Внешняя поверхность

В боковой поверхности или короткое пальто называется геометрией части поверхности определенного тела . В данной статье рассматривается боковая поверхность тел вращения , включая цилиндр , конус и усеченный конус . Для внешней поверхности невращающихся твердых тел ссылка делается на соответствующий артикул (см., Например, пирамиду и призму ). «Нижняя часть» ( базовая область ) и «крышка» (верхняя область) корпуса, если они есть, обычно не считаются «оболочкой» (внешней поверхностью) и иногда называются «торцевыми поверхностями».

Наружная поверхность цилиндра, конуса и усеченного конуса может быть представлена двумерно в виде «раскатывания» или « разматывания ». В этих случаях для расчета площади достаточно простых геометрических формул. Общее правило для тел вращения является то , что их внешняя поверхность создается путем вращения график в функции вокруг оси координат. При таком подходе для вычисления площади требуется интегральное исчисление .

Боковая поверхность кругового цилиндра

Прямой круговой цилиндр с развернутой внешней поверхностью

Синяя область на соседнем рисунке соответствует внешней поверхности показанного круглого цилиндра . Это может быть создано путем вращения постоянной функции вокруг координатной оси.

Интересно, что внешняя поверхность цилиндра, которая может удерживать в себе сферу (радиус цилиндра = радиус сферы и высота цилиндра ), соответствует поверхности сферы. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h = 2r}$

Боковая поверхность конуса

См. Также конус (геометрия) # боковая поверхность .

Боковая поверхность усеченного конуса

Усеченный конус и развитая боковая поверхность.

Пунктирная область на соседнем изображении соответствует внешней поверхности показанного усеченного конуса , если смотреть сверху . Это можно создать, вращая прямую линию вокруг оси координат.

Вывод

Пусть это будет площадь поверхности всего конуса, площадь поверхности малого конуса и площадь поверхности усеченного конуса, тогда вычисляется площадь поверхности усеченного конуса. ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {G}} \}$ ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {H}} \}$ ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {KS}} \}$ ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {KS}} \}$ ${\ Displaystyle M _ {\ mathrm {KS}} = M _ {\ mathrm {G}} -M _ {\ mathrm {H}} \}$

Теперь мы также называем те , которые уже изложен в эскизном переменном , простирающейся высоту наконечника с и простирающейся боковой длиной кончика конуса . ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle m \}$ ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {x}} \}$

Затем вы можете использовать это обозначение для проверки

{\ displaystyle (1) ~~ M _ {\ mathrm {KS}} = M _ {\ mathrm {G}} -M _ {\ mathrm {H}} = \ pi r (m + s _ {\ mathrm { x}}) - \ pi Rs _ {\ mathrm {x}}}

( Примечание к формулам для и : следующее относится к площади сегмента круга, а из которого следует для дуги сегмента . Формулы для и результат, адаптированные к данным переменным конуса (см. Рисунок в усеченном виде конус справа, развитая боковая поверхность).) ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {G}} \}$ ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {H}} \}$ ${\ displaystyle A = \ pi r ^ {2} {\ alpha \ over 360 ^ {\ circ}} \}$ ${\ displaystyle b = 2 \ pi r {\ alpha \ over 360 ^ {\ circ}} = \ pi r {\ alpha \ over 180 ^ {\ circ}} \}$ ${\ displaystyle A = {1 \ более 2} br \}$ ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {G}} \}$ ${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {H}} \}$

С помощью наборов лучей к следующему соотношению происходит внутри конуса для назад: . ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {x}} \}$ ${\ displaystyle {(m + s _ {\ mathrm {x}}) \ over s _ {\ mathrm {x}}} = {r \ over R} \ Leftrightarrow R (m + s _ {\ mathrm {x}) }) = rs _ {\ mathrm {x}} \ Rightarrow s _ {\ mathrm {x}} = {Rm \ over rR} \}$

Вставив в один, наконец, получаем ${\ displaystyle s _ {\ mathrm {x}} \}$ ${\ Displaystyle (1) \}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} M _ {\ mathrm {KS}} & = & \ pi (rm + r ({Rm \ over rR}) - R ({Rm \ over rR})) \\ & = & \ pi (rm + {rRm \ over rR} - {{R} ^ {2} m \ over rR}) \\ & = & \ pi m (r + {R (rR) \ over rR}) \\ & = & \ pi (r + R) m \ end {matrix}} \}$

Расчет площади по правилу Гульдина

С помощью первого правила Гульдина также легко вычислить площадь: ${\ Displaystyle M = L \ cdot 2 \ pi R}$

${\ displaystyle L}$ - длина образующей ( поверхностная линия ) и - положение ее центра тяжести ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle {\ frac {r _ {\ mathrm {1}} + r _ {\ mathrm {2}}} {2}}.}$

Вставка приводит к внешней поверхности усеченного конуса ${\ displaystyle M = \ pi \ cdot m \ cdot (r _ {\ mathrm {1}} + r _ {\ mathrm {2}}).}$

Расчет боковой поверхности тела вращения

График функции , поверхность линии, вращается вокруг оси х. Теперь площадь поверхности этой линии ищем в области от до . ${\ displaystyle f \ двоеточие [a, b] \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle x_ {1} = а}$ ${\ displaystyle x_ {2} = b}$

Вращение вокруг оси x

{\ displaystyle M = 2 \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x}

Объяснение:

Один представляет себе вращающееся тело перед и состоят из по оси х выровненных дисков, каждый из которых имеет усеченный конус к длине боковой и радиусам и представляют. Сумма площадей усеченных конусов (см. Выше) затем образует всю площадь поверхности. ${\ displaystyle \ Delta L}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {2}}$

{\ displaystyle M = \ sum _ {i} \ pi \ cdot \ Delta L_ {i} \ cdot (r_ {1i} + r_ {2i}).}

Линейный элемент вращающейся функции задается теоремой Пифагора как ${\ displaystyle \ Delta L_ {i}}$ ${\ displaystyle f (x)}$

{\ displaystyle \ Delta L_ {i} = {\ sqrt {(\ Delta x_ {i}) ^ {2} + (\ Delta y_ {i}) ^ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ Delta y_ {i}} {\ Delta x_ {i}}} \ right) ^ {2}}} \ Delta x_ {i}.}

При переходе границы к интегральному (все больше и больше и одновременно соответственно более тонких дисков усеченного конуса) становятся и можно записать ${\ displaystyle r_ {1i} = r_ {2i} = f (x_ {i})}$

{\ displaystyle M = \ pi \ sum _ {i} 2 \ cdot f (x_ {i}) \ cdot {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ Delta y_ {i}} {\ Delta x_ { i}}} \ right) ^ {2}}} \ Delta x_ {i} \ rightarrow 2 \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1 + f '(x ) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x.}

Вращение вокруг оси Y

Здесь применимо следующее:

{\ Displaystyle M = 2 \ pi \ cdot \ int _ {\ min (f (a), f (b))} ^ {\ max (f (a), f (b))} x {\ sqrt {1 + (х ') ^ {2}}} \, \ mathrm {d} y}

с , д. ЧАС. после того, как разрешено и . ${\ Displaystyle х = е ^ {- 1} (у)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x '= {\ frac {dx} {dy}}}$

Languages