Справочник по геометрии

${\ Displaystyle {\ sqrt [{п}] {х}}}$

Эта статья представляет собой сборник формул по геометрии . Используются математические символы, которые описаны в статье « Список математических символов» .

Коллекция формул для евклидовой геометрии является частью коллекции формул , которая также содержит формулы из других отделов.

Идентификаторы и варианты написания

В подавляющем большинстве случаев:

1. Точки обозначаются заглавными латинскими буквами .${\ Displaystyle (А, В, С, \ ldots)}$
2. Такие линии, как прямые, сегменты и дуги, помечаются строчными латинскими буквами .${\ Displaystyle (а, б, с, \ ldots)}$
3. Углы обозначены строчными греческими буквами .${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета, \ гамма, \ ldots)}$

Далее углы даются в градусах.

Геометрия на плоскости

Основы

угол

Вторичный угол Сумма вторичных углов всегда составляет 180 °. ${\ Displaystyle \ альфа + \ бета = 180 ^ {\ circ}}$
Угол при вершине Углы при вершинах всегда одинаковые. ${\ Displaystyle \ альфа = \ бета}$
Угол шага Углы ступеней при параллельном разрезе всегда одинаковы.
Переменный угол Переменные углы на параллелях резки всегда одного размера.
Внешний угол В треугольнике внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов.
Суммы углов Сумма внутренних углов в треугольнике всегда 180 °. Сумма внутренних углов в углу всегда равна${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (п-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$ Сумма внешних углов в выпуклом углу всегда равна 360 ° (независимо от количества углов ).${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Деление маршрута

Соотношение деления: чтобы разделить линию в определенном соотношении (на равные части), сначала рисуется произвольный луч, от которого не параллелен . На этом можно преодолеть любые расстояния. Соедините полученную конечную точку с и проведите параллели через точки, полученные при разделении . Их пересечения с частями в равных частях. ${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle BC}$${\ displaystyle AC}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle AB}$${\ displaystyle n}$

Площади и периметры

Треугольник со стандартным названием

Стандартное название треугольников:

Краеугольные камни

${\ displaystyle A, B}$и . Угол - это точка встречи одинаковых сторон в равнобедренном треугольнике и вершина прямого угла в прямоугольном треугольнике .${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$

страницы

${\ displaystyle a}$сторона, противоположная углу , то же самое относится к и . В случае равностороннего треугольника все стороны отмечены значком .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a}$

угол

${\ displaystyle \ alpha}$это (внутренний) угол в углу , угол в углу и угол в углу .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle C}$

фигура	Площадь А	Объем U	Комментарий, прочее
треугольник
Общий треугольник	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} gh = {\ frac {1} {2}} bc \ sin \ alpha}$ ${\ displaystyle = {\ frac {abc} {4R}} = к \ cdot r}$ ${\ displaystyle = {\ sqrt {k (ka) (kb) (kc)}}}$	${\ displaystyle a + b + c}$	Последняя формула называется теоремой Герона . - половина окружности, окружного радиуса и радиуса вписанной окружности . ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$
Равносторонний треугольник	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} а ^ {2} {\ sqrt {3}}}$	${\ displaystyle 3 \ cdot a}$	Все страницы одинаковой длины. Все углы одинакового размера (60 °). Контурные линии = оси симметрии = биссектриса = биссектриса = срединная нормаль
Равнобедренный треугольник	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} c {\ sqrt {a ^ {2} - {\ frac {1} {4}} c ^ {2}}}}$	${\ displaystyle 2a + c}$	Две стороны одинаковой длины ( ножки и ); третья сторона называется основанием. Два основных угла ( и ) равны. Контурная линия через точку делит угол и основание пополам . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle c}$
Прямоугольный треугольник	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} от}$	${\ displaystyle a + b + c}$	${\ Displaystyle \ гамма = \ альфа + \ бета = 90 ^ {\ circ}}$. Гипотенуза = самая длинная сторона = сторона, противоположная углу 90 °. Катеты = стороны, образующие прямой угол. Применяется группа предложений Пифагора (см. Ниже)
квадрат
квадрат	${\ displaystyle a ^ {2}}$	${\ displaystyle 4 \ cdot a}$	диагональ ${\ displaystyle d = a \ cdot {\ sqrt {2}}}$
прямоугольник	${\ displaystyle a \ cdot b}$	${\ Displaystyle 2 \ cdot (а + б)}$	диагональ ${\ displaystyle d = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$
Ромб (ромб)	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ef = a ^ {2} \ cdot \ sin \ alpha}$	${\ displaystyle 4 \ cdot a}$	${\ displaystyle e, f}$= Диагонали, = любой внутренний угол. ${\ displaystyle \ alpha}$
параллелограмм	${\ Displaystyle а \ cdot h_ {а}}$	${\ Displaystyle 2 \ cdot (а + б)}$	${\ displaystyle h_ {a}}$высота в сторону . ${\ displaystyle a}$
Трапеция	${\ displaystyle m \ cdot h = {\ frac {1} {2}} (a + c) \ cdot h}$	${\ displaystyle a + b + c + d}$	${\ displaystyle a, c}$= параллельные стороны, = центральная линия ${\ Displaystyle м = {\ tfrac {1} {2}} (а + с)}$
симметричный кайт (дельтовидная)	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} ef}$	${\ Displaystyle 2 \ cdot (а + б)}$	${\ displaystyle e, f}$ = Диагонали.
Сухожилие четырехугольника	${\ displaystyle {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}}}$ ${\ Displaystyle = {\ гидроразрыва {е \ cdot (ab + cd)} {4R}} = {\ frac {f \ cdot (ad + bc)} {4R}}}$	${\ displaystyle a + b + c + d}$	Квадрат с периметром , радиусом периметра , половинным периметром; Диагональ: ,${\ displaystyle R}$${\ displaystyle = {\ frac {1} {4A}} {\ sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (ad + bc)}}}$ ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle e, f}$${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {(ac + bd) (ad + bc)} {ab + cd}}}}$ ${\ displaystyle f = {\ sqrt {\ frac {(ab + cd) (ac + bd)} {ad + bc}}}}$
Касательный квадрат	${\ Displaystyle г \ CDOT (а + с) = г \ CDOT (б + г)}$	${\ displaystyle a + b + c + d}$	Четырехугольник с вписанной окружностью и радиусом вписанной окружности . Это относится${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle a + c = b + d}$
Полигоны
Правильный многоугольник	${\ displaystyle {\ frac {n \ cdot r _ {\ mathrm {u}} ^ {2} \ cdot \ sin {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}}} {2}}}$ ${\ displaystyle = n \ cdot r _ {\ mathrm {i}} ^ {2} \ cdot \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}}$ ${\ displaystyle = {\ frac {n \ cdot l _ {\ mathrm {k}} ^ {2} \ cdot \ cot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}} {4}}}$	${\ displaystyle 2 \ cdot n \ cdot r _ {\ mathrm {u}} \ cdot \ sin {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}}$ ${\ displaystyle = 2 \ cdot n \ cdot r _ {\ mathrm {i}} \ cdot \ tan {\ frac {180 ^ {\ circ}} {n}}}$ ${\ displaystyle = п \ cdot l _ {\ mathrm {k}}}$	${\ displaystyle n}$ - количество углов ${\ displaystyle r_ {u}}$- радиус периметра, d. ЧАС. Расстояние от центра до угла ${\ displaystyle r_ {i}}$- радиус вписанной окружности, d. ЧАС. Расстояние от центра до центра страницы ${\ displaystyle l_ {k}}$ - Длина ребра одной стороны многоугольника
круг
круг	${\ displaystyle \ pi \ cdot r ^ {2} = {1 \ over 4} \ cdot \ pi \ cdot d ^ {2}}$	${\ displaystyle 2 \ cdot \ pi \ cdot r = \ pi \ cdot d}$	Это означает , в числе круга . ${\ Displaystyle \ pi = 3 {,} 14159 \ ldots}$
Круглое кольцо	${\ Displaystyle \ pi \ cdot (R ^ {2} -r ^ {2})}$	${\ displaystyle 2 \ cdot \ pi \ cdot (R + r)}$	${\ displaystyle R}$= Внешний радиус, = внутренний радиус ${\ displaystyle r}$
Раздел круга	${\ displaystyle \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot {\ alpha \ over 360 ^ {\ circ}} = {\ frac {1} {2}} r ^ {2} \ cdot \ varphi}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ cdot b \ cdot r}$	${\ displaystyle \ pi \ cdot r \ cdot {\ alpha \ over 180 ^ {\ circ}} + 2r = r (\ varphi +2)}$	b = (угол в радианах) ${\ displaystyle \ pi \ cdot r \ cdot {\ alpha \ over 180 ^ {\ circ}} = r \ cdot \ varphi; \ quad \ varphi = \ alpha \ cdot {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}}}$
Сегмент круга	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}} г ^ {2} \ cdot (\ varphi - \ sin \ varphi)}$	${\ displaystyle r \ cdot \ left (2 + {\ sqrt {2-2 \ cos \ varphi}} \ right)}$	${\ displaystyle \ varphi = \ alpha \ cdot {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}}}$ (Угол в радианах)
Конические секции
эллипс	${\ displaystyle \ pi from}$ ${\ displaystyle = {\ frac {1} {4}} \ pi \ cdot D \ cdot d}$	${\ displaystyle 4a \ int \ limits _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ sqrt {1- \ varepsilon ^ {2} (\ sin t) ^ {2}}} \ \ mathrm {d} t = 4a \; E (\ varepsilon)}$	Набор точек, для которых сумма двух расстояний до двух заданных точек (фокальных точек) постоянна ( ). Объем не может быть задан элементарными функциями (→ эллиптический интеграл). D, d большого и малого диаметра. Декартовы координаты:${\ displaystyle 2a}$${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$
гипербола	Нет закрытой территории	Не замкнутая кривая	Набор всех точек, для которых абсолютная разница расстояний до фокальных точек постоянна 2a. Декартовы координаты:${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$
парабола	Нет закрытой территории	Не замкнутая кривая	Набор всех точек, расстояние от которых до специальной фиксированной точки (фокусной точки) и специальной прямой (направляющей l) постоянно. Декартовы координаты: . ${\ displaystyle y ^ {2} = 2px \,}$

Геометрия треугольника

Отличные баллы

Биссектриса и фокус

• Биссектриса (средние линии)
  • делят друг друга в соотношении 2: 1.
  • пересекаются в точке, центре тяжести S треугольника.
  • разделите треугольную область на две равные большие части.

• Пересечение перпендикулярных линий ( середина нормалей ) = центр окружности .

Биссектриса и вписанный круг

• Пересечение биссектрисы = центр вписанной окружности .

Высоты

• Контурные линии
  • пересекаются в точке H, пересечении треугольника.
  • Высота ч _с нормальным расстояние от точки С к стороне с ( под прямым углом на D).

Группа предложений Пифагора

• теорема Пифагора

  В прямоугольном треугольнике площадь квадрата над гипотенузой равна сумме площадей квадратов над катетом.
  Если и - длины катета и длина гипотенузы, то: ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$

  ${\ Displaystyle а ^ {2} + b ^ {2} = с ^ {2} \,}$

• Набор катетеров

  В прямоугольном треугольнике квадрат над катетом по площади равен прямоугольнику от гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
  Следующее относится к обозначениям на рисунке ниже:

  ${\ displaystyle a ^ {2} = p \ cdot c, \ b ^ {2} = q \ cdot c}$

• Скорость

  В прямоугольном треугольнике квадрат над высотой гипотенузы имеет ту же площадь, что и прямоугольник из сечений гипотенузы.
  Следующее относится к обозначениям на рисунке ниже:

  ${\ displaystyle h ^ {2} = q \ cdot p}$

  

Неравенство треугольника

Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.

Теоремы сравнения и подобия

Два треугольника конгруэнтны или совпадают, если они совпадают в

1. три стороны (sss)
2. две стороны и включенный угол (sws)
3. две стороны и противоположный угол длинной стороны (Ssw)
4. одна сторона и два смежных угла (WSW)

Хотя два треугольника похожи

1. три пары соответствующих сторон имеют одинаковое соотношение
2. две пары соответствующих сторон имеют одинаковое отношение, и углы, заключенные между этими сторонами, совпадают
3. две пары соответствующих сторон имеют одинаковое соотношение, а противоположные углы более длинных сторон совпадают
4. соответствовать двум углам

Теоремы лучей

1. Теорема о лучах: если два луча пересекаются двумя параллельными прямыми линиями, лучевые секции первого луча находятся в том же соотношении, что и соответствующие секции второго луча.
2. Теорема о лучах: если два луча пересекаются двумя параллельными прямыми линиями, параллельные сечения имеют такое же соотношение, как и соответствующие сечения лучей, измеренные от вершины того же луча.

Геометрия тела

тело	Том V	Поверхность O	Комментарии, прочее
Призмы
Параллелепипед (плюнуть)	${\ Displaystyle G \ cdot h}$	${\ displaystyle 2 \ cdot (ah_ {a} + bh_ {b} + ch_ {c})}$
Кубоид	${\ Displaystyle а \ cdot b \ cdot c}$	${\ displaystyle 2 \ cdot (от + ac + bc)}$	Длина диагонали комнаты ${\ displaystyle = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$
Общая призма	${\ displaystyle A_ {G} \ cdot h}$	${\ Displaystyle 2A_ {G} + A_ {M} \,}$	${\ displaystyle A_ {M}}$ Внешняя поверхность
столбцы
Круглая колонна ( цилиндр )	${\ displaystyle \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h}$	${\ Displaystyle 2 \ пи р \ cdot (г + ч)}$
Полый цилиндр	${\ displaystyle \ pi R ^ {2} h- \ pi r ^ {2} h = \,}$ ${\ Displaystyle \ пи час (р + г) (рр) \,}$	${\ Displaystyle 2 \ pi ((R + r) час + R ^ {2} -r ^ {2}) \,}$	${\ displaystyle R, r}$ Снаружи, внутри радиуса ${\ displaystyle M _ {\ text {за пределами}} = 2 \ pi Rh}$ ${\ displaystyle M _ {\ text {внутри}} = 2 \ pi rh}$
пирамида
Генеральная пирамида	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} A_ {G} h}$	${\ Displaystyle A_ {G} + A_ {M} \,}$
Усеченная пирамида	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} h \ left (A_ {G} + {\ sqrt {A_ {G} A_ {D}}} + A_ {D} \ right)}$	${\ Displaystyle A_ {G} + A_ {D} + A_ {M} \,}$	${\ displaystyle A_ {G}}$Верхняя часть базовой области ${\ displaystyle A_ {D}}$
конус
Круглый конус	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h}$	только для вертикальных конусов: ${\ Displaystyle р \ cdot \ пи \ cdot (г + s)}$	Соотношение между радиусом, высотой и высотой стороны: ${\ displaystyle s ^ {2} = r ^ {2} + h ^ {2} \,}$
прямой усеченный конус	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi h (r_ {1} ^ {2} + r_ {1} r_ {2} + r_ {2} ^ {2})}$	${\ Displaystyle A_ {G} + A_ {D} + A_ {M} \,}$ ${\ displaystyle = \ pi r_ {2} ^ {2} + \ pi r_ {1} ^ {2} + \ pi s (r_ {1} + r_ {2})}$	${\ displaystyle s = \ mathrm {линия поверхности} = {\ sqrt {(r_ {2} -r_ {1}) ^ {2} + h ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ Радиусы
Платоновы тела
Тетраэдр	${\ displaystyle {\ frac {1} {12}} а ^ {3} {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle a ^ {2} {\ sqrt {3}}}$
Шестигранник (куб)	${\ Displaystyle а ^ {3} \,}$	${\ displaystyle 6 \ cdot a ^ {2}}$	Длина диагонали комнаты ${\ displaystyle = a {\ sqrt {3}}}$
октаэдр	${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} а ^ {3} {\ sqrt {2}}}$	${\ displaystyle 2a ^ {2} {\ sqrt {3}}}$
Додекаэдр	${\ displaystyle {\ frac {1} {4}} a ^ {3} (15 + 7 {\ sqrt {5}})}$	${\ displaystyle 3a ^ {2} {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}}$
Икосаэдр	${\ displaystyle {\ frac {5} {12}} a ^ {3} (3 + {\ sqrt {5}})}$	${\ displaystyle 5a ^ {2} {\ sqrt {3}}}$
Мяч и детали шара
Пуля	${\ displaystyle {4 \ over 3} \ cdot \ pi \ cdot r ^ {3} = {1 \ over 6} \ cdot \ pi \ cdot d ^ {3}}$	${\ displaystyle 4 \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2} = \ pi \ cdot d ^ {2}}$
Сферическая крышка ( сферическая крышка , сферическая крышка)		${\ displaystyle 2 \ cdot r \ cdot \ pi \ cdot h}$
Сферический сегмент ( сферический сегмент )	${\ Displaystyle {ч ^ {2} \ cdot \ pi \ over 3} \ cdot (3r-h)}$	${\ displaystyle 2 \ cdot r \ cdot \ pi \ cdot h + \ rho ^ {2} \ pi}$	С участием ${\ Displaystyle \ rho ^ {2} = h \ cdot (2r-h)}$
Сферическая зона ( сферический слой )	${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi \ cdot h (3 \ cdot a ^ {2} +3 \ cdot b ^ {2} + h ^ {2})}$	${\ displaystyle \ pi \ cdot (2 \ cdot r \ cdot h + a ^ {2} + b ^ {2})}$	с = диаметр нижнего режущего круга и = диаметр верхнего режущего круга ${\ displaystyle 2 \ cdot a}$${\ displaystyle 2 \ cdot b}$
Вращающееся тело
Эллипсоид	${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ cdot \ pi \ cdot a \ cdot b \ cdot c \,}$		Полуоси а, б, в
Тор	${\ Displaystyle 2 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r ^ {2}}$	${\ Displaystyle 4 \ pi ^ {2} \ cdot R \ cdot r}$

см. также: подстановка многогранника Эйлера , принцип Кавальери

тригонометрия

см .: Тригонометрия , Сборник формул тригонометрии

Аналитическая геометрия

см .: Аналитическая геометрия , сборник формул аналитической геометрии.