}}}$

а также

${\ displaystyle \ tau _ {2} = {\ frac {-1 \, 275 \, 547 + i {\ sqrt {39}}} {3 \, 155 \, 072}}}$

уменьшить. Это вычислительный трюк, использующий симметрии между двумя рассматриваемыми точками. Они решают квадратные уравнения и . Для дальнейших расчетов форма соответствующего модуля должна быть достаточно хорошо определена численно. Затем точки и вставляются в параметризации, и все преобразуется в форму, как если бы были вставлены все 4 неэквивалентные точки. Результат теперь является частью сетки периодов для эллиптической кривой, но его можно перенести на фактическую кривую с помощью. Рациональная точка, построенная по этим точкам Хегнера, наконец, оказывается${\ displaystyle 788 \, 768 \ tau _ {1} ^ {2} +1 \, 275 \, 547 \ tau _ {1} +515 \, 684 = 0}$${\ Displaystyle 1 \, 577 \, 536 \ тау _ {2} ^ {2} +1 \, 275 \, 547 \ тау _ {2} +257 \, 842 = 0}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ Displaystyle \ тау _ {1}}$${\ displaystyle \ tau _ {2}}$${\ Displaystyle г \ mapsto (\ wp (z), \ wp '(z))}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {95732359354501581258364453} {277487787329244632169121}}, {\ frac {834062764128948944072857085701103222940} {146172545791721526568155} .381960$

Согласно Таннеллам в теорему, это рациональная точка доказывает , что есть прямоугольный треугольник , который имеет только рациональные длины сторон и площадь . У заданного прямоугольного треугольника, рассчитанного Доном Загиером , длины сторон ( катет , гипотенуза ):${\ displaystyle d = 157}$ ${\ displaystyle 157}$${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle a = {\ frac {411340519227716149383203} {21666555693714761309610}}}$, и${\ displaystyle b = {\ frac {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}$${\ displaystyle c = {\ frac {224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}}.}$

история

Алгебра Вебера

Краеугольный камень теории точки Хегнера был заложен в Heinrich Weber «s учебник по алгебре еще в 1908 году . В этой статье Вебер подробно остановился на j-функции и ее связи с теорией полей классов . Он считается первооткрывателем теории комплексного умножения. Комплексное умножение относится к эллиптическим кривым, на которых точки могут быть не только умножены на целые числа, например , но где также есть умножение на определенные мнимые числа, то есть примерное . Теория комплексного умножения, разработанная Weber дает информацию о теле , в котором живет , если это идеал данного комплексного квадратного кольца. Например, Вебер доказал тождество ${\ Displaystyle P \ mapsto P + P + P}$${\ Displaystyle P \ mapsto iP}$${\ displaystyle j (A)}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle j \ left ({\ sqrt {-14}} \ right) = 2 ^ {3} \ left (323 + 228 {\ sqrt {2}} + (231 + 161 {\ sqrt {2}}) {\ sqrt {2 {\ sqrt {2}} - 1}} \ right) ^ {3}}$

в контексте этого из сгенерированных расширений тела. В то время как входом является точка Хегнера (здесь в обозначениях ), правая часть представляет собой алгебраическое число в виде конкатенации корневых выражений и целых чисел , то есть решает алгебраическое уравнение . Если вы добавите это число к квадратному числовому полю, принадлежащему дискриминанту точки Хегнера , результатом будет абелево расширение числового поля . Вебер следовал этой программе в более общем плане, чем просто полная группа модулей, и позже Хегнер снова подхватил ее.${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i {\ sqrt {14}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {-14}}}$ ${\ displaystyle K (j ({\ sqrt {-14}}))}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-14}})}$

Однако теория модульных функций резко вышла из моды. Эрих Хекке и Роберт Александр Ранкин внесли важный вклад, но публикации того времени показывают, что в течение полувека большинство математиков почти не знали, что теория модулярных функций когда-либо существовала.

Работа Хегнера

В 1952 году Курт Хегнер опубликовал статью в « Mathematische Zeitschrift» , в которой он затронул проблему конгруэнтных чисел и эллиптических кривых . Хегнер, успешный инженер-электрик, который также получил степень кандидата математических наук, был хорошо знаком с учебником Вебера по алгебре. Он первым дал историческое введение в конгруэнтные числа. Положительное целое число конгруэнтно, если оно встречается как площадь прямоугольного треугольника с рациональными сторонами (Хегнер назвал такие треугольники Harpedonapten -Dreieck). Затем в своем эссе он процитировал различные вещи Вебера и доказал некоторые теоремы, которые показывают, что проблема конгруэнтных чисел разрешима для некоторых семейств . Наконец, он внезапно решил классическую проблему характеристики всех полей мнимо-квадратичных чисел классом 1. К недостатку Хегнера, в 1952 году не осталось никого, кто достаточно хорошо овладел алгеброй Вебера, чтобы оценить его достижения.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$

За работой Хегнера было трудно следить, что может быть еще одной причиной, по которой в то время никто не изучал ее подробно. Также предполагалось, что его аргументы по проблеме числа классов были схематичными, и хотя его работа по конгруэнтным числам теперь признана правильной, долгое время оставалось нераскрытым, что Хегнер заложил основу для фундаментального нового метода - аналитической реализации абелевой теории. расширяет поле мнимых -квадратных чисел, аналогично случаю Кронекера-Вебера, приведенному выше . Хегнер умер в этой неопределенности.${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Разработка с 1970-х годов

Это был Брайан Берч , который систематически исследовал Хегнера точек на модулярных эллиптических кривых впервые в конце 1970 - х и начале 1980 - х годов . На основе собранных им числовых данных он определил, что так называемые высоты этих точек, по-видимому, связаны с первыми производными в центральной критической точке дзета-функции Хассе-Вейля эллиптической кривой. Работа, начатая Берчем, должна была сыграть важную роль в теории чисел в течение следующих двух десятилетий и пролить свет на такие фундаментальные вопросы, как проблема гауссовского числа классов и гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера.

Изучение точек Хегнера началось в середине 1980-х годов благодаря двум достижениям. Первый прорыв был Гросс - Загир формула, которая подтвердила наблюдение березы и выразила высоты точек Хегнера с использованием первой производной в центральной точке соответствующей серии Ранкина L. Второе произошло несколько лет спустя, когда Виктор Колывагин показал, как так называемые системы Хегнера на эллиптической кривой управляют размером и структурой своей группы Сельмера. Взятые вместе, эти два вывода приводят к полному доказательству гипотез Бёрча и Суиннертона-Дайера (в их несколько более слабой форме, которая предписывает равенство между рангом эллиптической кривой и порядком ее L-ряда в точке ) для всех модульных эллиптические кривые, у которых L-функция имеет не более одного простого нуля в точке . Этот метод дал доказательство так называемой гипотезы Шафаревича-Тейта и для этих кривых.${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle s = 1}$

Дополнительное доказательство гипотезы Шимуры-Таниямы от 1994 года показало, что результаты Гросса и Загира, а также Колывагина безоговорочно справедливы для всех эллиптических кривых над рациональными числами.

определение

Хегнер точка на верхней полуплоскости может быть определена следующим образом в соответствии с Bryan березы .${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

1. Значение представляет собой точку комплексного умножения (CM ), т.е. то есть это решение квадратного уравнения вида с целыми числами, для которого справедливо.${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle А \ тау ^ {2} + В \ тау + С = 0}$${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0}$
2. Если наибольший общий фактор  1, она определяет собой бинарную квадратичную форму . Если это также применимо , форма положительно определена . Для получения является то однозначно определяется и (целом) дискриминант из называется .${\ displaystyle A, B, C}$${\ displaystyle (A, B, C): = Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2}}$${\ displaystyle A> 0}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle (А, В, С)}$${\ Displaystyle D (\ тау): = B ^ {2} -4AC}$${\ Displaystyle \ тау}$
3. ${\ Displaystyle \ тау}$теперь называется точкой Хегнера с уровнем ${\ displaystyle N}$ (с натуральным числом ), если .${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle D (N \ тау) = D (\ тау)}$

Дискриминант имеет разбиение на множители с так называемым фундаментальным дискриминантом числового поля . Где наибольшее квадратное число, значит, это применимо. Целое число еще называют лидером точки Хегнера. Определение показывает, что точки CM и Хегнера тесно связаны друг с другом, хотя точка Хегнера всегда связана с уровнем  . Это позволяет позже определить кривую модуля . После этого изменения становится удобным рассматривать точку Хегнера как класс точек CM.${\ Displaystyle D (\ тау) = D}$${\ displaystyle D = c ^ {2} D_ {0}}$${\ displaystyle D_ {0}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle c ^ {2}}$${\ Displaystyle D / c ^ {2} \ Equiv 0.1 {\ pmod {4}}}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle X_ {0} (N) = \ Gamma _ {0} (N) \ обратная косая черта {\ overline {\ mathbb {H}}}}$

Бенедикт Гросс определен Хегнер указует разным: Является ли кривой модуль упругости, то (теоретически) каждая точка на графике два эллиптических кривых и в котором ядро изогении изоморфное , чтобы это. Причина этого в том, что модульные кривые также являются модульными пространствами, и в этом случае каждая точка соответствует изогонии между двумя эллиптическими кривыми. В частности, кривые могут (выходить ) через соотв. а изогению можно описать как ограничение идентичности между наложениями . Такая точка теперь называется точкой Хегнера Уровня , если также верно, что и комплексное умножение, и также имеют одно и то же кольцо эндоморфизмов , то есть для порядка в поле мнимо-квадратичных чисел . Это относится к тому, что также называется лидером точки Хегнера. Номер называется как бы лидером связанного ордена .${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ phi \ двоеточие E \ longrightarrow E '}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E '}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle Е (\ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C} / \ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle E '(\ mathbb {C}) \ cong \ mathbb {C} / {\ tfrac {1} {N}} \ mathbb {Z} + \ tau \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathrm {id} \ двоеточие \ mathbb {C} \ longrightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E '}$${\ Displaystyle \ mathrm {End} (E) = \ mathrm {End} (E ') = {\ mathcal {O}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ mathbb {Z} + с {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

В некоторых приложениях, например, с Анри Дармоном, точки Хегнера также связаны с точками, которые возникают на эллиптических кривых после применения параметризации к точкам (Хегнера) (см. Ниже). Это обозначение в основном используется, когда свойства точек Хегнера используются как вывод для свойств эллиптической кривой, например, в контексте систем Хегнера.${\ Displaystyle \ тау}$

Основные свойства

Свойства инвариантности

Уровень точки Хегнера не обязательно должен быть уникальным. Например, все очки Heegner имеют уровень 1, поскольку очевидно, что они применяются всегда . Интересны случаи более высокого уровня. Например, вы можете указать простые методы для построения любого количества новых точек Хегнера с уровнями,  начиная с точки Хегнера с уровнем  . Сначала следует заметить, что дискриминант, определенный выше , не изменяется при унимодулярном преобразовании . Это означает: если , то есть, целочисленная матрица с определителем, равным 1 (полная группа модулей работает на верхнем полууровне посредством преобразования Мёбиуса ), то ${\ Displaystyle D (1 \ cdot \ тау) = D (\ тау)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ textstyle \ gamma = \ left ({\ begin {smallmatrix} a & b \\ c & d \ end {smallmatrix}} \ right) \ in \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z })}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$

${\ displaystyle D (\ gamma (\ tau)) = D \ left ({\ frac {a \ tau + b} {c \ tau + d}} \ right) = D (\ tau).}$

Итак, если есть точка Хегнера с уровнем 1, существует также точка Хегнера с уровнем 1. Для более высоких уровней можно использовать аналогичный, но более избирательный подход. Поскольку поддержание свойства уровня N становится все более и более «трудным» с увеличением значений  , только определенные матрицы могут поддерживать это свойство стабильным. Все матрицы из подгруппы конгруэнтности удовлетворяют этому условию, поэтому следует предполагать только это свойство . Так что, если есть точка Хегнера с уровнем  и матрицей, то есть снова точка Хегнера с уровнем  , и оба и имеет один и тот же дискриминант.${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ гамма (\ тау)}$${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle N | c}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ гамма (\ тау)}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ гамма (\ тау)}$

Свойство сохранения как дискриминантов, так и уровней точки Хегнера с уровнем  при преобразованиях имеет важнейшее значение для теории чисел. Это позволяет определить концепцию точки Хегнера (с уровнем  ) на кривой модуля , поскольку все критические характеристики каждого элемента в классе остаются неизменными. Посредством преобразования Мёбиуса группа действует на верхней полуплоскости плюс так называемые пики , то есть фактор - это множество всех классов точек, которые эквивалентны по операции. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle X_ {0} (N) = \ Gamma _ {0} (N) \ обратная косая черта {\ overline {\ mathbb {H}}}}$${\ Displaystyle [\ тау]}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ чашка \ {я \ infty \}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H}}}: = \ mathbb {H} \ cup \ mathbb {Q} \ cup \ {я \ infty \}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {0} (N) \ обратная косая черта {\ overline {\ mathbb {H}}}}$

Существование и гипотеза Хегнера

Неясно, существует ли точка Хегнера для данного уровня и лидера . Чтобы гарантировать существование, должна быть выполнена так называемая гипотеза Хегнера : это предположение соответствующего порядка . Он говорит, что существует такой идеал , что ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {п}} \ substeq {\ mathcal {O}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {n}} \ cong \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}.}$

Это изоморфизм групп . Это можно интерпретировать следующим образом: идеал можно выбрать так, чтобы он находился в группе нарушенных идеалов , где точка Хегнера соответствует изогении . И наоборот, изогения имеет ядро, изоморфное . Таким образом, можно показать, что гипотеза Хегнера достаточна и необходима для существования точек Хегнера.${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} / {\ mathfrak {a}} \ rightarrow \ mathbb {C} / {\ mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} / {\ mathfrak {a}} \ rightarrow \ mathbb {C} / {\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {n}} ^ {- 1}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / N \ mathbb {Z}}$

Лидеры по очкам Хегнера

Помимо уровня , который относится к выбору модульной кривой , точки Хегнера, согласно их определению, имеют еще один параметр, так называемый лидер. Это часто называют (от английского дирижер ). Его важность заключается в построении так называемых полей классов колец , определенных абелевых расширений мнимо-квадратного основного тела . Они обладают тем свойством, что точка, построенная отдельной точкой Хегнера, изначально определяется на соответствующей эллиптической кривой через . Более подробная информация представлена ​​в разделе этой статьи, посвященном теории полей классов. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle H_ {c}}$

В некоторых приложениях точек Хегнера важно рассматривать целые (бесконечные) системы точек Хегнера на одном уровне, так называемые системы Хегнера. Очки помечаются значком или, в качестве альтернативы , обозначаются и выполняются их лидеры . Системы Хегнера существуют только при определенных условиях. Более подробную информацию можно найти в этой статье в разделе «Системы Heegner» . ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ тау _ {п}}$${\ displaystyle (P_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (п, N) = 1}$

Особый интерес представляет случай, когда выбранный дискриминант является даже фундаментальным дискриминантом . Присоединенное кольцо класса поле , то поле классов Гильберта из , то есть, его максимально неразветвленные абелево расширение. ${\ displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

характеристика

В дополнение к данному определению квадратично иррациональные точки Хегнера можно охарактеризовать с помощью элементарной теории чисел. Если квадратная иррациональная точка CM верхней полуплоскости с соответствующей двоичной квадратной формой , то это точка Хегнера с уровнем,  если и .${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle (А, В, С)}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N | A}$${\ Displaystyle \ OperatorName {ggT} (A / N, B, CN) = 1}$

Из этой характеристики можно сделать вывод, что если точка Хегнера имеет уровень  и дискриминант, то существует  также точка Хегнера с уровнем  и дискриминантом  . Оператор также известен как инволюция Фрике .${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle D (\ тау)}$${\ displaystyle \ textstyle - {\ frac {1} {N \ tau}}}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle D (\ тау)}$${\ displaystyle \ textstyle \ tau \ mapsto - {\ frac {1} {N \ tau}}}$

Если уровень и дискриминанты (с необходимыми свойствами) зафиксированы, на кривой есть точки Хегнера . Здесь говорится о количестве различных простых множителей . Точки переставляются из на операцию группы , группа из различной инволюции , обозначающая дальше.${\ displaystyle N}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle 2 ^ {s} \ cdot ч (D)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle W \ times \ mathrm {Gal} (H / K)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$

Практическое использование

Расчет Пи

Природно-number- типа Хегнер точки могут помочь найти серию , которые сходятся к круговым числу очень быстро , так как братья Дэвид и Грегори Чудновский нашли. Для алгоритма Чудновского, названного в их честь, они также использовали тот факт, что значение для этих чисел является максимально целым числом, поэтому сходимость достигается максимально быстро. Благодаря быстрой сходимости, то есть сильному приближению ряда после нескольких его членов к числу , можно производить вычисления с заданной точностью за сравнительно небольшое количество шагов. ${\ Displaystyle \ тау = {\ tfrac {1 + я {\ sqrt {n}}} {2}}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle j \ left ({\ tfrac {1 + i {\ sqrt {163}}} {2}} \ right)}$${\ Displaystyle \ тау = {\ tfrac {1 + я {\ sqrt {163}}} {2}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ pi}$

Криптография

Точки Хегнера играют важную роль в области фундаментальных исследований эллиптических кривых (особенно с так называемым комплексным умножением ). Эллиптические кривые используются в контексте криптографии на основе эллиптических кривых (ECC) при шифровании сообщений. Используется неэффективность вычисления дискретных логарифмов с помощью компьютеров, что очень затрудняет взлом криптосистемы.

Если точки Хегнера порождают рациональные точки бесконечного порядка, гарантируется, что относительно большое количество рациональных точек будет лежать на рассматриваемой эллиптической кривой. Из-за гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера существует (предположительно) тесная связь между глобальным и локальным случаем, то есть количество точек эллиптических кривых над рациональными числами и так называемыми конечными полями с большим количеством точек в глобальном случае количество точек в локальных случаях имеет тенденцию к увеличению. Это следует из формулы, устанавливающей «локально-глобальный принцип»: если эллиптическая кривая определяется рациональными числами, простым числом и количеством точек на кривой, подлежащих уменьшению , то должно применяться следующее: ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle N_ {p}}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {F} _ {p})}$

${\ displaystyle \ prod _ {p <M} {\ frac {N_ {p}} {p}} \ sim C_ {E} \ log (M) ^ {r}, \ qquad M \ to \ infty,}$

с константой и рангом эллиптической кривой ; обозначает конечное тело с элементами. Формула выражает асимптотическую эквивалентность , поэтому частное обеих сторон стремится к противоположному, если натуральное число увеличивается бесконечно. Численные расчеты подтверждают это бездоказательное утверждение. Большое количество точек в локальном случае, наконец, дает большой выбор возможностей для зашифрованных текстов и делает атаку методом грубой силы для расшифровки сообщений очень трудоемкой. Следовательно, эллиптические кривые с этим свойством являются хорошими кандидатами для методов шифрования.${\ displaystyle C_ {E}> 0}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle M}$

В 2003 году Дэвид Кохель разработал алгоритм, который использует точки Хегнера на модульных кривых для подсчета количества точек на эллиптических кривых над конечными телами. Для этого - адические подъемы (это объекты, которые отправляются из изображения «объекта, лежащего над кривой модуля» в кривую модуля к точкам Хегнера) этих точек Хегнера, где - малое простое число. Для реализации криптосистем над эллиптическими кривыми большое значение имеют алгоритмы, подсчитывающие количество точек на эллиптических кривых (над конечными полями). Кохель также сделал явные заявления по поводу этих случаев .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = 2,3,5,7,13}$

Значение для теории чисел

Аналитические приложения

Прямым следствием формулы Гросса и Загьера (см. Ниже) является распознавание первого (и единственного в настоящее время) класса L-функций , порядок которых можно продемонстрировать при . Эти примеры возникают из нахождения эллиптических кривых  над , L-функция которых обращается в нуль в нечетном порядке из-за знака в их функциональном уравнении, и чья ассоциированная точка Хегнера имеет конечный порядок, так что это так. Существование такой L-функции дает эффективные нижние оценки роста числа классов мнимо-квадратичных полей. До работы Дориана Голдфельда такие барьеры были известны только из-за возможного существования нулевых пломб (неэффективных). Эффективное решение Гольдфельда проблемы числа классов Гаусса было одним из первых приложений формулы Гросса и Загьера.${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle \ geq 3}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle L (E / \ mathbb {Q}, s)}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle L '(Е / \ mathbb {Q}, 1) = 0}$

Решения диофантовых уравнений и проблемы Сильвестра

С помощью теории точек Хегнера можно опровергнуть гипотезы о некоторых диофантовых уравнениях . Помимо прочего, это относится к уравнениям типа

${\ displaystyle E_ {n} \ двоеточие x ^ {3} + y ^ {3} = n.}$

Одна задача, названная в честь Сильвестра, спрашивает, какие простые числа можно записать как сумму двух рациональных кубов. Итак, он спрашивает о структуре . Например, это ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle E_ {p} (\ mathbb {Q})}$

${\ Displaystyle 7 = 2 ^ {3} + (- 1) ^ {3},}$

${\ displaystyle 13 = \ left ({\ frac {7} {3}} \ right) ^ {3} + \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) ^ {3},}$

${\ displaystyle 31 = \ left ({\ frac {137} {42}} \ right) ^ {3} + \ left (- {\ frac {65} {42}} \ right) ^ {3}.}$

В этих случаях всегда можно построить нетривиальные решения с помощью точек Хегнера . Это использует тот факт, что группа Морделла-Вейля всегда не имеет кручения в случае возникновения проблемы. До сих пор неопубликованное доказательство этого метода исходит от Ноама Элкиса в 1994 году. Элкис даже смог это доказать.${\ Displaystyle p \ Equiv 4,7 {\ pmod {9}}}$${\ Displaystyle E_ {p} (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle p> 2}$${\ Displaystyle | E_ {p ^ {2}} (\ mathbb {Q}) | = \ infty}$

Приложение к эллиптическим кривым и теории полей классов

подготовка

Эллиптические кривые

Эллиптические кривые над (алгебраически замкнуто) телами являются гладкими проективными кривыми от пола  1 с групповой структурой и с отмеченной -рациональной точкой , которая является нейтральным элементом группы. Такую кривую всегда можно использовать как «нормированное» аффинное уравнение для полей с характеристиками, отличными от 2 и 3. ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}$

быть написано с помощью и .${\ displaystyle a, b \ in K}$${\ displaystyle D_ {E}: = - 2 ^ {4} (4a ^ {3} + 27b ^ {2}) \ neq 0}$

Каждая эллиптическая кривая  над уровнем  может быть назначен L-функцию , которая, в качестве аналитического объекта, кодирует все арифметические свойства. Это имеет представление в виде произведения Эйлера : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle L (E, s)}$

${\ Displaystyle L (E, s) = \ prod _ {p \ mid N} (1-a_ {p} p ^ {- s}) ^ {- 1} \ prod _ {p \ not \ mid N} ( 1-a_ {p} p ^ {- s} + p ^ {1-2s}) ^ {- 1}, \ qquad \ mathrm {Re} (s)> {\ frac {3} {2}},}$

где для простых чисел с хорошей редукцией даны и обозначают множество решений по модулю . Аналогичное определение выбрано для простых чисел с плохой редукцией . Если коэффициенты кривой не являются целыми числами, сначала необходимо выполнить элементарное преобразование с использованием проективных координат. L-функции также могут быть определены для случая эллиптических кривых над любыми числовыми полями . При доказательстве теоремы модульности, Эндрю Уайлс и другие , удалось подтвердить утверждение , что целая функция может быть продолжена и функциональное уравнение достаточно: в самом деле, это соответствует в модульной форме веса 2, уровень которого совпадает к лидеру эллиптической кривой. В частности, существует так называемая собственная форма Гекке относительно подгруппы сравнения . Взаимосвязь между классическим преобразованием Меллина и через него приводит к формуле : ${\ displaystyle a_ {p}}$${\ displaystyle p + 1 - \ # E (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle (х, у) \ в \ mathbb {F} _ {p} ^ {2}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle E / K}$ ${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle L (E, s)}$${\ Displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$

${\ Displaystyle \ Lambda (E, s): = (2 \ pi) ^ {- s} N ^ {s / 2} \ Gamma (s) L (E, s) = N ^ {s / 2} \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {E} (it) t ^ {s-1} \ mathrm {d} t.}$

Тогда функциональное уравнение выглядит следующим образом:

${\ Displaystyle \ Lambda (E, 2-s) = \ OperatorName {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ Lambda (E, s),}$

где знак играет важную роль в арифметике . Например, при четном / нечетном порядке in исчезает, если значение или принимает значение .${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ in \ {\ pm 1 \}}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle \ Lambda (E, s)}$${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (E, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle +1}$${\ displaystyle -1}$

Обозначения для точек Хегнера над идеальными классами

Это принципиально дискриминантное поле мнимо-квадратичных чисел. Таким образом, у него есть кольцо целостности , с которым следует обращаться. Он состоит из всех элементов, которые являются решением монического многочлена с целыми коэффициентами, то есть они удовлетворяют для любого . ${\ displaystyle D <0}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle x \ in K}$${\ displaystyle x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {0} = 0}$${\ displaystyle a_ {n-1}, \ dotsc, a_ {0} \ in \ mathbb {Z}}$

Очень важный результат теории алгебраических чисел теперь состоит в том, что множество сломанных идеалов , все конечно порожденные - модули , представляют собой группу относительно умножения. Эта группа, конечно, будет бесконечно большой. Однако, если отождествить два сломанных идеала друг с другом, если они отличаются только одним главным идеалом как фактором (в случае сломанных идеалов это в точности все идеалы , так что с одним и одним главным идеалом ), и взглянем на результирующая группа классов, так что это конечно. Количество элементов в группе классов в этом случае также называется номером класса тела и часто обозначается как. Описанные до сих пор результаты применимы не только к квадратным полям , но в целом ко всем числовым полям . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ displaystyle 0 \ neq {\ mathfrak {a}} \ substeq K}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} = с {\ mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle с \ в К ^ {\ раз}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {b}} \ substeq {\ mathcal {O}} _ {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} (К)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle h_ {K}}$

В дальнейшем под идеалом всегда подразумевается сломанный идеал. В других случаях прямо заявлен весь идеал. Чтобы понять связь между точками Хегнера и полями квадратичных чисел, необходимо последовательно продумать следующие вещи.

1. В случае мнимо-квадратичных числовых полей с фундаментальными  дискриминантами , в дополнение к вышесказанному, применяется утверждение, что группа классов равна множеству классов двоичных квадратичных форм с дискриминантом . Коррепонденц 1: 1 между двумя суммами задается следующим образом: с одной стороны, идеал, он приписывает эту двоичную квадратичную форму с ${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} (К)}$${\ displaystyle (A, B, C) = Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2}}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} = \ mathbb {Z} \ альфа + \ mathbb {Z} \ beta}$${\ Displaystyle (А, В, С)}$

${\ displaystyle A = {\ frac {\ alpha {\ overline {\ alpha}}} {{\ varvec {N}} ({\ mathfrak {a}})}}, \ qquad B = {\ frac {\ alpha {\ overline {\ beta}} + {\ overline {\ alpha}} \ beta} {{\ boldsymbol {N}} ({\ mathfrak {a}})}}, \ qquad C = {\ frac {\ beta {\ overline {\ beta}}} {{\ boldsymbol {N}} ({\ mathfrak {a}})}}.}.$

В этом случае, именуемым эталоном идеала , определяется идеал в целом по количеству элементов частного . Для любых идеалов его можно вычислить мультипликативным продолжением, поскольку для всех идеалов существует однозначное разложение на простые идеалы . Если, с другой стороны, дана двоичная квадратная форма , то соответствующий идеал используется для построения. Можно фундаментально подсчитать, что это на самом деле четко определенная биекция.${\ displaystyle {\ boldsymbol {N}} ({\ mathfrak {a}})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K} / {\ mathfrak {a}}}$${\ Displaystyle (А, В, С)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = \ mathbb {Z} + \ mathbb {Z} {\ tfrac {b + {\ sqrt {D}}} {2a}}}$

2. Снова существует соответствие 1: 1 между классами (относительно ) точек Хегнера с дискриминантами , уровнями  и парами , причем ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle (\ бета, [{\ mathfrak {а}}])}$

• Ценности , так что для каждого он придерживается этого ,${\ Displaystyle \ бета \ в \ mathbb {Z} / 2N \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle б \ экв \ бета {\ pmod {2}} N}$${\ Displaystyle Ь ^ {2} \ эквив D {\ pmod {4}} N}$
• Идеальные занятия .${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}]}$

С одной стороны, есть положительно определенный бинарный квадрат с и (обратите внимание, что там ). Точка соответствует Хегнеру к этим данным. Следует отметить , что если унимодулярное преобразование с раствором соответствующей формы затем также , но также выполнено, так что назначение классов точек хорошо определенно. Если, с другой стороны, дан соответствующий класс точек Хегнера  , то два представителя являются решениями таких форм , что и . Ставишь и . Выбор представителя не играет роли в выборе идеала представителя, поскольку с и взаимно простыми или${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}]}$${\ Displaystyle (А, В, С)}$${\ displaystyle N | A}$${\ Displaystyle B \ Equiv \ beta {\ pmod {2}} N}$${\ Displaystyle D = B ^ {2} -4AC \ Equiv B ^ {2} {\ pmod {4}} N}$${\ displaystyle 4N | 4AC}$${\ displaystyle \ tau = {\ tfrac {-B + {\ sqrt {D}}} {2A}}.}$${\ Displaystyle \ тау '= {\ tfrac {а \ тау + Ь} {с \ тау + d}}}$${\ displaystyle c | N}$${\ Displaystyle (А ', В', С ')}$${\ displaystyle N | A '}$${\ Displaystyle B '\ Equiv B {\ pmod {2}} N}$${\ Displaystyle [\ тау]}$${\ Displaystyle \ тау _ {1}, \ тау _ {2} \ ин [\ тау]}$${\ displaystyle (A_ {1}, B_ {1}, C_ {1}), (A_ {2}, B_ {2}, C_ {2})}$${\ displaystyle N | A_ {1}, A_ {2}}$${\ Displaystyle B_ {1} \ Equiv B_ {2} {\ pmod {2}} N}$${\ Displaystyle \ бета = B_ {1} {\ bmod {2}} N}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} = \ mathbb {Z} + \ tau _ {1} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ tau _ {1} = {\ tfrac {a \ tau _ {2} + b} {c \ tau _ {2} + d}}}$${\ displaystyle a, c}$${\ displaystyle b, d}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} + \ tau _ {1} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} + {\ frac {a \ tau _ {2} + b} {c \ tau _ {2} + d}} \ mathbb {Z} \ sim (c \ tau _ {2} + d) \ mathbb {Z} + (a \ tau _ {2} + b) \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} + \ тау _ {2} \ mathbb {Z}}$

предполагается.

Закон комплексного умножения

Среди прочего, точки Хегнера представляют интерес для построения определенных точек на эллиптических кривых. Это использует тот факт, что есть параметризация

${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие X_ {0} (N) \ longrightarrow E (\ mathbb {C})}$

от кривой модуля к эллиптической кривой (с направляющей  ). В отличие от (очень простой) параметризации с помощью функции Вейерштрасса ℘, она обладает свойством быть не только голоморфным отображением между компактными римановыми поверхностями, но также морфизмом между кривыми над рациональными числами. Таким образом, если точки переносятся из в определенное тело расширения , тогда они даже внутри , то есть они снова определяются поверх. Однако теперь точки Хегнера с уровнем находятся как  раз в области кривой модуля , поэтому представляет интерес изучить соответствующие пиксели на кривой  . Основная теорема комплексного умножения теперь утверждает алгебраическую природу этих пикселей  . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle H / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle E (H)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ varphi (\ тау)}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle \ varphi (\ тау)}$

Модульная параметризация эллиптической кривой

Чтобы сформулировать основную теорему комплексного умножения и понять ее следствия, необходимо знать модульную параметризацию эллиптической кривой. Для эллиптической кривой  существует модульная форма веса 2 относительно подгруппы конгруэнции . Модулярная форма - это, грубо говоря, голоморфная функция на верхней полуплоскости, которая может быть голоморфно продолжена на вершины и обладает свойствами инвариантности относительно действия подгруппы сравнения над ее аргументами. Это даже так называемая форма наконечника, что означает, что он исчезает во всех наконечниках . Таким образом, он получил развитие в виде ряда Фурье: ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ чашка \ {я \ infty \}}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ чашка \ {я \ infty \}}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle f_ {E} (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {2 \ pi iz}}$

Пусть это будет считать , что все коэффициенты из целых чисел - они соответствуют коэффициентам L-серии . С чисто комплексно-аналитической точки зрения существует голоморфная дифференциальная форма на компактной римановой поверхности и ее интеграл по кривой ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle f_ {E}}$${\ Displaystyle L (E, s)}$${\ displaystyle f_ {E} (z) \ mathrm {d} z}$ ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$

${\ Displaystyle \ фи (\ тау): = 2 \ пи я \ int _ {я \ infty} ^ {\ тау} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z}$

не зависит от выбора пути интеграции между и . Для всех значений он может явно через ${\ displaystyle i \ infty}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ phi (\ tau) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n}} q ^ {n}}$

для расчета. В модульной форме веса 2 , преобразование формула выполняется${\ Displaystyle д: = е ^ {2 \ пи я \ тау}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle f_ {E} (z)}$

${\ displaystyle f_ {E} \ left (\ gamma (z) \ right) = (cz + d) ^ {2} f_ {E} (z), \ qquad \ gamma = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in \ Gamma _ {0} (N).}$

Из этого свойства можно вывести свойство периода интеграла с помощью подстановки :

${\ Displaystyle 2 \ pi я \ int _ {я \ infty} ^ {\ gamma (\ tau)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ int _ {я \ infty} ^ {\ gamma (i \ infty)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z + 2 \ pi i \ int _ {\ gamma (i \ infty)} ^ {\ gamma (\ tau)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ gamma (i \ infty)} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z + 2 \ pi i \ int _ {i \ infty} ^ {\ tau} f_ {E} (z) \ mathrm {d} z}$

Первый интеграл в правой части всегда лежит в сетке (это нетривиально, но может быть показано с помощью операторов Гекке ). Это индуцирует голоморфное отображение ${\ displaystyle \ Lambda _ {f}}$

${\ displaystyle \ phi \ двоеточие X_ {0} (N) \ longrightarrow \ mathbb {C} / \ Lambda _ {f}}$

и с помощью связанной -функции Вейерштрасса получается простой конкатенацией${\ displaystyle \ Lambda _ {f}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие X_ {0} (N) \, \, {\ overset {\ phi} {\ longrightarrow}} \, \, \ mathbb {C} / \ Lambda _ {f} \, \, {\ overset {(\ wp, \ wp ')} {\ longrightarrow}} \, \, E (\ mathbb {C})}$.

Однако при такой оценке теоретически может возникнуть нетривиальная константа, так называемая константа Манина . Предполагается, что это всегда так , но это не может быть продемонстрировано в целом. Однако это предположение верно для случая, когда нет квадратов. В общем, термин ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c = 1}$${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle \ фи (\ тау) = с \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {а_ {п}} {п}} д ^ {п}}$

рассчитываться.

Поле классов Гильберта и поле классов колец

При изучении точек изображения точки Хегнера с помощью проводника также появляются так называемые тела класса Гильберта. Учитывая поле мнимого квадратичного числа , можно показать , что конечная абелева расширения из существует с тем свойством , что группа Галуа является канонический изоморфно группой классов . Соответствующий рисунок иногда называют (в честь Эмиля Артина ), то есть ${\ Displaystyle \ varphi (\ тау)}$${\ displaystyle c = 1}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (H / K)}$${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} (К)}$${\ displaystyle \ mathrm {Art}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Art} \ двоеточие \ mathrm {Cl} (K) \, \, {\ overset {\ sim} {\ longrightarrow}} \, \, \ mathrm {Gal} (H / K).}$

Каждый идеал становится главным идеалом . Можно показать, что если - воображаемое квадратное тело и эллиптическая кривая с , то тело равно полю класса Гильберта . Здесь обозначает j-инвариант . Таким образом, если точка Хегнера с дискриминантом равна фундаментальному дискриминанту , то является источником более . Влияние группы Галуа на ценность является предметом так называемой взаимности Шимура.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle К / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathrm {Конец} (E) \ cong {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle Н = К (J (E))}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle j (E)}$${\ displaystyle E}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle J (\ тау)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle J (\ тау)}$

Результаты могут быть обобщены на точки Хегнера с помощью направляющих . Для этого необходимо соответствующим образом обобщить теорию поля классов Гильберта на поля классов колец. Однако среди прочего возникают препятствия. с понятием группы классов квадратичного порядка. Их можно обойти, рассматривая только подходящие (собственные) идеалы, например, при формировании общей группы классов . Это те, для кого равенство ${\ displaystyle c> 1}$${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} ({\ mathcal {O}})}$

${\ displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {\ beta \ in K \ mid \ beta {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathfrak {a}} \}}$

применимо. Поле классов колец zu является однозначно определенным абелевым расширением того, что все первичные идеалы в , которые разветвлены, уже разделяют, и что изоморфизм Артина также применим. Для каждого подходящего идеала в заказе существует четко определенный , так что ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} ({\ mathcal {O}}) \ cong \ mathrm {Gal} (H_ {c} / K)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {а}}}$

${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathfrak {a}} (j ({\ mathfrak {b}})) = j ({\ overline {\ mathfrak {a}}} {\ mathfrak {b}})}$

выполняется для каждого подходящего идеала и обозначает идеал , чтобы быть конъюгированный. Это соотношение в конечном итоге диктует изоморфизм, предсказываемый теорией поля классов . Если существует точка Хегнера с соответствующим квадратичным порядком , то есть .${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ mathfrak {а}}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}} \ mapsto \ sigma _ {\ mathfrak {а}}}$${\ Displaystyle \ mathrm {Cl} ({\ mathcal {O}}) \ cong \ mathrm {Gal} (H_ {c} / K)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle Н_ {с} = К (J (\ тау))}$

Если эллиптическая кривая вообще имеет комплексное умножение, значение является целым алгебраическим числом. Как следствие, j-инвариант для точек Хегнера полностью алгебраичен. Используя j-инвариант, примененный к точкам Хегнера в виде ${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle j (E)}$

${\ displaystyle j \ left ({\ sqrt {D}} \ right) \ qquad {\ text {and}} \ qquad j \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {D}}} {2}} \ Правильно),}$

можно показать, что существует ровно 9 различных отрицательных чисел без квадратов , так что номер класса равен  1. Доказательство проводится по Дэвиду А. Кокс также использует некоторые функции модуля, восходящие к Heinrich Weber.${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$

Формулировка основного положения и применение к точкам Хегнера

Является ли точка Хегнера фундаментальному дискриминанта , который имеет дело с парой может быть идентифицирован, то можно с классом полем Гильберта  о  сказать следующее: Он всегда (картина , таким образом , точка , координаты которой  , следовательно, в частности , алгебраическая числа). Также действуют правила расчета: ${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle (\ бета, [{\ mathfrak {а}}])}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle \ varphi (\ тау) \ в Е (Н)}$${\ Displaystyle \ varphi (\ тау)}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle H}$

• Для всех правда${\ Displaystyle [{\ mathfrak {b}}] \ in \ mathrm {Cl} (K)}$${\ displaystyle \ varphi ((\ beta, [{\ mathfrak {a}}])) ^ {\ mathrm {Art} ([{\ mathfrak {b}}])} = \ varphi ((\ beta, [{ \ mathfrak {a}} {\ mathfrak {b}} ^ {- 1}])).}$
• С инволюцией Фрике применяется , где и${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ varphi (W (\ beta, [{\ mathfrak {a}}])) = \ varphi ((- \ beta, [{\ mathfrak {a}} {\ mathfrak {n}} ^ {- 1 }]))}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} = N \ mathbb {Z} + {\ frac {B + {\ sqrt {D}}} {2}} \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle B \ Equiv \ beta {\ pmod {2}} N.}$
• Наконец, комплексное сопряжение следует ${\ displaystyle {\ overline {\ varphi ((\ beta, [{\ mathfrak {a}}])}} = \ varphi ((- \ beta, [{\ mathfrak {a}} ^ {- 1}] )).}$

Теорема Макса Дойринга и Горо Шимуры была доказана . Это подкрепляет «чудо» комплексного умножения, поскольку обычно нельзя ожидать , что трансцендентная функция будет отображать алгебраические числа в алгебраические числа. Основную теорему можно рассматривать как обобщение принципа , согласно которому трансцендентная функция , которая, согласно формуле Эйлера, параметризует круг с радиусом 1 на вещественных аргументах, дает алгебраические значения в рациональных местах.${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle е (г) = е ^ {2 \ пи iz}}$

Первая формула основного предложения обеспечивает явные выражения для конъюгатов в группе Галуа и также известна как взаимность Шимуры. С их помощью по формуле следа вычисляется одна точка  из всех конъюгатов  : ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle \ varphi (\ тау)}$

${\ displaystyle P = \ sum _ {\ sigma \ in \ mathrm {Gal} (H / K)} \ varphi (\ tau) ^ {\ sigma} = \ sum _ {[{\ mathfrak {b}}] \ в \ mathrm {Cl} (K)} \ varphi ((\ beta, [{\ mathfrak {b}}]))}$

Эта точка остается фиксированной из-за эффекта Галуа и, следовательно, четна . В случае, когда коэффициент эллиптической кривой имеет значение , также может быть показано равенство , из которого оно должно в конечном итоге следовать. Подобная аргументация может использоваться, чтобы показать, что если это так , то точка является точкой кручения.${\ Displaystyle E (K)}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (E, \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle -1}$${\ Displaystyle \ varphi \ circ W = \ varphi}$${\ displaystyle {\ overline {P}} = P}$${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle \ mathrm {sgn} (E, \ mathbb {Q}) = 1}$${\ displaystyle P}$

Формула Гросса и Загьера

Основная теорема комплексного умножения дает метод построения точки , но остается вопрос, является ли она «тривиальной» точкой кручения. На расчеты формул трека также сложно ответить без детального знания идеальных классов . Брутто - Цагир в формуле обеспечивает, с одной стороны, критерий , который решает нашла ли точка с использованием Хегнером точек на самом деле просто точка кручения, и, с другой стороны, методами , которые упрощают алгоритмический расчет.${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle [{\ mathfrak {a}}]}$

Высоты

Решающий момент в формуле Гросса и Цагира является то , что количество ИБА указано явно вычисляемыми константами. Высота определяется согласно следующему принципу: во-первых, определяется мера того, насколько «сложным» является рациональное число (это также просто называется высотой ). Для полностью сокращенной дроби используется :${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ textstyle x = {\ frac {n} {d}}}$

${\ Displaystyle час (х): = \ макс (\ журнал | п |, \ журнал | d |)}$

Следует отметить , что сложность фракции в этом случае не зависит от к абсолютной величине от , а от размера знаменателе и числителе. Таким образом, это число из-за «очень просто», а число рядом с ним «значительно сложнее». Мера используется для определения канонической высоты точки  . Из-за алгебраической связи между и достаточно рассмотреть координату. Это устанавливает и, наконец, для канонической высоты${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle h (1) = 0}$${\ displaystyle \ textstyle x = {\ frac {999} {1000}} = 0 {,} 999}$${\ Displaystyle ч (х) \ приблизительно 6 {,} 908}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle ч ((х, у)): = ч (х)}$

${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P): = \ lim _ {k \ to \ infty} {\ frac {h (kP)} {k ^ {2}}}.}$

-Кратно сумма точки обозначает себя. Можно показать , что эта величина всегда существует и неотрицательным. Если точка кручения, то есть конечного порядка, справедлива для некоторого конечного числа слагаемых, то, очевидно, следует, что выражение является периодическим. Тот факт, что это утверждение можно перевернуть, менее очевиден: если это так , должно быть, уже была точка кручения.${\ displaystyle kP}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle P + \ dotsb + P = O}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = 0}$${\ displaystyle kP}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = 0}$${\ displaystyle P}$

Утверждение формулы Гросса и Загьера

Формула Гросса и Загира теперь дает каноническую высоту точки , полученную через точки Хегнера в соответствии с основной теоремой, в терминах -функций, принадлежащих эллиптическим кривым в этой точке . Если кривая задана, то означает в квадратичном поворот в отношении фундаментального дискриминатора . Имеет развитие серии ${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle s = 1}$${\ displaystyle E \ двоеточие y ^ {2} = x ^ {3} + ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle E_ {D} \ двоеточие Dy ^ {2} = x ^ {3} + ax ^ {2} + bx + c}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle L (E, s)}$

${\ displaystyle L (E, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}},}$

так что можно показать, что

${\ Displaystyle L (E_ {D}, s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {D} {n}} \ right) {\ frac {a_ {n} } {п ^ {s}}}}$

с символом Якоби . Формула Гросса и Загира теперь такова: если и , то явно применяется ${\ displaystyle \ textstyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right)}$${\ Displaystyle \ mathrm {ggT} (2N, D) = 1}$${\ Displaystyle D \ neq -3}$

${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = {\ frac {\ sqrt {| D |}} {4 \ mathrm {Vol} (E)}} L '(E, 1) L (E_ {D }, 1).}$

Для правой стороны должно быть умножено на коэффициент . Из этих фактов, а также из работы Колывагина следует, что метод Хегнера-Пункта работает именно для случая, имеющего  ранг 1.${\ displaystyle D = -3}$${\ displaystyle 9}$${\ displaystyle E}$

Версия через делители Хегнера

В последующей работе Гросса, Конена и Загьера формула роста дана в несколько иной форме. Здесь можно было бы сделать обобщение с помощью теории якобиформ . Грубо говоря, теорема Гросса-Конена-Загира гласит, что высоты до дивизоров Хегнера описывают коэффициенты якобиформы веса 2.

Точки Хегнера можно отнести к так называемым дивизорам Хегнера . Для этого в первую очередь используется теорема Абеля. Если существует компактная риманова поверхность с полом , мы можем рассматривать группу всех дивизоров на ней. Делитель - это не что иное, как конечная формальная сумма целых кратных точек . Теперь рассматриваются так называемые делители нуля , которые обладают тем свойством, что сумма всех коэффициентов всех точек имеет значение. Количество так называемых. Делителей , что нули и полюса мероморфной функции к форме, является подгруппой . Согласно теореме Абеля, теперь существует изоморфизм между различными Якоби в и фактор , который является подгруппой группы Пикара : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} ^ {0} (X)}$ ${\ displaystyle P ^ {0} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathrm {Div} ^ {0} (X)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathrm {Pic} ^ {0} (X) = \ mathrm {Div} ^ {0} (X) / P ^ {0} (X)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Pic} ^ {0} (X) \ {\ overset {\ sim} {\ longrightarrow}} \ \ mathrm {Jac} (X)}$

${\ displaystyle \ left [\ sum _ {x} n_ {x} (x) \ right] \ longmapsto \ sum _ {x} n_ {x} \ int _ {x_ {0}} ^ {x},}$

где - базовая точка. Следует отметить, что многообразие представляет собой многомерный комплексный тор с решеткой и, следовательно, имеет групповую структуру. Он явно задается формулой, где векторное пространство глобально голоморфных дифференциальных форм включено и подгруппа, элементы которой дифференциал передает целочисленным линейным комбинациям своих интегралов по (за исключением гомотопии ) возможным замкнутым кривым (решетке периодов). Как следствие теоремы Абеля, теперь существует инъективное отображение , если . Если есть точка, ей можно присвоить класс делителя .${\ displaystyle x_ {0} \ in X}$${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {g} / \ Lambda _ {g}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {g} \ cong \ mathbb {Z} ^ {2g}}$${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} (\ Omega (X), \ mathbb {C}) / H_ {1} (X, \ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle Н_ {1} (Х, \ mathbb {Z})}$${\ displaystyle 2g}$${\ Displaystyle \ лямбда \ двоеточие X \ longrightarrow \ mathrm {Pic} (X)}$${\ displaystyle g \ geq 1}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle [(х)]}$

Если теперь есть модульная кривая пола и уровня , есть отображение формы с кончиком . Поскольку это алгебраическая кривая, ее точки Хегнера можно отождествить с фиксированным дискриминантом с точками над полем классов Гильберта , поскольку . Существуют именно такие точки для fixed и with ( ) , и они определяют дивизор , который можно интерпретировать как точку в - следует отметить, что это также алгебраическая кривая, определяемая с помощью . Этот принцип сохраняется, если выбрана кривая, а не после выделения инволюции Фрике. Это имеет то преимущество, что соответствующий дивизор инвариантен относительно и, таким образом, определяется над .${\ Displaystyle X = X_ {0} (N)}$${\ displaystyle g \ geq 1}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle X_ {0} (N) \ longrightarrow \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N))}$${\ Displaystyle х \ mapsto (х) - (х_ {0})}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle D <0}$${\ displaystyle H / K}$${\ Displaystyle К (J (\ тау)) = Н}$${\ Displaystyle \ бета \ эквив б \ мод 2N}$${\ displaystyle D = b ^ {2} -4ac}$${\ Displaystyle а \ тау ^ {2} + б \ тау + с = 0}$${\ displaystyle N \ mid a}$${\ displaystyle h (D)}$${\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {h (D)}}$${\ Displaystyle P_ {D, \ beta} = (x_ {1}) + (x_ {2}) + \ dotsb + (x_ {h (D)}) - h (D) \ cdot (\ infty)}$${\ Displaystyle \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N)) (H)}$${\ Displaystyle \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N))}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ displaystyle X_ {0} ^ {*} (N)}$${\ Displaystyle P_ {D, \ beta} ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathrm {Gal} (H / \ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle \ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q})}$

Формула Загьера Гросса и теперь является методом явного определения высоты стыковки (с двумя параметрами, которые необходимо рассчитать), при этом собственная мода хеджирования (Neuform с направляющей ) относительно и т.н. Компонент делителя . Следует отметить, что существует изогения многообразия Якоби в прямых слагаемых вида ${\ displaystyle \ langle (P_ {D, \ beta _ {0}} ^ {*}) _ {f}, (P_ {D, \ beta _ {1}} ^ {*}) _ {f} \ rangle _ {\ mathbb {Q}}}$${\ Displaystyle \ beta _ {0}, \ beta _ {1} \ Equiv b \ mod 2N}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M_ {f} \ mid N}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ displaystyle P_ {f}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ mathrm {Jac} (X_ {0} (N)) \ longrightarrow \ bigoplus _ {f} A_ {f} ^ {m_ {f}}}$

с там. Вот подалгебра порожденной алгебры Гекке, которая отображается в 0, и количество делителей . Прямая сумма проходит по классам эквивалентности собственных мод, при этом две собственные моды эквивалентны, если они возникают друг из друга посредством (по коэффициентам) сопряжения вложения . Вот числовое поле, созданное коэффициентами нормализованной собственной формы . Формула теперь связывает высоту с коэффициентами форм Якоби. Это становится формулой ${\ displaystyle A_ {f} = \ mathrm {Jac} (X_ {0} (M_ {f})) / I_ {f} \ mathrm {Jac} (X_ {0} (M_ {f}))}$${\ displaystyle I_ {f}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle m_ {f}}$${\ displaystyle {\ tfrac {N} {M_ {f}}}}$${\ displaystyle \ sigma \ двоеточие K_ {f} \ longrightarrow \ mathbb {C}}$${\ displaystyle K_ {f}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ langle (P_ {D_ {0}, \ beta _ {0}} ^ {*}) _ {f}, (P_ {D_ {1}, \ beta _ {1}} ^ {*}) _ {f} \ rangle = {\ frac {L '(f, 1)} {4 \ pi || \ phi _ {f} || ^ {2}}} c (n_ {0}, \ beta _ { 0}) c ​​(n_ {1}, \ beta _ {1})}$

доказано с помощью ( ), будучи якобиформой ${\ displaystyle D_ {j} = \ beta _ {j} ^ {2} -4Nn_ {j}}$${\ displaystyle j = 0,1}$${\ displaystyle \ phi _ {f}}$

${\ Displaystyle \ phi _ {е} (\ тау, г) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} \ сумма _ {г ^ {2} \ leq 4Nn} с (п, г) е ^ {2 \ pi i (п \ тау + rz)}}$

упоминается, что связано с цифрой. Также доказано, что все компоненты лежат на одной прямой линии в и что их положение определяется коэффициентами якобиевой формы. Эта связь осуществляется по формуле ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle P_ {D, r} ^ {*}}$${\ Displaystyle (\ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q}) \ otimes \ mathbb {R}) _ {f}}$

${\ Displaystyle P_ {D, r} ^ {*} = c \ left ({\ frac {r ^ {2} -D} {4N}}, r \ right) P_ {f}}$

с независимым от и с ${\ displaystyle P_ {f} \ in (\ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q}) \ otimes \ mathbb {R}) _ {f}}$${\ displaystyle (D, 2N) = 1}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ langle P_ {f}, P_ {f} \ rangle = {\ frac {L '(f, 1)} {4 \ pi || \ phi _ {f} || ^ {2}}}}$

выражено. Соответственно, подпространство , которое порождается всеми -компонентами дивизоров Хегнера, имеет 1 или 0 , в зависимости от размерности или .${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathrm {Jac} ^ {*} (X_ {0} (N)) (\ mathbb {Q}) \ otimes \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle L '(е, 1) \ neq 0}$${\ Displaystyle L '(е, 1) = 0}$

Работы Гросса, Конена и Загира были иначе доказаны в 1997 г. (опубликованы в 1999 г.) Ричардом Борчердсом и в то же время обобщены на многомерные факторы эрмитовых симметричных пространств .

Системы Хегнера и теорема Колывагина

мотивация

Если есть эллиптическая кривая над полем рациональных чисел и номер поля (с алгебраическим замыканием ), из числа точки зрения теории представляет интерес для понимания в группу Морделл-Weil из рациональных точек и группы Шафаревича-Тейта . Имеется в виду целое число  с подгруппой группы , так что для каждого есть в точности следующая последовательность : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ ${\ Displaystyle E (K)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle G [п]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle nP = 0}$${\ displaystyle P \ in G}$

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow E ({\ overline {K}}) [n] \ longrightarrow E ({\ overline {K}}) \ {\ overset {n} {\ longrightarrow}} \ E ({\ overline { K}}) \ \ longrightarrow \ 0}$

Формирование когомологии Галуа с результатами в следующей точной последовательности: ${\ Displaystyle G_ {K} = \ mathrm {Gal} ({\ overline {K}} / K)}$

${\ Displaystyle 0 \ \ longrightarrow E (K) [n] \ \ longrightarrow E (K) \ {\ overset {n} {\ longrightarrow}} \ E (K) \ {\ overset {\ delta} {\ longrightarrow} } \ H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}) [n]) \ \ longrightarrow \ H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}) })) \ {\ overset {n} {\ longrightarrow}} \ H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}})),}$

откуда, наконец, короткая точная последовательность

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow E (K) / nE (K) \ longrightarrow H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}) [n]) \ longrightarrow H ^ {1} ( G_ {K}, E ({\ overline {K}})) [n] \ longrightarrow 0}$

всплывает (последовательность спуска). Теперь можно использовать принцип локально-глобальный. В конечном итоге это определяет:

${\ Displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K): = \ mathrm {ker} \ left (H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}})) \ longrightarrow \ prod _ {v} H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K_ {v}}})) \ right)}$

Каждому соответствует цифра . Каждый элемент группы соответствует классу однородных пространств через  - это означает гладкие кривые, на которых алгебраическая группа  определяет операцию через  . Классы определяются изоморфизмами, согласованными с действием . Класс тривиален тогда и только тогда, когда он имеет какие-либо -рациональные точки.${\ displaystyle v}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}))}$ ${\ displaystyle E / K}$${\ Displaystyle C / K}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E / K}$${\ displaystyle K}$

Если задние группы когомологий соответствующим образом ограничены в верхней точной последовательности, точная последовательность снова приводит к

${\ displaystyle 0 \ longrightarrow E (K) / nE (K) \ longrightarrow \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K) \ longrightarrow \ mathrm {Sha} (E / K) [n] \ longrightarrow 0. }$

Имеется в виду так называемая группа Сельмера. Это определяется следующим образом: ${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K)}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K): = \ mathrm {ker} \ left (H ^ {1} (G_ {K}, E ({\ overline {K}}) [n ]) \ longrightarrow \ prod _ {v} H ^ {1} (G_ {K_ {v}}, E ({\ overline {K_ {v}}})) \ right)}$

Хотя хорошо известно, что группа -Зельмера всегда конечна (из чего следует, что группы всегда конечны, что является важным шагом в доказательстве конечнопорожденных абелевых групп ), группа Шаферевича-Тейта в целом остается загадкой. Предполагается, что группы и отличаются только от одного независимого конечного размера и даже одинаковы в бесконечном числе случаев. Так было бы, если бы оно было конечным, но это остается недоказанным по сей день. Конечность является частью (сильной) гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера и будет иметь большое значение в теории чисел: согласно определению, ее размер показывает, насколько сильно принцип Хассе-Минковского не работает в случае эллиптической кривой .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K)}$${\ Displaystyle E (K) / nE (K)}$${\ Displaystyle E (K)}$ ${\ Displaystyle E (K) / nE (K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sel} _ {n} (E / K)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$${\ displaystyle E}$

В отличие от когомологических методов, системы Хегнера теперь могут использоваться для изучения и изучения одновременно, ограничивая размер групп Зельмера. В своих вводных заметках к лекциям по системам Эйлера (обобщенное понятие, которому подчиняются системы Хегнера) Барри Мазур подчеркивает важность систем Хегнера и дает следующий «взгляд» на сравнение с когомологиями : ${\ Displaystyle E (K)}$${\ displaystyle \ mathrm {Sha} (E / K)}$

Определение систем Хегнера

Системы Heegner - это совокупность баллов Heegner , принадлежащих руководству . Из-за гипотезы Хегнера важно предположить, что лидеры и уровни взаимно просты. Следует отметить, что точки Хегнера интерпретируются как точки на эллиптической кривой (после применения параметризации). Это прагматично, потому что системы Хегнера имеют свои наиболее важные приложения на этой эллиптической кривой (а не как часть модульной кривой). Это всегда применяется с соответствующим телом класса кольца . Кроме того, должны быть соблюдены следующие технические условия:${\ Displaystyle (P_ {п}) _ {(п, N) = 1}}$${\ displaystyle P_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle P_ {n} \ in E (H_ {n})}$${\ displaystyle H_ {n}}$

1. Система маркируется только теми номерами, для которых применимо см. Выше. ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathrm {ggT} (п, N) = 1}$

2. Для простого числа, которое не затухает, применяются следующие правила: ${\ Displaystyle К / \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Spur} _ {H_ {n \ ell} / H_ {n}} (P_ {n \ ell}) = {\ begin {case} a _ {\ ell} P_ {n}, \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ ell \ not {|} \, \, n \, \, \, {\ text {инертен в}} \, K / \ mathbb {Q} \\ (a _ {\ ell } - \ sigma _ {\ lambda} - \ sigma _ {\ lambda} ^ {- 1}) P_ {n}, \ qquad \ ell = \ lambda {\ overline {\ lambda}} \ not {|} \, \, n \, \, \, {\ text {разбивается на}} \, K / \ mathbb {Q}, \\ (a _ {\ ell} - \ sigma _ {\ lambda}) P_ {n} , \ qquad \ qquad \ quad \ ell = \ epsilon \ lambda ^ {2} \ not {|} \, \, n \, \, \, {\ text {разветвляется на}} \, K / \ mathbb { Q}, \ \ a _ {\ ell} P_ {n} -P_ {n / \ ell}, \ qquad \ qquad \ quad \ ell | n. \ End {case}}}$

Здесь поле классов колец с лидером  и простыми идеалами обозначает соответствующие элементы Фробениуса. Числа являются коэффициентами L-функции и появляются в контексте операторов Гекке, которые действуют на соответствующую эллиптическую кривую.${\ displaystyle H_ {n}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ sigma _ {\ lambda} \ in \ mathrm {Gal} (H_ {n} / K)}$${\ displaystyle a _ {\ ell}}$${\ displaystyle E}$

3. Элемент является отражением (отражением) , относится, если его ограничение не является тождеством. Можно показать, что все отражения имеют второй порядок благодаря этому свойству. ${\ Displaystyle \ каппа \ ин \ mathrm {Gal} (H / \ mathbb {Q})}$${\ displaystyle K}$

Теперь всегда должен быть элемент, чтобы ${\ displaystyle \ sigma \ in \ mathrm {Gal} (H_ {n} / \ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle \ kappa P_ {n} = - \ operatorname {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ sigma P_ {n} \ qquad \ mod E (H_ {n}) _ {\ mathrm {tors}} ,}$

так что кроме одного элемента в торсионной части . Где множитель в функциональном уравнении ${\ displaystyle E (H_ {n})}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (E, \ mathbb {Q})}$

${\ Displaystyle \ Lambda (E, 2-s) = \ OperatorName {sgn} (E, \ mathbb {Q}) \ Lambda (E, s)}$

относительно L-функции, принадлежащей эллиптической кривой . ${\ displaystyle E}$

Тогда система Хегнера называется нетривиальной, если не каждая точка является точкой кручения.

Связь с гипотезой Берча и Суиннертон-Дайера

Для первоначально произвольного числового поля , L-функция может быть назначена для каждой эллиптической кривой с помощью ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle E / K}$

${\ Displaystyle L (E / K, s) = \ prod _ {v} L_ {v} (E / K, s),}$

где произведение проходит по всем конечным простым позициям ( то есть по всем простым идеалам), локальные факторы Эйлера задаются формулой ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle L_ {v} (E / K, s) = {\ begin {cases} (1-a_ {| v |} | v | ^ {- s} + | v | ^ {1-2s}) ^ {-1}, \ qquad v \ not {|} \, N, \\ (1-a_ {| v |} | v | ^ {- s}) ^ {- 1}, \ qquad \ qquad \ qquad v \ mid N \ end {case}}}$

и обозначает норму. Вот они коэффициенты L-функции в корпусе . Если есть квадратичное удлинение, кривая  распадается с так называемым квадратичным закручиванием  . Использование поворота с персонажем${\ displaystyle | v | \ in \ mathbb {Q} _ {+}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle L (E / K, s) = L (E, s) L (E ', s)}$${\ displaystyle E '}$${\ displaystyle E}$

${\ Displaystyle \ чи \ двоеточие \ mathrm {Gal} (H / K) \ longrightarrow \ mathbb {C} ^ {\ times}}$

вы получаете для каждого класса кольца тело с направляющей  и L-функцией ${\ displaystyle H_ {c}}$${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle (с, N) = 1}$

${\ Displaystyle L (E / K, \ chi, s) = \ prod _ {v} L_ {v} (E / K, \ chi, s),}$

где скрученные множители Эйлера могут быть определены аналогично . Эта L-функция имеет аналитическое продолжение на всю плоскость комплексных чисел и удовлетворяет функциональному уравнению . Теперь L-функция разбивается на факторы ${\ displaystyle L_ {v} (E / K, s)}$${\ displaystyle L (E / H, s)}$

${\ Displaystyle L (E / H_ {c}, s) = \ prod _ {\ chi} L (E / K, \ chi, s)}$

по всем символам, от которых, если применимо, уже следует для всех рассматриваемых символов. Таким образом , согласно гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера, следует предполагать связь с индексом протяженности, обозначающим тело . Исходя из этого, предполагается, что, если это так, можно добавить нетривиальную систему Хегнера .${\ Displaystyle \ чи \ двоеточие \ mathrm {Gal} (H_ {c} / K) \ to \ mathbb {C} ^ {\ times},}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (E, K) = - 1}$${\ Displaystyle L (Е / К, \ чи, 1) = 0}$${\ Displaystyle \ mathrm {ord} _ {s = 1} (L (E / H_ {c})) \ geq [H_ {c}: K]}$${\ displaystyle [H_ {c}: K]}$${\ displaystyle \ mathrm {Rank} (E (H_ {c})) \ geq [H_ {c}: K]}$${\ displaystyle \ operatorname {sgn} (E, K) = - 1}$${\ displaystyle (E, K)}$

Теорема Колывагина

Системы Хегнера используются для доказательства теоремы Колывагина. При этом используется тот факт, что они контролируют группу Морделла-Вейля и группу Зельмера. Теорема гласит, что если точка, выделенная системой

${\ Displaystyle P_ {K} = \ mathrm {Spur} _ {H_ {1} / K} (P_ {1}) \ in E (K)}$

не является точкой кручения, уже применяется следующее:

1. Группа Морделла-Вейля имеет ранг 1, поэтому она создает подгруппу конечного индекса.${\ Displaystyle E (K)}$${\ displaystyle P_ {K}}$
2. Группа Шафаревича-Тейта конечна.${\ displaystyle E / K}$

Это удивительно, поскольку, например, конечность группы Шафаревича-Тейта в целом далека от ясности и является предметом глубоких гипотез (таких как гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера).

Теорема Колывагина может быть объединена вместе с результатом Гросса и Загира для решения гипотезы Берча-и-Суиннертона-Дайера для этих случаев . Если это выполнено, то уже можно вывести, и в обоих случаях группа Шафервича-Тейта конечна. Доказательство, в котором представлены оба результата, использует технические свойства L-функций, скрученных с символом .${\ Displaystyle \ mathrm {ord} _ {s = 1} L (E, s) \ leq 1}$${\ displaystyle \ mathrm {rank} (E (\ mathbb {Q})) = \ mathrm {ord} _ {s = 1} L (E, s)}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle L (E, \ varepsilon, s)}$

Связь с модульными функциями и сингулярными модулями

Между точками Хегнера и модульными формами существует множество связей . J-инвариантный , модульная функция с весом 0, всегда принимает алгебраические значения в точках Хегнера. Предпосылкой для этого утверждения является то, что для каждого натурального числа существует  многочлен (симметричный до знака) степени , где классическая функция делителя обозначает, так что (то есть в постоянной нулевой функции) для каждой целочисленной матрицы  с определителем  . Диплом о строительной технике ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ Psi _ {m} (X, Y) \ in \ mathbb {Z} [X, Y]}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} (м)}$${\ displaystyle \ sigma _ {1}}$${\ Displaystyle \ Psi _ {m} (J (Mz), J (Z)) \ эквив 0}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle \ prod _ {M \ in \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ backslash {\ mathcal {M}} _ {m}} (Xj (Mz)) = \ Psi _ {m} (X, j (z))}$

более понятным, с набором всех целочисленных матриц, обозначенных определителем  , над которым действует слева и точно формирует классы в частном . Справедливость такого тождества может быть продемонстрирована тем фактом, что коэффициенты левой части в являются голоморфными модульными функциями веса 0 (и, следовательно, уже полиномами от ). Из-за разложения Фурье коэффициенты также могут быть выбраны как рациональные числа. Каждая точка Хегнера  фиксируется матрицей с целочисленным определителем . Отсюда уже следует, что и является нулем нетривиального многочлена с рациональными коэффициентами. То же самое и алгебраическое - аргумент также имеет место, если , поскольку функции и никогда не идентичны. Эти значения традиционно являются сингулярными модулями (англ. Сингулярные модули ).${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {m}}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} (м)}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle j (z)}$${\ Displaystyle \ Psi _ {м} (X, Y)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {smallmatrix} 0 & -C \\ A&B \ end {smallmatrix}} \ right)}$${\ displaystyle \ textstyle m = AC = {\ frac {B ^ {2} -D} {4}}}$${\ Displaystyle \ Пси _ {м} (J (\ тау), J (\ тау)) = 0}$${\ Displaystyle J (\ тау)}$${\ Displaystyle J (\ тау)}$${\ Displaystyle (XY) | \ Psi _ {m} (X, Y)}$${\ displaystyle j (z)}$${\ displaystyle j (Mz)}$${\ Displaystyle J (\ тау)}$

Этот факт можно дополнительно уточнить, введя так называемый многочлен классов

${\ displaystyle H_ {D} (X) = \ prod _ {{\ mathfrak {z}} \ in \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z}) \ backslash {\ mathfrak {Z}} _ {D}} (Xj ({\ mathfrak {z}})).}$

Он состоит из всех точек Хегнера с лидером 1 и дискриминантом,  на котором действует группа . Остается полином степени . Можно показать, что даже и всегда неприводимо. Это предполагает целочисленное значение, в частности, в точке , а именно, что, следовательно , существует только один класс точек Хегнера для этого дискриминанта. Это вызывает любопытство, которое легко показать с помощью компьютера.${\ displaystyle {\ mathfrak {Z}} _ {D}}$${\ displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ displaystyle H_ {D} (X)}$${\ displaystyle h (D)}$${\ Displaystyle H_ {D} (X) \ in \ mathbb {Z} [X]}$${\ Displaystyle J (\ тау)}$${\ displaystyle \ textstyle \ tau = {\ frac {1 + я {\ sqrt {163}}} {2}}}$${\ Displaystyle J (\ тау) = - 640 \, 320 ^ {3}}$${\ displaystyle h (-163) = 1}$

${\ displaystyle e ^ {\ pi {\ sqrt {163}}} = 262 \, 537 \, 412 \, 640 \, 768 \, 743 {,} \, 999 \, 999 \, 999 \, 999 \, 250 \ ldots.}$

Идентичность может быть использована для создания чрезвычайно быстро сходящихся рядов. ${\ Displaystyle J (\ тау) = - 640 \, 320 ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} = {\ frac {12} {640 \, 320 ^ {3/2}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(6k)! (163 \ cdot 3 \, 344 \, 418k + 13 \, 591 \, 409)} {(3k)! (K!) ^ {3} (- 640 \, 320) ^ {3k} }}}$

извлеките, сравните и алгоритм Чудновского . Это позволяет очень быстро вычислить : На сегодняшний день (по состоянию на август 2021 года) с помощью этого метода было вычислено более 62  триллионов десятичных знаков.${\ displaystyle \ pi}$

С помощью формулы по Сарвадаман Чоули и Сельберг , сингулярные модули могут также быть «переданы» в случае модулярных форм с алгебраическими коэффициентами. Утверждение состоит в том, что если это поле мнимо-квадратичных чисел, существует «период», который зависит только от этого поля , так что для каждой модульной формы  с алгебраическими коэффициентами для всех . Возможное значение можно явно рассчитать как ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ Omega _ {K}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (\ тау) \ в {\ overline {\ mathbb {Q}}} \ cdot \ Omega _ {K} ^ {k}}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H} \ cap K}$${\ displaystyle \ Omega _ {K}}$

${\ displaystyle \ Omega _ {K} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi | D |}}} \ prod _ {j = 1} ^ {| D | -1} \ Gamma \ left ( {\ frac {j} {| D |}} \ right) ^ {\ frac {\ chi _ {D} (j) w (D)} {4h (D)}},}$

в котором характер дискриминанта по отношению к  полю номера  , номер класса, число единиц в целом кольца и гамма - функция , соответственно. Эта формула была опубликована Чоула и Сельбергом в 1949 году, но уже была открыта Матиашем Лерхом в 1897 году.${\ displaystyle \ chi _ {D}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle h (D)}$${\ Displaystyle ш (D)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ displaystyle \ Gamma (s)}$

Алгоритмическое использование

Для эллиптических кривых ранга 1 с лидером  по рациональным числам можно дать алгоритм с помощью формулы Гросса и Загьера для построения рациональных точек бесконечного порядка. Эллиптическая кривая в обобщенном уравнении Вейерштрасса предполагается с ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle E \ двоеточие y ^ {2} + g_ {1} xy + g_ {3} y = x ^ {3} + g_ {2} x ^ {2} + g_ {4} x + g_ {6} }$

с дискриминантными , j-инвариантными и целыми коэффициентами . Это тоже обязательно. ${\ displaystyle D_ {E}}$${\ displaystyle j (E)}$${\ displaystyle g_ {j}}$${\ displaystyle b_ {2} = g_ {1} ^ {2} + 4g_ {2}}$

Формулировка метода точки Хегнера

Порядок действий следующий:

1. (Berechnung notwendiger Genauigkeit) In diesem ersten Schritt wird berechnet, auf wie viele Nachkommastellen alle darauffolgenden Hauptberechnungen stimmen müssen. Ist bekannt, dass hinreichend gute Genauigkeit vorliegt, kann dieser Schritt übergangen werden. Berechne das Produkt ${\displaystyle |\mathrm {Sha} (E)|R(E)}$ mit Hilfe der Formel von Birch und Swinnerton-Dyer:
    ${\displaystyle |\mathrm {Sha} (E)|R(E)={\frac {|E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }|^{2}L'(E,1)}{c(E)\omega _{1}(E)}}}$
Dabei bezeichnet ${\displaystyle R(E)}$ den sog. Regulator, ${\displaystyle \omega _{1}(E)\in \mathbb {R} _{>0}}$ die reelle Standardperiode der elliptischen Kurve (über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ als Torus betrachtet), ${\displaystyle c(E)}$ das Produkt der Tamagawa-Zahlen ${\displaystyle c_{p}(E)}$ von ${\displaystyle E}$ (einschließlich ${\displaystyle c_{\infty }(E)}$) und ${\displaystyle \mathrm {Sha} (E)}$ die Shafarevich-Tate-Gruppe der elliptischen Kurve. Der Wert ${\displaystyle L'(E,1)}$ sollte effizient mittels
    ${\displaystyle L'(E,1)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}\int _{\frac {2\pi n}{\sqrt {N}}}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\mathrm {d} t}$
berechnet werden. Alle späteren Rechnungen müssen auf mindestens ${\displaystyle dd=[d/\log(10)]+10}$ Stellen genau getätigt werden, wobei
    ${\displaystyle d=2\left(|\mathrm {Sha} (E)|R(E)+{\frac {h(j(E))}{12}}+{\frac {\log(|D_{E}|)+\max\{\log(|j(E)|),1\}}{6}}+\max\{1,\log(|b_{2}/12|)\}+\log(2^{*})+1{,}946\right)}$
mit ${\displaystyle 2^{*}=2}$ falls ${\displaystyle b_{2}\neq 0}$ und ${\displaystyle 2^{*}=1}$ sonst.

2. (Schleife über Fundamentaldiskriminanten) In diesem Teil des Algorithmus muss eine passende Fundamentaldiskriminante bestimmt werden. Aus dieser werden dann später geeignete Heegner-Punkte berechnet (für weitere Zusammenhänge siehe im Abschnitt über den Zusammenhang zu imaginär-quadratischen Zahlkörpern). Prüfe für absteigende Fundamentaldiskriminanten ${\displaystyle D=-3,-4,\dotsc }$ folgende Bedingungen:
* ${\displaystyle D}$ ist ein Quadrat modulo ${\displaystyle 4N}$
* Es ist ${\displaystyle a_{p}=-1}$ für alle Primzahlen ${\displaystyle p|\mathrm {ggT} (N,D)}$
* Der Wert ${\displaystyle L(E_{D},1)}$ ist nicht 0. Für dessen Berechnung kann die schnell konvergente Reihe
    ${\displaystyle L(E_{D},1)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}\left({\frac {D}{n}}\right)\exp \left({\frac {-2\pi n}{\sqrt {ND^{2}/\mathrm {ggT} (D,N)}}}\right)}$
verwendet werden.
Ist irgendeine dieser Bedingungen nicht erfüllt, fahre mit der nächsten Fundamentaldiskriminanten fort. Falls aber doch, fixiere ${\displaystyle \beta \equiv B\mod 2N}$, sodass ${\displaystyle D\equiv \beta ^{2}\mod 4N}$, und berechne den Wert ${\displaystyle m>0}$ mit
  ${\displaystyle m^{2}=\omega _{1}(E){\frac {c(E){\sqrt {|D|}}(w(D)/2)^{2}}{4\mathrm {Vol} (E)|E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }|^{2}}}2^{\omega (\mathrm {ggT} (D,N))}L(E_{D},1).}$
Dabei ist ${\displaystyle \omega (n)}$ die Anzahl unterschiedlicher Primfaktoren in der Zerlegung von ${\displaystyle n}$. Dieser numerische Wert von ${\displaystyle m}$ sollte sehr nahe an einer ganzen Zahl oder an einer rationalen Zahl mit verhältnismäßig kleinem Nenner sein. In letzterem Fall sollten entsprechende Vielfache von ${\displaystyle m}$ gewählt werden, sodass Ganzzahligkeit erreicht wird – bezeichne die ganze Zahl dann wieder als ${\displaystyle m}$.

3. (Liste von Klassen quadratischer Formen) Berechne eine Liste ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ von ${\displaystyle |\mathrm {Cl} (\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}))|}$ Repräsentanten positiv definiter quadratischer Formen ${\displaystyle (A,B,C)}$ mit Diskriminante ${\displaystyle D}$, sodass ${\displaystyle N|A}$ und ${\displaystyle \beta \equiv B\mod 2N}$ (dies ist stets möglich). Fasse Listenelemente ${\displaystyle (A,B,C)}$ und ${\displaystyle (A',B',C')}$ paarweise zusammen, wenn letzteres äquivalent zu ${\displaystyle (CN,B,A/N)}$ ist.

4. (Hauptrechnung) Berechne die komplexe Zahl
   ${\displaystyle \sum _{(A,B,C)\in {\mathcal {L}}}\phi \left({\frac {-B+{\sqrt {D}}}{2A}}\right)\in \mathbb {C} }$
mittels der Formel
   ${\displaystyle \phi (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}q^{n}}$
und verwende die Tatsache, dass die Paarungen aus Schritt 3 die Relation
   ${\displaystyle \phi \left({\frac {-B'+{\sqrt {D}}}{2A'}}\right)={\overline {\phi \left({\frac {-B+{\sqrt {D}}}{2A}}\right)}}}$
erfüllen. Für die nötige Genauigkeit sollten stets mindestens ${\displaystyle Ad/(\pi {\sqrt {|D|}})}$ Summanden in den Reihen verwendet werden.

5. (Bestimmung des rationalen Punktes) Bezeichnet ${\displaystyle e}$ den Exponenten der Gruppe ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )_{\mathrm {tors} }}$, so wird ${\displaystyle \ell =\mathrm {ggT} (e,m^{3})}$ und definiere ${\displaystyle m'=\ell m}$. Für jedes ganzzahlige Paar ${\displaystyle (u,v)\in [0,m'-1]^{2}}$ definiere
   ${\displaystyle z_{u,v}={\frac {\ell z+u\omega _{1}(E)+v\omega _{2}(E)}{m'}}.}$
Berechne ${\displaystyle x_{u,v}=\wp (z_{u,v})}$, wobei ${\displaystyle (\wp ,\wp ')}$ den Isomorphismus zwischen ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda _{E}}$ und ${\displaystyle E(\mathbb {C} )}$ bezeichnet. Wurde alles mit hinreichend guter Genauigkeit durchgeführt, liegt eines der ${\displaystyle x_{u,v}}$ erkennbar nahe an einer rationalen Zahl ${\displaystyle p/f^{2}}$. Falls nicht, erhöhe die Genauigkeit und vollziehe die vorherigen Schritte erneut. Falls ja, berechne unter Nutzung der Weierstraß-Gleichung den entsprechenden Koordinatenteil ${\displaystyle y}$, der von der Form ${\displaystyle q/f^{3}}$ ist und beende den Algorithmus.

Предпосылки алгоритма

Поскольку ряды для точек Хегнера сходятся все медленнее и медленнее по мере повышения уровня , метод классифицируется как непригодный для использования с современными вычислительными средствами на несколько порядков из этого диапазона . Отдельные шаги алгоритма можно обосновать следующим образом: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle N> 10 ^ {8}}$

1. Каноническая высота точки не только измеряет, является ли она точкой кручения, но также связана с ее высотой, то есть мерой, которая измеряет сложность рационального числа. Это делается с помощью неравенства ${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ displaystyle P \ in E (\ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle 0 \ leq h (P) \ leq {\ widehat {h}} (P) + {\ frac {h (j (E))} {12}} + {\ frac {\ log (| D_ { E} |) + \ max \ {\ log (| j (E) |), 1 \}} {6}} + \ max \ {1, \ log (| b_ {2} / 12 |) \} + \ log (2 ^ {*}) + 1 {,} 946}$

очевидно. В то же время каноническая величина связана с величиной через формулу Гросса и Загьера и формулу гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера , хотя все еще существует небольшая зависимость от дискриминанта  . Для выбора достаточно компенсирующего слагаемого 10 в количестве  десятичных знаков.${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P)}$${\ Displaystyle | \ mathrm {Sha} (E) | R (E)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle | D | <10 ^ {6}}$${\ displaystyle dd}$

2. Поскольку рассматриваемая кривая имеет  выноску  , она параметризуется с помощью. Соответственно, актуальны баллы уровня Хегнера  . Однако для этого из-за описанной выше связи между точками Хегнера и идеальными классами полей мнимо-квадратичных чисел необходимо выбрать дискриминанты типа с единицей . В случае ранга 1 регулятор равен значению , при этом производитель принадлежит группе Морделла-Вейля. Поскольку он имеет форму с точкой кручения , следующее выражение может быть предложено на основе комбинации формулы Гросса и Загьера с гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера: ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие X_ {0} (N) \ longrightarrow E (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle D \ Equiv b ^ {2} \ mod 4N}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle R (E)}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ ell G + Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle {\ widehat {h}} (P) = \ ell ^ {2} {\ widehat {h}} (G)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ ell ^ {2}} {| \ mathrm {Sha} (E) |}} = \ omega _ {1} (E) {\ frac {c (E) {\ sqrt {| D |}} (w (D) / 2) ^ {2}} {4 \ mathrm {Vol} (E) | E (\ mathbb {Q}) _ {\ mathrm {tors}} | ^ {2}} } 2 ^ {\ omega (\ mathrm {ggT} (D, N))} L (E_ {D}, 1)}$

Это количество единиц всего кольца . Эта формула должна применяться даже к случаю , но требует дополнительного условия для всех . Однако это всего лишь предположение, которое до сих пор не доказано. В случае рассматриваемой кривой известно, что это конечное и квадратное число.${\ Displaystyle ш (D)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {D}})}$${\ Displaystyle \ mathrm {ggT} (D, N)> 1}$${\ displaystyle a_ {p} = - 1}$${\ displaystyle p | \ mathrm {ggT} (D, N)}$${\ displaystyle | \ mathrm {Sha} (E) |}$

3. Попарное расположение помогает сократить вдвое большие вычислительные затраты в 4. оптимальном случае. Также важно, чтобы для скорости сходимости значения были минимальными. Подалгоритм, реализующий вычисление необходимого списка классов квадратных форм, подробно описан Анри Коэном и Кристофом Делоне.${\ displaystyle A '}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

4. Это и есть применение уже упомянутой выше формулы следа. На этот шаг уходит больше всего времени.

5. Комплексное число не следует просто отображать на кривую с помощью функции Вейерштрассе , так как это потребует очень высокого уровня точности для распознавания соответствующего рационального числа. Вместо этого рекомендуется не создавать генератор группы (по модулю кручения) напрямую , а сразу  . Поэтому используется вычисленный на шаге 2 . Точки кручения - это в точности точки из (по модулю ). ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ wp}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} / \ Lambda _ {E}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} \ omega _ {1} (E) + \ mathbb {Q} \ omega _ {2} (E)}$${\ displaystyle \ Lambda _ {E}}$

Практический пример

В своей монографии о рациональных точках на модулярных эллиптических кривых , Henri Дармон принимает эллиптические кривой в качестве основы для математической демонстрации

${\ displaystyle y ^ {2} + y = x ^ {3} -x ^ {2} -10x-20}$

с гидом . Точка Хегнера ${\ displaystyle N = 11}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {-9 + i {\ sqrt {7}}} {22}}}$

с уровнем выбран. Либо путем подсчета точек на кривой по модулю, либо с помощью тождества ${\ displaystyle N = 11}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle е (z) = \ сумма _ {n = 1} ^ {\ infty} a (n) e ^ {2 \ pi inz} = \ eta ^ {2} (z) \ eta ^ {2} ( 11z) = e ^ {2 \ pi iz} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-e ^ {22 \ pi inz}) ^ {2} (1-e ^ {2 \ pi inz }) ^ {2} = e ^ {2 \ pi iz} -2e ^ {4 \ pi iz} -e ^ {6 \ pi iz} - \ dotsb}$

Нормированный Гекк собственная функция веса 2 может быть найдена по отношению к конгруэнцподгруппам (т.е. на ), где в дедекиндовых функция ETA обозначает. Численная оценка интеграла Эйхлера дает 1000 слагаемых: ${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (11)}$${\ displaystyle X_ {0} (11)}$${\ displaystyle \ eta (z)}$

${\ displaystyle z = \ sum _ {n = 1} ^ {1000} {\ frac {a (n)} {n}} q ^ {n}}$

и после применения параметризации Вейерштрасса точка

${\ displaystyle (x, y) = \ left ({\ frac {1-i {\ sqrt {7}}} {2}}, - 2-2i {\ sqrt {7}} \ right)}$

с точностью до 35 знаков после запятой.

Обобщения

Точки Хегнера на кривых Шимуры

На кривых Шимуры также можно определить точки Хегнера. Подобно модульной кривой , эти кривые появляются как частное от верхней полуплоскости с дискретно действующей группой . В отличие от , конечное число точек (так называемых пиков) не нужно добавлять к фактору, чтобы кривая стала компактной римановой поверхностью : можно показать, что фактор для таких кривых всегда компактный. С одной стороны, это упрощает определение модулярной формы по отношению к , поскольку необходимо оговорить только для всех (и, конечно, голоморфизм). С другой стороны, каноническое разложение Фурье без пиков невозможно.${\ displaystyle X_ {0} (N)}$${\ Displaystyle \ Gamma \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle X_ {0} (N)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {H} / \ Gamma}$${\ displaystyle f (z)}$${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle е (\ гамма z) = (cz + d) ^ {k} f (z)}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma}$

Особый интерес представляют отдельные группы , которые связаны с разложением таким образом, что , бесквадратным и состоит из четного числа простых чисел. Назначение выполняется с помощью алгебр кватернионов и подробно описано Анри Дармоном .${\ Displaystyle \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}} \ subset \ mathrm {SL} _ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle N ^ {+} N ^ {-} = N}$${\ Displaystyle \ mathrm {gcd} (N ^ {+}, N ^ {-}) = 1}$${\ Displaystyle N ^ {-}}$

Что касается групп , то изучаются, в частности , пространства , которые (как и в классическом случае) естественным образом переносят структуру гильбертова пространства через клиновидное произведение дифференциальных форм . Здесь также пусть определяют операторы Гекке . Что же касается в коммутируют и самосопряженный являются, пространство диагонализуются под действием этих операторов, д. то есть может быть найден ортонормированный базис одновременных собственных мод Гекке. Если теперь имеется одновременная собственная мода, это можно сделать с помощью локальных факторов Эйлера ${\ displaystyle \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}}$${\ Displaystyle S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle \ mathbb {H} / \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ двоеточие S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}) \ to S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ Displaystyle \ mathrm {ggT} (п, N) = 1}$${\ displaystyle T_ {n}}$${\ Displaystyle S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle (1-a_ {p} (f) p ^ {- s} + p ^ {1-2s}) ^ {- 1}, \ qquad T_ {p} f = a_ {p} f}$

для простых чисел, которые не делятся, может быть назначена L-функция.${\ displaystyle N}$

Принцип модульности также применим к таким модульным формам: для эллиптической кривой с направляющей существует уникальная собственная форма , так что для всех . Это может быть выведено из (классической) модульности теоремы сами и теорема Эрва Жак и Ленглендсом , в котором говорится , что для каждой новой формы веса 2 относительно к, собственная моду можно найти, так что (за исключение конечного числа , кроме факторов Эйлера).${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle N = N ^ {+} N ^ {-}}$${\ displaystyle f \ in S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ displaystyle T_ {p} (f) = a_ {p} (E) f}$${\ displaystyle p \ not \ mid N}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Gamma _ {0} (N)}$${\ Displaystyle N = N ^ {+} N ^ {-}}$${\ displaystyle g \ in S_ {2} (\ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}})}$${\ Displaystyle L (е, s) = L (г, s)}$

На основе этого могут быть определены дальнейшие параметризации эллиптической кривой . Кроме того, здесь также возможен выбор точек Хегнера , хотя они не являются решениями квадратных уравнений из-за совершенно другой формы группы. С помощью этих точек можно сформулировать аналог основной теоремы о комплексном умножении для кривых Шимуры.${\ Displaystyle E / \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H} / \ Gamma _ {N ^ {+}, N ^ {-}}}$

Высшее измерение

Точки Хегнера допускают ряд многомерных аналогий, таких как Б. Арифметические циклы многообразий Шимуры «ортогонального типа». В работе Стивен Кудла дает обзор своей далеко идущей программы, в которой он связывает высоты (в смысле Аракелова) этих циклов с производными соответствующего ряда Эйзенштейна; хотя в этом направлении еще предстоит развить огромное количество математики, значительные успехи уже были достигнуты (например, через Тонхая Янга , с помощью которого был разработан один из простейших примеров программы Кудлы).

Предполагаемый особый случай дела Старка-Хегнера

Точки Хегнера можно рассматривать как аналог эллиптической кривой специальных единиц, таких как круговые или эллиптические единицы , логарифмы которых можно проследить до первых производных L-функции Артина в точке , так же как и высоты точек Хегнера. первые производные кода ряда Ранкина L с использованием формулы Гросса и Загьера. В статье Бертолини, Дармона и Грина описывается несколько аналитических построений точек «типа Хегнера», основанных на предположениях, которые можно рассматривать как аналог эллиптической кривой единиц Штарка. По этой причине для их описания был придуман термин «точки Штарка-Хегнера».${\ displaystyle s = 0}$

литература

• Ян Хендрик Брюинье , Жерар ван дер Гир , Гюнтер Хардер , Дон Загир : 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг.
• Анри Коэн : Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Спрингер, 2007.
• Анри Дармон : Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101.
• Анри Дармон , Шоу-Ву Чжан (ред.): Очки Хегнера и рейтинг L-серии. Издательство Кембриджского университета, 2004.
• Курт Хегнер : Диофантов анализ и модульные функции. Математический журнал 56, 227-253.

Индивидуальные доказательства

1. ^ Джозеф Сильверман, Джон Тейт: Рациональные точки на эллиптических кривых. Спрингер, стр.11.
2. ^ Джозеф Сильверман, Джон Тейт: Рациональные точки на эллиптических кривых. Спрингер, стр.15.
3. ^ Джозеф Сильверман, Джон Тейт: Рациональные точки на эллиптических кривых. Спрингер, стр.17.
4. ^ Джозеф Сильверман, Джон Тейт: Рациональные точки на эллиптических кривых. Спрингер, стр.18.
5. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, стр. Xviii.
6. ^ Гэри Корнелл, Джозеф Х. Сильверман, Гленн Стивенс: модульные формы и Последняя теорема Ферма. Спрингер, стр. 1.
7. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 465.
8. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 8.
9. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, с. 309.
10. ↑ Герд Фальтингс: Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями. Inventiones Mathematicae 73, 349-366, 1983.
11. ^ Медалисты Филдса, перечисленные в хронологическом порядке. В: mathunion.org. ИДУ, доступ к 18 октября 2020 . 
12. ^ Нил Коблитц: курс теории чисел и криптографии. Второе издание, Springer, стр. 171-173.
13. ^ ^{A b} Нил Коблитц: Введение в эллиптические кривые и модульные формы. Springer-Verlag New York, стр. 14 и далее.
14. ^ Нил Коблитц: Введение в эллиптические кривые и модульные формы. Springer-Verlag New York, стр.14.
15. ^ Бенедикт Гросс, Дон Загир : точки Хегнера и производные L-ряда. Inventiones mathematicae 84, 225-320, 1986, стр. 227.
16. ↑ Фред Даймонд, Джерри Шурман: Первый курс в модульных формах. Springer Science + Business Media New York, 4-е издание, 2016 г., стр. 296.
17. ^ Ян Хендрик Брюинье, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг, стр. 70.
18. ↑ Дон Загир: Дзета-функции и поля квадратичных чисел. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1981, с. 90.
19. ↑ Дон Загир: Дзета-функции и поля квадратичных чисел. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1981, с. 62.
20. ↑ Юрген Нойкирх: Алгебраическая теория чисел. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, 1992, с. 39.
21. ↑ Дон Загир: Дзета-функции и поля квадратичных чисел. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1981, стр. 83-84.
22. ↑ Фред Даймонд, Джерри Шурман: Первый курс в модульных формах. Springer Science + Business Media New York, 4-е издание, 2016 г., стр. 328.
23. ^ Нил Коблитц: Введение в эллиптические кривые и модульные формы. Springer-Verlag New York, стр. 143.
24. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 599.
25. ^ Нил Коблитц: Введение в эллиптические кривые и модульные формы. Springer-Verlag New York, стр. 221.
26. ^ Макс Кохер, Алоис Криг: Эллиптические функции и модульные формы , Springer, стр.72.
27. ^ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, с. 240.
28. ^ Брайан Берч: Очки Хегнера: Начало. В: Очки Хегнера и рейтинг L-Series, Cambridge University Press, 2004, стр. 3.
29. ^ Брайан Берч: Очки Хегнера: Начало. В: Heegner Points and Ranking L-Series, Cambridge University Press, 2004, p. 4.
30. ^ Курт Хегнер: Диофантов анализ и модульные функции. Mathematische Zeitschrift 56, стр. 227-253.
31. ^ ^{A b} Брайан Берч: Очки Хегнера: Начало. В: Очки Хегнера и рейтинг L-Series, Cambridge University Press, 2004, стр. 4–5.
32. ↑ Макс Дойринг: Поля мнимых квадратичных чисел с первым классом. Изобретения по математике. 5. С. 169.
33. ^ Брайан Берч: Очки Хегнера: Начало. В: Heegner Points and Ranking L-Series, Cambridge University Press, 2004, p. 5.
34. ↑ ^{а б в г} Анри Дармон, Шоу-Ву Чжан (ред.): Очки Хегнера и рейтинг L-серии. Издательство Кембриджского университета, 2004 г., стр. Ix.
35. ^ ^{A b c d} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 586.
36. ^ Бенедикт Гросс: Хегнер точка на . ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$В кн .: Ранкин Р.А. (Ред.): Модульные формы. Эллис Хорвуд, Чичестер, 1984. стр. 88.
37. ↑ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, с. 120.
38. ^ ^{A b} Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 35.
39. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, стр. 586-587.
40. ^ Бенедикт Гросс: Хегнер точка на . ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$В кн .: Ранкин Р.А. (Ред.): Модульные формы. Эллис Хорвуд, Чичестер, 1984. С. 88-89.
41. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 33.
42. ^ ^{А б} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 587.
43. ^ Бенедикт Гросс, Дон Загир : точки Хегнера и производные L-ряда. Inventiones mathematicae 84, 225-320, 1986, стр. 226-227.
44. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, стр. 376.
45. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 7.
46. ^ Нил Коблитц: курс теории чисел и криптографии. Второе издание, Springer, стр. 184 и далее.
47. ↑ Дэвид Кохель: Алгоритм подъема точки Хегнера AGM-X ₀ (N) и подсчет точек эллиптической кривой. В: Chi Sung Laih (Ed.): Advances in Cryptology - ASIACRYPT 2003. Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2894. Springer, Berlin / Heidelberg 2003.
48. ^ Анри Дармон, Шоу-Ву Чжан (ред.): Очки Хегнера и ранжирование L-серии. Cambridge University Press, 2004, стр. X.
49. ^ Ян Хендрик Брунир, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг, стр.97.
50. ↑ Самит Дасгупта, Джон Войт: Точки зрения Хегнера и гипотеза Сильвестра. С. 9.
51. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 1.
52. ^ Гэри Корнелл, Джозеф Х. Сильверман, Гленн Стивенс (ред.): Модульные формы и Последняя теорема Ферма. Спрингер, стр.97.
53. ^ Джозеф Сильверман, Джон Тейт: Рациональные точки на эллиптических кривых. Springer, стр. 251-252.
54. ^ Гэри Корнелл, Джозеф Х. Сильверман, Гленн Стивенс (ред.): Модульные формы и Последняя теорема Ферма. Спрингер, стр.32.
55. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 17–21.
56. ↑ Дон Загир: Дзета-функции и поля квадратичных чисел. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1981, стр. 92–94.
57. ^ ^{А б} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 588.
58. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 24.
59. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 19.
60. ^ Джозеф Х. Сильверман: Продвинутые темы в арифметике эллиптических кривых. Спрингер, стр.121.
61. ↑ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, стр. 121–122.
62. ↑ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, стр. 162–163.
63. ^ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, с. 318.
64. ↑ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, с. 200.
65. ^ Джозеф Х. Сильверман: Продвинутые темы в арифметике эллиптических кривых. Спрингер, стр.140.
66. ^ Дэвид А. Кокс: Простые числа формы . ${\ displaystyle x ^ {2} + ny ^ {2}}$Чистая и прикладная математика, Wiley, 1993, с. 247.
67. ^ ^{A b c} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 589.
68. ^ ^{A b c} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 590.
69. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 52.
70. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 530.
71. ^ ^{А б} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 531.
72. ↑ Фред Даймонд, Джерри Шурман: Первый курс в модульных формах. Springer Science + Business Media New York, 4-е издание, 2016 г., стр. 218.
73. ↑ Фред Даймонд, Джерри Шурман: Первый курс в модульных формах. Springer Science + Business Media New York, 4-е издание, 2016 г., стр. 215-219.
74. ^ Бенедикт Гросс, Винфрид Конен, Дон Загир : Точки Хегнера и производные L-функций II . 278, 497-562, 1987, с. 499.
75. ^ ^{A b} Бенедикт Гросс, Винфрид Конен, Дон Загир : Точки Хегнера и производные L-функций II, Math. Ann. 278, 497-562, 1987, с. 498.
76. ↑ Фред Даймонд, Джерри Шурман: Первый курс в модульных формах. Springer Science + Business Media New York, 4-е издание, 2016 г., стр. 246.
77. ↑ Фред Даймонд, Джерри Шурман: Первый курс в модульных формах. Springer Science + Business Media New York, 4-е издание, 2016 г., стр. 238.
78. ^ ^{A b} Бенедикт Гросс, Винфрид Конен, Дон Загир : Точки Хегнера и производные L-функций II . 278, 497-562, 1987, стр. 503.
79. ^ Ричард Борчердс: Теорема Гросса-Конена-Загьера в высших измерениях. Duke Mathematical Journal, том 97, вып. 2. С. 219-233, 1999.
80. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, стр. 331-332.
81. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, стр. 324.
82. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, стр. 333.
83. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 6.
84. ^ Джозеф Х. Сильверман: Арифметика эллиптических кривых. 2-е издание, Springer, стр. 310.
85. ↑ Барри Мазур: Вводная лекция по системам Эйлера. С. 2.
86. ↑ Барри Мазур: Вводная лекция по системам Эйлера. С. 3.
87. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 35-36.
88. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 36.
89. ^ Бенедикт H. Gross: Хегнер точка на . ${\ displaystyle X_ {0} (N)}$В: Модульные формы, Дарем, 1983, стр. 87-105.
90. ^ ^{A b} Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 38.
91. ^ ^{A b} Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 40.
92. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 40-41.
93. ^ Ян Хендрик Брюинье, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг, стр. 69.
94. ^ Ян Хендрик Брюинье, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, стр. 67–68.
95. ^ Ян Хендрик Брюинье, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг, стр. 67.
96. ^ ^{A b} Ян Хендрик Брюинье, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг, стр. 73.
97. ↑ Александр Дж. Йи: Пи. В: numberworld.org/. 19 августа 2021, доступ к 26 августа 2021 . 
98. ^ Pi-Challenge - попытка установления мирового рекорда Университетом прикладных наук Граубюндена - Университетом прикладных наук Граубюндена. В: Университет прикладных наук Граубюндена - Университет прикладных наук Граубюндена. Университет прикладных наук Граубюнден, доступ к 26 августа 2021 года . 
99. ^ ^{A b} Ян Хендрик Брюинье, Жерар ван дер Гир, Гюнтер Хардер, Дон Загир: 1-2-3 модульных форм. Лекции в летней школе в Нордфьордейде, Норвегия, Шпрингер-Верлаг, Берлин / Гейдельберг, стр. 84.
100. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том II: Аналитические и современные инструменты. Springer, 2007, с. 223.
101. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, стр. 591-593.
102. ^ ^{А б} Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 591.
103. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 532.
104. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 595.
105. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, стр. 592-593.
106. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, стр. 593-594.
107. ^ Анри Коэн: Теория чисел. Том I: Инструменты и диофантовы уравнения. Springer, 2007, с. 593.
108. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 34-35.
109. ^ ^{A b} Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 48.
110. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 49.
111. ^ Эрве Жаке, Роберт П. Ленглендс: автоморфные формы на GL (2). Конспект лекций по математике, том 143, Springer-Verlag, Берлин / Нью-Йорк, 1970.
112. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 51.
113. ^ Анри Дармон: Рациональные точки на модульных эллиптических кривых. Серия региональных конференций по математике, Американское математическое общество, номер 101, стр. 52.
114. ^ Анри Дармон, Шоу-Ву Чжан (ред.): Очки Хегнера и ранжирование L-серии. Издательство Кембриджского университета, 2004 г., стр. Xii.
115. ^ Анри Дармон, Шоу-Ву Чжан (ред.): Очки Хегнера и ранжирование L-серии. Издательство Кембриджского университета, 2004 г., стр. Xiii.