Тело революции

Тело вращения находится в геометрии в теле под названием его поверхность путем вращения порождающей кривой вокруг оси вращения формируются (см поверхности вращения ). Ось вращения также называют осью фигуры . Кривая лежит в одной плоскости, а ось лежит в той же плоскости. Известным телом вращения является тор . Он образован вращением круга . Также вращающимся корпусом являются конусы и цилиндры .

Объем и поверхность рассчитываются с использованием так называемых правил Гулдин в (названные в честь математика и астронома Гульдин ). Уже в древности они были известны как барицентрические правила или центробарические правила и были описаны греческим математиком Паппом из Александрии .

Расчет объема тела вращения

Если образующая кривая пересекает ось вращения, следует рассмотреть, следует ли учитывать соответствующие частичные объемы как положительные или отрицательные вклады в общий объем.

Вращение вокруг оси x

Для тела вращения, которое возникает в результате вращения области, ограниченной графиком функции в интервале , оси -оси, двух прямых линий и вокруг оси -оси, формула вычисления объема выглядит следующим образом: ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle x = b}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle V = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} (f (x)) ^ {2} \ mathrm {d} x}$

Вращение вокруг оси Y

1-й случай: «дисковая интеграция»

При вращении (вокруг оси-оси) области, которая ограничена графиком функции в интервале , осью-осью и двумя прямыми линиями и , необходимо преобразовать в обратную функцию . Это существует, когда оно непрерывно и строго монотонно . Если нет (как, например, на картинке вверху справа), его, возможно, можно разбить на секции, каждая из которых является непрерывной и строго монотонной. Затем необходимо отдельно рассчитать и сложить объемы, принадлежащие этим разделам. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle у = е (а)}$${\ Displaystyle у = е (Ь)}$${\ Displaystyle у = е (х)}$ ${\ Displaystyle х = е ^ {- 1} (у)}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle В = \ пи \ CDOT \ int _ {\ мин (е (а), е (б))} ^ {\ макс (е (а), е (б))} (е ^ {- 1} (y)) ^ {2} \ mathrm {d} y}$

Если вы замените здесь , вы получите объем вокруг оси -оси ${\ Displaystyle х = е ^ {- 1} (у)}$${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle V = \ pi \ cdot \ int _ {\ min (f (a), f (b))} ^ {\ max (f (a), f (b))} x ^ {2} \ mathrm {d} y = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} x ^ {2} \ cdot \ left | f '(x) \ right | \ mathrm {d} x}$.

Абсолютное значение и функции min / max в пределах интеграла обеспечивают положительный интеграл. ${\ displaystyle f '}$

2-й случай: «интеграция оболочки» (цилиндрический метод)

Для вращения (вокруг оси -оси) области, которая ограничена графиком функции в интервале , -осью и двумя прямыми линиями и , применяется следующая формула: ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle x = b}$

${\ Displaystyle V = 2 \ pi \, \ int _ {a} ^ {b} x \, f (x) \, \ mathrm {d} x}$

Гулдинские правила

Два правила Гульдина, названные в честь швейцарского математика Поля Гулдина , значительно сокращают вычисления поверхности и объема вращающихся объектов , если центр тяжести линий или площадей вращающихся объектов можно легко распознать с помощью симметрии соответствующей задачи. (см. примеры ниже).

Обозначения:

${\ displaystyle M}$ = Поверхность

${\ displaystyle V}$ = Объем

${\ displaystyle L}$ = Длина образующей (линия профиля)

${\ displaystyle A}$ = Площадь генерирующей области

${\ displaystyle R}$ = Радиус окружности центра тяжести

${\ displaystyle r}$ = Радиус вращающейся окружности (примеры торов)

Первое правило

Площадь в боковой поверхности твердого тела вращения, ось вращения не пересекает образующая равна произведению длины образующей линии (линии профиля) и окружности (центр тяжести круга), который создается вращением центра тяжести линии профиля: ${\ displaystyle M}$

${\ Displaystyle M = L \ cdot 2 \ pi R}$

Выраженная как функция функции образующей, площадь получается как: ${\ displaystyle f}$

При вращении вокруг оси x

${\ displaystyle M = 2 \ pi \ int _ {a} ^ {b} f (x) {\ sqrt {1+ \ left [f '(x) \ right] ^ {2}}} \ mathrm {d} Икс}$

С , как координата линия центра тяжести линии и ее линейный элемент может быть найдена ${\ displaystyle \ textstyle R = y_ {s} = {\ frac {1} {L}} \ int _ {L} y \ mathrm {d} L}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ mathrm {d} L}$

${\ displaystyle M = L \ cdot 2 \ pi R = L \ cdot 2 \ pi \ cdot {\ frac {1} {L}} \ int _ {L} f (x) \ mathrm {d} L = 2 \ пи \ int _ {L} f (x) \ mathrm {d} L}$,

что и представляет собой результат выше, если пределы интервала все еще используются. ${\ displaystyle \ textstyle \ mathrm {d} L = {\ sqrt {(\ mathrm {d} x) ^ {2} + (\ mathrm {d} y) ^ {2}}} = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle [а, б]}$

При вращении вокруг оси Y

${\ Displaystyle M = 2 \ pi \ int _ {\ min (f (a), f (b))} ^ {\ max (f (a), f (b))} f ^ {- 1} (y ) {\ sqrt {1+ \ left [\ left (f ^ {- 1} (y) \ right) '\ right] ^ {2}}} \ mathrm {d} y}$

Как и в случае с вычислением объема выше, расчет для непрерывных и строго монотонных участков, в которых существует обратная функция, также должен выполняться отдельно. ${\ displaystyle f (x)}$

Пример: поверхность вращающегося тора :

${\ Displaystyle M = 2 \ pi r \ cdot 2 \ pi R = 4 \ pi ^ {2} rR}$

См. Также: боковая поверхность

Второе правило

Объем тела вращения равен произведению площади образующей поверхности и длины окружности круга, которое создается вращением центра тяжести этой поверхности:

${\ Displaystyle V = A \ cdot 2 \ pi R}$

Далее рассматривается вращение поверхности вокруг оси; случай наклоненной оси вращения может быть достигнут посредством преобразования координат. В случае вращения вокруг оси х поверхностей между , по оси абсцисс и пределами и результатами в объеме , выраженном использование в качестве центроида ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х = а}$${\ displaystyle x = b}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle V = A \ cdot 2 \ pi {\ tfrac {1} {A}} \ int _ {A} y \ mathrm {d} A = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} ( f (x)) ^ {2} \ mathrm {d} x}$

с и . ${\ Displaystyle у = {\ tfrac {е (х)} {2}}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} A = е (х) \ mathrm {d} x}$

Пример: Объем вращающегося тора:

${\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} \ cdot 2 \ pi R = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}$

Параметрическая форма

Если кривая определяется ее параметрической форме в интервале , то объемы по тел , созданных путем вращения кривой вокруг оси х или оси у определяются${\ Displaystyle (х (т), у (т))}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ displaystyle V_ {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ pi y ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \, \ mathrm {d} t}$

${\ displaystyle V_ {y} = \ int _ {a} ^ {b} \ pi x ^ {2} \, {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \, \ mathrm {d} t}$

Площадь поверхности этих тел определяется выражением

${\ displaystyle M_ {x} = \ int _ {a} ^ {b} 2 \ pi y \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}) } \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t}$

${\ displaystyle M_ {y} = \ int _ {a} ^ {b} 2 \ pi x \, {\ sqrt {\ left ({\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}) } \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t}$

Правило ствола Кеплера

Правило бочки Кеплер дает

${\ displaystyle V = {\ frac {h} {6}} \ cdot \ left (q (0) + 4q \ left ({\ frac {h} {2}} \ right) + q (h) \ right) }$

в качестве приближения для объема в теле которого площадь поперечного сечения , как известно в трех местах. Если тело является телом вращения, для вращения вокруг оси применяется следующее : ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle V = \ pi \ cdot \ int _ {a} ^ {b} (f (x)) ^ {2} \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle \ приблизительно \ pi {\ frac {ba} {6}} \ cdot \ left ((r (a)) ^ {2} +4 \ left (r \ left ({\ frac {a + b} { 2}} \ right) \ right) ^ {2} + (r (b)) ^ {2} \ right)}$

Для определенных тел вращения, таких как сфера , конус , усеченный конус , цилиндр , параболоид , гиперболоид вращения и сфероид, это Формула , точный объем .

Смотри тоже

• Поверхность революции
• Пуля
• конус
• Усеченный конус
• цилиндр
• Параболоид революции
• Вращательный гиперболоид
• Эллипсоид вращения

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Курт Магнус: Волчок . Теория и приложения. Springer, Берлин, Гейдельберг 1971, ISBN 978-3-642-52163-8 , стр. 44 . 
2. ^ Илья Н. Бронштейн, Константин А. Семенджев: Taschenbuch der Mathematik . 20-е издание. Тойбнер; Наука, Лейпциг; Москва 1981, с. 369 f . (XII, 860). 
3. ↑ А. К. Шарма: Применение интегрального исчисления . Издательство Discovery, 2005, ISBN 81-7141-967-4 , стр. 168.
4. ^ Равиш Р. Сингх: инженерная математика , 6-е. Издание, Тата МакГроу-Хилл, 1993, ISBN 0-07-014615-2 , стр. 6.90.

веб ссылки

• Литература о телах революции в каталоге Немецкой национальной библиотеки
• Ронни Харбич: тело революции. ( Памятка от 15 марта 2011 г. в Интернет-архиве ). В: Uni-Magdeburg.de. 2003 (PDF; 948 kB).