Удвоение куба

Удвоение куба , также известный как проблема Делосы , относится к геометрической задаче данного куба второй куба с удвоенным объемом к конструкции . Задача принадлежит к трем « классическим задачам античной математики » и возникла уже в V веке до нашей эры. До н.э. в Древней Греции сформулировано.

Первоначальный куб с длиной ребра (так называемый единичный куб ) имеет объем. Другой куб имеет длину ребра и объем . Новая длина ребра - это кубический корень из , то есть . Это может быть определено как предельное значение подходящих последовательностей , но не может быть построено за конечное число шагов из расстояний 0 и 1 с использованием циркуля и линейки . Если вы попытаетесь поработать над проблемой удвоения куба исключительно с помощью вспомогательных средств, которые Евклид использовал в своих элементах , а именно с помощью циркуля и линейки без опознавательных знаков, решить эту проблему невозможно. Это утверждение может быть переведено на технический язык алгебры , тем самым, наконец, может быть дано математическое доказательство невозможности построения. Одно из таких исследований было впервые выполнено французским математиком Пьером Ванцелем в 1837 году. Однако весьма вероятно, что Карл Фридрих Гаус уже знал доказательство ранее, но не записал его. ${\ displaystyle a = 1}$${\ Displaystyle V = 1 ^ {3} = 1.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V = x ^ {3} = 2 = 2 \ cdot 1 ^ {3}.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}} = 1 {,} 259921 \ ldots}$

Идентичные проблемы возникают, когда объем куба увеличивается в 3, 4, 5, 6 и 7 раз от исходного объема. С другой стороны, задача, например, восьмикратного увеличения объема не является проблемой, потому что кубический корень из 8 может быть вычислен без каких-либо проблем, а результирующее удвоение длины ребра легко сделать.

Если ограничение ослаблено и допускается дополнительная помощь, например, соответствующие отметки на линейке или специальные кривые, то возможно построение куба с удвоенным объемом. Соответствующие процессы были известны еще в древности .

История с древности

Куб с длиной ребра имеет вдвое больший объем, чем единичный куб с${\ Displaystyle а = {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ displaystyle a = 1.}$

Самым важным древним источником об удвоении куба является комментарий покойного античного автора Евтокиоса к работе Архимеда «О сфере и цилиндре» (« Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου Peri sphairas kai kylindrou »), в котором различные подходы древних математиков собраны. Среди прочего, там дословно цитируется письмо ученого Эратосфена (около 275-194 гг. До н.э.) царю Птолемею (вероятно, Птолемею III или Птолемею IV ), которое, как теперь доказано, является подлинным воспроизведением исходного письма и в который ученый обращается к правителю по вопросу об удвоении игральных костей. В качестве старейшего доказательства этой математической проблемы Эратосфен цитирует «одного из старых поэтов- трагедий» (« τῶν ἀρχαίων τινὰ τραγῳδοποιῶν tōn archaiōn tina tragōdopoiōn »), в работе которого мифический царь Минос дважды построил гробницу своего сына Глаукуку. как первый набросок, но сохраните форму куба. Из трех важных афинских поэтов-трагедий V века до н.э. До н.э. - Эсхил , Софокл и Еврипид  - мы знаем, что они взяли легенду о Миносе и Главке в одном из своих произведений; однако не исключено, что это цитата из трагедии совершенно другого поэта.

Альтернативное название «Delisches Problem» восходит к эпизоду, который Эратосфен также цитирует в своем письме, но который также описывается различными другими древними авторами (включая Плутарха и Теона Смирнского ) и который, с точки зрения древних ученых, является Основанный на реальном историческом событии, может: жители острова Делос попросили у оракула совета во время серьезной эпидемии о том, что они могут сделать, чтобы улучшить свое положение. Оракул велел им  увеличить вдвое размер кубического алтаря в храме Аполлона на острове, то есть его объем . Однако делосские архитекторы не понимали, как это можно сделать на самом деле, и затем попросили совета у Платона (428 / 427–348 / 347 до н.э.). Он направил их к Архиту из Таранто , Евдоксу из Книдоса и Менахмосу , каждый из которых открыл разные подходы к решению. Однако, согласно Плутарху, Платон критиковал их подходы, потому что, по его мнению, с помощью механических методов они разрушают «добро» и элегантность геометрии. Интересно, что в комментарии Евтокия к Архимеду Платон также приписывает собственное механическое решение проблемы Делика (см. Раздел «Механический метод Платона» ). Если не иметь в виду Платона, отличного от известного философа, преобладающее мнение исследователей предполагает, что это неправильная атрибуция.

Подобные проблемы со строительством алтарей (но с проблемой удвоения квадрата вместо куба) существовали в ведические времена в Индии, и они вызвали математические дискуссии ( Сульбасутры ). С помощью квадрата проблему удвоения можно решить с помощью теоремы Пифагора .

Старинные решения с дополнительными инструментами

• Гиппократ Хиосский (вторая половина V века до нашей эры) первым продемонстрировал решительный подход к теоретическому решению проблемы. Он обнаружил: проблема удвоения куба эквивалентна задаче определения двух средних пропорций двух величин . Это означает, что для маршрута мы ищем два маршрута и поэтому${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {x}} = {\ frac {x} {y}} = {\ frac {y} {2a}}.}$

Это влечет за собой .${\ Displaystyle х = {\ sqrt [{3}] {2}} \ cdot a}$

• Архит Тарантский (435 / 410–355 / 350 до н.э.) был первым, кто реализовал вышеупомянутую теорему Гиппократа с помощью кривой, названной в его честь; описано в разделе Кривая архита .
• Платон (428 / 427–348 / 347 до н.э.) был назван Евтокиосом первым, кто нашел механический метод решения удвоения куба . Как уже было сказано выше, это решение не должно исходить от него.
• Сообщается, что Евдокс (397 / 390–345 / 338 до н.э.) нашел решение, построив две средние пропорции с помощью неизвестных кривых и их точек пересечения.
• Menaichmos (около 380-320 г. до н.э.) найдены два решения: одно , в котором парабола пересекаются с помощью гиперболы , а второй, подробно описано в разделе Использование параболы , как пересечение двух парабол.
• Эратосфен (около 278–194 до н.э.) описывает в своем письме царю Птолемею после его введения в историю делосской проблемы свой собственный «механический метод» с использованием аппарата, который он назвал «мезолабе».
• Диоды (.. в 240–180 гг. До н.э.) использовали названные в его честь цизоиды раствора ; описан в разделе Циссоиды Диокла .

Доказательство неразрешимости с помощью циркуля и линейки

История доказательств

По сути, математики древности не просто использовали циркули и линейки для решения задач. Предположение о существовании такой методологической ограниченности оказалось современным мифом. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что задача на самом деле неразрешима, используя только циркуль и линейку. Его доказательство было основано на следующих алгебраических соображениях:

1. В первой части доказательства он утверждает, что, если проблема проектирования может быть решена с помощью линейки и циркуля, «неизвестное значение проблемы может быть получено путем решения серии квадратных уравнений, коэффициенты которых являются рациональными функциями параметров. из этой проблемы и корней предыдущих уравнений».${\ displaystyle p, q, r, ...}$

С "неизвестным о проблеме" з. Б. имел в виду маршрут, который вы ищете. ${\ Displaystyle х = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

2. Затем он показал, что каждое алгебраическое число является решением последнего уравнения системы ${\ displaystyle x_ {n} ^ {0}}$${\ displaystyle x_ {n} ^ {2} + A_ {n-1} x_ {n} + B_ {n-1} = 0}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & x_ {1} ^ {2} + Ax_ {1} + B = 0 \\ & x_ {2} ^ {2} + A_ {1} x_ {2} + B_ { 1} = 0 \\ & \ vdots \\ & x_ {n} ^ {2} + A_ {n-1} x_ {n} + B_ {n-1} = 0 \ end {выровнено}}}$

есть, где коэффициенты всегда находятся в теле путем последовательного присоединения , всегда решается полиномом степени с коэффициентами в . Это решает уравнение и являются заданными параметрами проблемы.${\ displaystyle A_ {m}, B_ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (p, q, r, ..., x_ {1} ^ {0}, ... x_ {m-1} ^ {0})}$${\ displaystyle 2 ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (p, q, r, ...)}$${\ displaystyle x_ {j} ^ {0}}$${\ displaystyle x_ {j} ^ {2} + A_ {j-1} x_ {j} + B_ {j-1} = 0}$${\ displaystyle p, q, r, ...}$

3. Ванцель знал, что каждое алгебраическое число является решением многочлена со степенью двойки, если оно выбрано достаточно большим. Следовательно, его основной результат состоял в том, чтобы показать, что если число требуемых уравнений было сведено к минимуму, полученный многочлен неприводим над .${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (p, q, r, ...)}$

Невозможность построения следует теперь как следствие из предложений 1–3: если бы, начиная с единичного куба, можно было бы построить удвоение куба с помощью циркуля и линейки, то должен был бы существовать нуль неприводимого куба. многочлен со степенью двойки. Многочлен неприводим над , но имеет степень 3. Противоречие. ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (0,1) = \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Следует отметить, что оригинальная публикация Ванцеля рассматривается математиком Йеспером Лютценом как неполная и трудная для понимания - прежде всего это относится к «доказательству» основного предложения 3. После этого Люцен закрыл пробелы, и результаты, как описано выше, сформулированы в современный технический язык. Доказательство Ванцеля о невозможности построения удвоения куба и тройного деления угла с помощью линейки и циркуля было забыто почти на столетие после его публикации в 1837 году. По словам Люцена, «отсутствие дурной славы автора», «тот факт, что некоторые из его современников считали результат известным или даже доказанным», и что «результат не считался важным математическим результатом во время его публикация »движущие причины.

Карл Фридрих Гаус, 1828 г.

Историки сомневаются, что Ванцель был первым, кто узнал об доказательствах , поскольку у молодого Карла Фридриха Гаусса, скорее всего, они были. Большая часть его работы Disquisitiones arithmeticae , опубликованной в 1801 году, посвящена вопросу, каким условиям должно удовлетворять полиномиальное уравнение , чтобы его можно было решить с помощью квадратных радикалов. Там же вы найдете предложения, названные в честь Гаусса, с помощью которых можно продемонстрировать неразрешимость большинства классических задач с помощью циркуля и линейки. С помощью разработанных им методов Гаусс доказал, например, что 17-угольную диаграмму можно построить с помощью циркуля и линейки. Историки математики Кристоф Скриба и Питер Шрайбер объясняют тот факт, что, несмотря на это, Ванцель назван и цитируется многими авторами как создатель предложений, «коммуникативным трудностям» науки XIX века .

На современном техническом языке доказательство представляет собой приложение всеобъемлющей теории Галуа (после Эвариста Галуа , французского математика) и по существу сводится к тому факту, что иррациональное число не может быть выражено целыми числами , а также четырьмя основными арифметическими операциями, а также не квадратными корнями . ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}} = 1 {,} 259921 \ ldots}$

Алгебраическое доказательство

Единичный куб и куб с объемом 2. У этого есть длина стороны.Можно показать, что это число не может быть получено из целых чисел путем конкатенации основных арифметических операций, таких как плюс, умножение, деление или квадратный корень. Последние, однако, представляют собой именно те числа, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с линий 0 и 1.${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}} = 1 {,} 2599210498948732 ...}$

Детальное доказательство невозможности можно провести, используя следующие идеи из алгебры . Пусть имеется набор точек ( комплексных чисел ), содержащих не менее 0 и 1, и произвольная точка . Для этих соображений важно, чтобы комплексные числа можно было понимать как плоскость - в отличие от этого, действительные числа понимаются просто как прямая линия. Затем он применяет , что точка может быть построен из точек с компасом и линейкой , если и только если он находится в теле (здесь находится тело комплексных чисел), который создается за счет придаток квадратного корня из тела ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle E \ подмножество \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle K: = \ mathbb {Q} (M \ cup {\ overline {M}}) \ subset \ mathbb {C}}$

появляется. Грубо говоря, это сумма, которая возникает в результате образования всех сумм, произведений и частных из рациональных чисел . Вот набор комплексно сопряженных к, а символ обозначает объединение двух наборов. Прибавление квадратного корня означает, что должно быть такое, что . Например, сложение квадратного корня из рациональных чисел показывает, что это рациональное число - соответственно, это набор всех сумм, произведений и частных рациональных чисел с этим числом . Когда есть так называемое расширение поля . Проблема удвоения куба с помощью циркуля и линейки может быть сведена к вопросу о том, находится ли число в частичном поле , которое может быть получено путем последовательного сложения квадратных корней. Тем не менее, это означает , что степень расширения в от степени 2 должен быть. Но это ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (М \ чашка {\ overline {M}})}$${\ displaystyle M \ cup {\ overline {M}}}$${\ displaystyle {\ overline {M}} = \ {{\ overline {m}} \ mid m \ in M ​​\}}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle \ чашка}$${\ displaystyle w ^ {2} \ in K}$${\ Displaystyle Е = К (ш)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle ({\ sqrt {2}}) ^ {2} = 2}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle E | K}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

${\ displaystyle [\ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}): \ mathbb {Q}] = 3 \ not = 2 ^ {n} \ qquad {\ text {для всех}} \, n \ in \ mathbb {N},}$

что делает невозможным удвоение куба циркулем и линейкой. То , что расширение тела степени 3 можно увидеть следующим образом : Полином является неприводимым над целыми числами и имеет самый высокий коэффициент 1. Согласно лемме Гаусса, является то уже неприводимым над полем рациональных чисел. Это уже имеет минимальный многочлен от и степень 3. Это приводит к знанию того, что каждый элемент множества , состоящий из всех рациональных чисел, произвольно «смешанных» с кубическим корнем из 2 с помощью основных арифметических операций, является однозначно как рациональные числа могут быть записаны. Например, это ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}) | \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle р (х) = х ^ {3} -2}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle p (x)}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle a + b {\ sqrt [{3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {4}}}$${\ displaystyle a, b, c}$

${\ displaystyle {\ frac {{\ sqrt [{3}] {2}} + 2} {{\ sqrt [{3}] {2}} - 1}} = 4 + 3 \ cdot {\ sqrt [{ 3}] {2}} + 3 \ cdot {\ sqrt [{3}] {4}}.}$

Это становится трёх- мерное векторное пространство над . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Тот же аргумент можно использовать, чтобы показать, что даже умножение куба на натуральный множитель , не являющееся числом куба, не может быть достигнуто с помощью циркуля и линейки. ${\ displaystyle n}$

Геометрические конструкции с механическими приспособлениями

Если вы возьмете другое механическое вспомогательное средство в дополнение к классическим (евклидовым) инструментам, циркулям и немаркированным линейкам, например, специальный механический инструмент или линейку с соответствующей маркировкой, длина ребра куба, необходимая для удвоения куба, теоретически может быть представлена ​​точно.

С помощью отмеченной линейки

Конструкции с помощью так называемой вставки , также известной как конструкции Neusis , используют циркуль, а также линейку, на которую наносится специальная разметка в качестве дополнительного средства.

• Следующая конструкция Нойсиса, которую Генрих Дёрри называет конструкцией из бумажной ленты , является одной из самых известных.

Изображение 1: Конструкция Neusis с отмеченным краем линейки (стороной) стартового куба
${\ displaystyle k =}$

Если обозначить - как показано на рисунке 1 - край (сторону) начального куба значком , сначала будет построен равносторонний треугольник с углами . Затем следует удвоение линии, от которой получается пересечение, и теперь линия от удлиняется. Затем половина линии будет обращено с помощью . Теперь поместите линейку, отмеченную точкой (расстояние от угла до точки соответствует ) на чертеже. Поверните и сдвиньте линейку до тех пор, пока ее угол не окажется на продолжении линии , маркер точки - на продолжении линии, а край линейки не будет проходить через точку . Наконец, соедините точку с${\ displaystyle k}$${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle {\ overline {AC}}}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle D.}$${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle {\ overline {BD}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle Q.}$

Отрезок - это длина края куба, который вы ищете, с удвоенным объемом исходного куба.${\ Displaystyle {\ overline {CQ}} = к \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}}$

• Менее известная конструкция Neusis исходит от Исаака Ньютона (рис. 2), но примечательна своей простотой.

Изображение 2: Конструкция Neusis с отмеченным краем линейки (стороной) стартового куба
${\ displaystyle a =}$
${\ displaystyle a: x = b: y = c: a = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Он начинается с установления вертикальной линии на полупрямой . Угловая опора с угловой шириной на вершине следующим образом . Теперь поместите линейку, отмеченную точкой (расстояние от угла до точки соответствует краю начального куба) на чертеже. Поверните и сдвиньте линейку до тех пор, пока угол линейки не окажется на ножке угла, отметка точки будет на полупрямой линии, а край линейки пройдет через острие . Наконец, соедините точку с Нарисованной точкой только для того, чтобы ее было легче сформулировать в следующем доказательстве.${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle 30 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle E}$

Отрезок - это длина края куба, который вы ищете, с удвоенным объемом исходного куба.${\ Displaystyle {\ overline {AC}} = \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Доказательство правильности

На рисунке 2 показано, что прямоугольные треугольники (синий) и (зеленый) похожи друг на друга из-за угла при вершине ,${\ displaystyle ABC}$${\ displaystyle CDE}$

следовательно, применяется в соответствии с законом 2-го луча

(1) ${\ displaystyle a: x = b: y = c: a,}$

прямоугольный треугольник и касательная${\ displaystyle BDE}$ ${\ displaystyle 30 ^ {\ circ}}$

(2) ${\ displaystyle \ tan \ left (30 ^ {\ circ} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} = {\ frac {\ overline {DE}} {\ overline {BE}} } = {\ frac {x} {b + y}} = {\ frac {a ^ {2}} {b \ left (a + c \ right)}},}$

Части уравнения (2) в квадрате

(3) ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = {\ frac {a ^ {4}} {b ^ {2} \ left (a + c \ right) ^ {2}}},}$

преобразованные результаты

(4) ${\ displaystyle b ^ {2} \ left (a + c \ right) ^ {2} = 3a ^ {4},}$

Прямоугольный треугольник по теореме Пифагора${\ displaystyle ABC,}$

(5) ${\ displaystyle b ^ {2} = c ^ {2} -a ^ {2}}$

Значение (5) вставлено в (4)

(6) ${\ displaystyle \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ left (a + c \ right) ^ {2} = 3a ^ {4}}$

${\ displaystyle = \ left (c ^ {2} -a ^ {2} \ right) \ left (a ^ {2} + 2ac + c ^ {2} \ right)}$

${\ displaystyle = \ left (c ^ {2} a ^ {2} + 2ac ^ {3} + c ^ {4} -a ^ {4} -2a ^ {3} ca ^ {2} c ^ {2 } \ Правильно)}$

преобразованные результаты

(7) ${\ displaystyle 2ac ^ {3} + c ^ {4} = 3a ^ {4} + a ^ {4} + 2a ^ {3} c = 4a ^ {4} + 2a ^ {3} c}$

после упрощения

(8-е) ${\ displaystyle c ^ {3} \ left (2a + c \ right) = 2a ^ {3} \ left (2a + c \ right)}$

это окончательно следует из этого

(9) ${\ displaystyle c ^ {3} = 2a ^ {3}.}$

Прописью:

Объем куба с длиной ребра равен удвоенному объему исходного куба с длиной ребра.${\ displaystyle c ^ {3}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle 2a ^ {3}}$${\ displaystyle a.}$

Определение двух средних пропорций с помощью механического инструмента

Использование двух механических инструментов, описанных ниже, обеспечивает так называемые две средние пропорции и Гиппократа Хиосского. Они нужны для удвоения стартового куба с длиной ребра . Среднее пропорциональное соответствует искомой длине ребра удвоенного куба. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle а \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}}$

• Теорема Гиппократа Хиосского описана в разделе « Построение специальных кривых» .

Платоновский механический метод

Удвоение куба по Платону (схематическая диаграмма), = длина ребра начального куба, и = длина ребра удвоенного куба, анимация в конце 25-секундной паузы.
${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = 2a}$${\ displaystyle x}$

Как упоминалось во введении, Евтокий называет Платона первым, кто использовал следующий метод для решения проблемы удвоения куба. Современные комментаторы отрицают это Платон из-за его яростного неприятие механических средств, но Латтманн в своем исследовании Математическое моделирование у Платона между Фалесом и Евклидом в 2019 году подробно описывает, почему решение можно по праву приписать Платону.

Механический инструмент (без спецификации материала ) имеет вид прямоугольной рамы. Две боковые части рамы перпендикулярны более длинному базовому элементу. Чтобы свободную линейку можно было перемещать точно параллельно своей противоположной стороне, она направляется соответственно в двух боковых частях. Для большей наглядности инструмент показан в супервизоре . На соседнем рисунке использованы оригинальные, частично греческие обозначения точек.

метод

Во-первых, две заданные переменные и нарисованы перпендикулярно друг другу и с продолжением от точки . ${\ displaystyle a = {\ overline {B \ Gamma}}}$${\ displaystyle b = 2a = {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle B}$

Теперь инструмент перемещается по чертежу следующим образом (см. Анимацию), пока не будут найдены две средние пропорции : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Внутренний край базового элемента всегда проходит через точку, и точка всегда лежит на продолжении линии до того, как острие линейки будет наложено на продолжение линии . ${\ displaystyle {\ overline {H \ Theta}}}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ overline {AB}},}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ overline {K \ Lambda}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ Gamma B}}}$

Механический метод Платона,
доказательство

В результате механический инструмент обеспечивает

${\ displaystyle {\ overline {\ Delta E}} = {\ sqrt {y ^ {2} + x ^ {2}}}, \, \, {\ overline {AE}} = {\ sqrt {4a ^ { 2} + y ^ {2}}}, \, \, x = a \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}} \, \,}$ а также ${\ displaystyle \, \, y = {\ frac {2a} {\ sqrt [{3}] {2}}}.}$

доказательство

Из-за параллельности и четырех прямых углов в вершине следующие треугольники имеют одинаковые углы и, следовательно, похожи друг на друга:${\ Displaystyle {\ overline {AE}} \ parallel {\ overline {\ Gamma \ Delta}}}$${\ displaystyle B}$

Евклид , стихии , 1, 29:

${\ Displaystyle \ треугольник {BAE} \ сим \ треугольник {В \ Дельта \ Гамма} \ сим \ треугольник {В \ Дельта E}}$

Поскольку вершина имеет прямой угол, следующие углы совпадают: ${\ displaystyle E}$

Евклид, стихии, 1, 32:

${\ Displaystyle \ angle {\ Delta EB} = \ angle {EAB} = \ angle {\; \ Gamma \ Delta B}}$

Поскольку вершина имеет прямой угол, следующие углы также совпадают: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ angle {B \ Delta E} = \ angle {B \; \ Gamma \ Delta} = \ angle {BEA}}$

Согласно Евклиду, элементы 6, 4 пропорции следующие:

${\ displaystyle {\ overline {B \ Delta}}: {\ overline {B \ Gamma}} = {\ overline {AB}}: {\ overline {BE}} = {\ overline {BE}}: {\ overline {B \ Delta}} = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Механический метод Эратосфена

Эратосфен из Кирены изобрел (на основе теоремы Гиппократа) механический инструмент, который он описал в письме царю Птолемею как один:

Механическое устройство можно представить в виде коробки , изготовленную из дерева, бронзы или слоновой кости с тремя очень тонкими таблетками в виде одинаковых прямоугольных треугольников, которые могут быть перемещены вправо или влево , с помощью канавок. В задаче, в которой ищутся более двух средних пропорций для двух переменных, необходимое количество треугольников всегда на один больше, чем количество искомых средних пропорций. Эратосфен придумал решение удвоить куб, высеченный в камне в храме Птолемеев в Александрии.

Удвоение куба по Эратосфену (схематическая диаграмма), = длина ребра начального куба, и = длина ребра удвоенного куба, анимация в конце 10-секундной паузы.
${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b = 2a}$${\ displaystyle x}$

Механическое устройство, изображенное в абстрактной форме на диаграмме напротив - как его называет Эратосфен - показывает два параллельных луча, и они символизируют двух правителей. Между линейками есть три прямоугольных треугольника, первый фиксируется в точке, а два других направляются так, чтобы их можно было перемещать. В качестве альтернативы также возможны три прямоугольника с нарисованными диагоналями. Вертикально нарисованные треугольники имеют переменную высоту и небольшую ножку произвольно выбираемой длины (на схеме ). Длина второй переменной отображается как расстояние на слишком вертикальной линии в точке третьего треугольника . Луч (не показан) из точки сквозь прорезание врезается в линию , создает путь и, таким образом, раскрывает основную идею устройства, а именно теорему о лучах . ${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle s_ {2};}$${\ displaystyle E,}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle b = 2a = {\ overline {AE}}}$${\ displaystyle 1 {,} 5a}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle {\ overline {HQ}}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle {\ overline {HD}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle s_ {1}}$${\ displaystyle {\ overline {AK}}}$

метод

Требуется всего несколько шагов, например B. второй треугольник (синий) и третий треугольник (желтый) можно перемещать между линейками следующим образом, пока не будут найдены две средние пропорции и (см. Анимацию): ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Всегда перемещайте второй треугольник (синий) по направлению к первой точке так, чтобы его гипотенуза , прямая (красная) и вертикальная линия пересекались в этой точке . Только на следующем шаге толкайте третий треугольник (желтый) так, чтобы его гипотенуза , прямая (красная) и вертикальная линия пересекались в точке . Повторение этих шагов дает две средние пропорции и${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle {\ overline {GM '}}}$${\ displaystyle {\ overline {AK}}}$${\ displaystyle {\ overline {FM}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {HN '}}}$${\ displaystyle {\ overline {AK}}}$${\ displaystyle {\ overline {FM}}}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x = {\ overline {FB}}}$${\ displaystyle y = {\ overline {GC}}.}$

доказательство

Если два балки , или в режется, то ${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$${\ displaystyle {\ overline {EH}}}$${\ displaystyle K}$

Удвоение куба по Эратосфену (схема), доказательство

${\ displaystyle {\ overline {EK}}: {\ overline {KF}} = {\ overline {AK}}: {\ overline {KB}} = {\ overline {FK}}: {\ overline {KG}} }$

а также

${\ displaystyle {\ overline {EK}}: {\ overline {KF}} = {\ overline {AE}}: {\ overline {BF}}}$,

в то время как

${\ displaystyle {\ overline {FK}}: {\ overline {KG}} = {\ overline {BF}}: {\ overline {CG}};}$

по этой причине

${\ displaystyle {\ overline {AE}}: {\ overline {BF}} = {\ overline {BF}}: {\ overline {CG}}.}$

Похожий

${\ displaystyle {\ overline {BF}}: {\ overline {CG}} = {\ overline {CG}}: {\ overline {DH}}.}$

Таким образом, и находятся в непрерывной пропорции, как и две средние пропорции. ${\ displaystyle {\ overline {AE}}, \; {\ overline {BF}}, \; {\ overline {CG}}}$${\ displaystyle {\ overline {DH}}}$${\ displaystyle {\ overline {BF}}}$${\ displaystyle {\ overline {CG}}}$

Строительство с использованием специальных кривых

Если куб, имеющий длину ребра относительно его объема с удвоенной длиной ребра большего куба, следующее применяется для определения двух средне-пропорциональных и Гиппократа множества Хиос:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {3}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle a: x = x: y = y: 2a}$

Если исключить , результат будет: ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3},}$

из этого следует:

(1) ${\ displaystyle x = a \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}.}$

Если исключить , результат будет: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y = {\ frac {2a ^ {2}} {a \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}}},}$

из этого следует:

(2) ${\ displaystyle y = {\ frac {2a} {\ sqrt [{3}] {2}}}.}$

Из-за особой степени сложности - трехмерности, первая половина IV века до нашей эры. BC - решение проблемы с помощью кривой Archytas подробно описано ниже.

Кривая Архита

Ситуация: В две средних пропорциях были найдены.
Это характеризуется пересечением (зеленый цвет) двух кривых проникновения, которые создаются взаимодействием трех фигур: полуцилиндра с кривой Архита (красная пунктирная линия), восьмой части вращающегося тора ( антрацит ) и конического сечения. (желтый) с треугольной поверхностью среза (синий). диаметр${\ displaystyle K}$${\ displaystyle DPP'A}$${\ displaystyle b = 2a.}$

За несколько десятилетий до Архита Гиппократ Хиосский сумел удвоить куб, проследив его до проблемы построения пропорций. Архиту из Таранто удалось их теоретическое построение с помощью специальной кривой, названной в его честь. Следующие три рисунка необходимы для их визуализации или применения (см. Схему рядом):

• Полуцилиндр , стоит на полукруге с радиусом и диаметром . Высота полуцилиндра составляет прибл.${\ displaystyle ADB}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b.}$${\ displaystyle 2 {,} 5a.}$
• Восьмая часть так называемого тора вращения без «дыры» с радиусом${\ displaystyle a.}$
• Сечение конуса, взятое из конуса с радиусом и высотой , с треугольником в качестве его пересечения. Сечение конуса достигает своего максимального размера, а именно четверти общего конуса, когда треугольник охватывает угол с треугольником и, таким образом, лежит на прямоугольной поверхности полуцилиндра.${\ displaystyle DPP'A}$${\ displaystyle r = {\ overline {DP}}}$${\ displaystyle h = {\ overline {DA}}}$${\ displaystyle DP'A}$${\ displaystyle DP'A}$${\ displaystyle DPA}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$

Кривая Архита - это так называемая кривая пересечения, которая возникает, когда полуцилиндр проходит через одну восьмую вращающегося тора без «дыры». Как видно на диаграмме, четверть конуса проходит через две соседние фигуры и тем самым создает вторую кривую пересечения, которая пересекается с кривой Архитаса. ${\ displaystyle DPP''A}$

Эти две средних пропорций встречаются , когда гипотенуза в (синей) треугольной секции конуса пересекает кривой Архит в (зеленый) точке . Точка лежит на боковой поверхности полуцилиндра (на кривой Archytas), на треугольной поверхности среза конического сечения и на полукруглой поверхности среза вращающегося тора без «отверстия». ${\ displaystyle {\ overline {AP '}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Геометрическое рассмотрение

Геометрические соображения относительно двух средних пропорций (красный) и (синий)${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

Соседний рисунок и аналогичный рисунок в следующем разделе показывают геометрический подход, который Archytas использовал для описания кривой, которую он нашел, с помощью двух средних пропорций . Фигура состоит, среди прочего, из. из двух прямоугольных , подобных треугольников и каждый из которых имеет круг Thales . Полукруг, стоящий перпендикулярно основанию полуцилиндра и вращающийся вокруг точки - с двумя средними пропорциями и - имеет диаметр диаметра полуцилиндра (см. Кривую изображения Archytas).${\ displaystyle AD'K}$${\ displaystyle AIM}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ overline {AD '}},}$${\ displaystyle {\ overline {AD}}.}$

Со вставленными значениями из (1) и (2), согласно Гиппократу Хиосскому, применимо следующее:

(3) ${\ displaystyle {\ overline {AM}} = {\ overline {AB}} = a; \; \; {\ overline {AD}} = {\ overline {AD '}} = b}$

(4) ${\ Displaystyle {\ overline {AI}} = х; \; \; {\ overline {AK}} = y}$

Применяются следующие условия маршрута:

(5) ${\ displaystyle {\ overline {AD '}}: {\ overline {AM}} = b: a = 2: 1}$

(6) ${\ displaystyle {\ overline {AD '}}: {\ overline {AK}} = {\ overline {AI}}: {\ overline {AM}} = {\ overline {AK}}: {\ overline {AI} } = y: x = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Построение длины ребра сдвоенного куба

Удвоение куба с частью кривой Архита (красный);
Для наглядности тор вращения показан в разделе Curve of Archytas . Достигнутая в анимации , это соответствует геометрическому подходу Archytas, показанному на небольшом эскизе. Анимация, между 15 с и в конце 25 с перерыв. Посмотреть анимацию строительства${\ displaystyle {\ overline {AI}} = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

${\ displaystyle \ Rightarrow}$

Так называемое программное обеспечение динамической геометрии (DGS) используется для графического представления - как на соседнем рисунке .

Он начинается с рисования единичной окружности с диаметром . Последующий радиус , чтобы сократить круг в ее следовать по касательной через и расширение и пересекаются в точке А параллельно выкл сокращений диаметра в и окружности в${\ displaystyle {\ overline {AD}} = b = 2}$${\ displaystyle a = 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B.}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ overline {AB}};}$${\ displaystyle P.}$${\ displaystyle {\ overline {DP}}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle Z.}$

Затем рисуется короткая дуга окружности с радиусом, и точка определяется с произвольно выбираемым положением. После соединения точки с , это приводит к точкам пересечения на и на полукруге. Далее следует полукруг вверху, а вертикальная линия в нем дает точку пересечения на полукруге вверху Следующий полукруг вверху и вертикальную линию в в результате получится точка пересечения полукруга через Das. Затем следует возвести полуцилиндр (высота около 2,5) над полукругом . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$${\ displaystyle D '}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D '}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ overline {BZ}}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle ADB.}$${\ displaystyle {\ overline {AD '}}}$${\ displaystyle {\ overline {AD '}}}$${\ displaystyle I,}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ overline {AD '.}}}$${\ displaystyle {\ overline {BZ}}}$${\ displaystyle {\ overline {BZ}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ overline {BZ}}.}$${\ displaystyle ADB}$

Он продолжается, рисуя дугу вокруг точки с радиусом, который она врезает в продолжение края полуцилиндра, к которому ведет. Теперь точка соединена с. Линия, проведенная от точки к дуге, образует точку пересечения. Соединение с создает треугольник, конгруэнтный треугольнику. Это возможно, потому что полукруг вверху и четверть круга параллельны друг другу. Глядя на контекст, два также совпадающих треугольника и дуга вокруг, поскольку площадь представляет собой конус, общая сумма которого должна быть распознана. После соединения точек с и с двумя соответствующими прямоугольными треугольниками и, наконец, результатом${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ overline {DP}};}$${\ displaystyle P ''}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle P ''}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle DPP ''}$${\ displaystyle P '.}$${\ displaystyle P '}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle ADP}$${\ displaystyle ADP '.}$${\ displaystyle {\ overline {BZ}}}$${\ displaystyle DPP ''}$${\ displaystyle ADP}$${\ displaystyle ADP ''}$${\ displaystyle DPP ''}$${\ displaystyle D,}$${\ displaystyle {\ overline {DA}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle D '}$${\ displaystyle TIM}$${\ displaystyle ID'K.}$

Полукруг - поверхность среза не показанного Rotationstorus без "отверстия" - теперь должен быть повернут против часовой стрелки, пока не появится гипотенуза также, но по часовой стрелке, треугольника, полукруга в разрезах. Следует отметить, что линии и расположены перпендикулярно друг другу. Согласно теореме Евклида о высоте это приводит к ${\ displaystyle {\ overline {AD '}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ overline {AP '}}}$${\ displaystyle ADP '}$${\ displaystyle {\ overline {AD '}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ overline {MT}}}$${\ displaystyle {\ overline {BZ}}}$

${\ displaystyle {\ overline {MT}} ^ {2} = {\ overline {ZT}} \ cdot {\ overline {TB}} = {\ overline {AT}} \ cdot {\ overline {TI}}.}$

Отсюда следует, что угол в этом положении такой же . Эти четыре треугольника , и , и , следовательно , похожи друг на друга. Отрегулированное таким образом расстояние соответствует искомой длине ребра удвоенного куба, см. Выше. ${\ displaystyle {\ overline {MT}} ^ {2} = {\ overline {AT}} \ cdot {\ overline {TI}}}$${\ displaystyle \ angle {AMI}}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle AKD '}$${\ displaystyle TIM}$${\ displaystyle ATM}$${\ displaystyle AIM}$${\ displaystyle {\ overline {AI}}}$${\ Displaystyle х = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Во время вращения полукруга точка в треугольнике определяет (красную) кривую Архита на поверхности полуцилиндра. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle AD'K}$${\ displaystyle {\ overline {AD '}}}$

• Для точной точки остановки (точка пересечения гипотенузы треугольника ) анимированного поворота полукруга на расстоянии определяется с помощью DGS.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle {\ overline {AP '}}}$${\ displaystyle ADP '}$${\ displaystyle {\ overline {AD '}}}$${\ displaystyle {\ overline {AI}} = {\ sqrt [{3}] {2}}}$

С помощью парабол

Menaichmos: точка пересечения двух парабол обеспечивает две средние пропорции и, таким образом, также и  и ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle {\ overline {FD}}}$${\ displaystyle {\ overline {BD}},}$
${\ displaystyle x: a = y: x = b: y = {\ sqrt [{3}] {2}}}$
${\ Displaystyle -2p \ cdot (-1) = 2p = b}$${\ Displaystyle -2q \ cdot (-1) = 2q = а.}$

Менахмос решил проблему построения двух требуемых средних пропорций как пересечение двух конических сечений (на основе преобразования задачи Гиппократом).

Иоганн Кристоф Штурм пишет об этом :
( типографически нормализовано )

Циссоида Диокла

Изображение 1: циссоида Диокла, анимация

Диокл решил проблему двух средних пропорций с помощью кривой, названной в его честь, также известной как кисоиды Диокла .

Если обозначить две пропорции с помощью и, то в результате будет решаемая конструкционная проблема «двойная пропорция между a и 2a».${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w,}$

${\ displaystyle a: v = v: w = w: 2a}$

Это длина стороны, которую вы ищете (отмечена на рисунке 2 ), она применяется ${\ displaystyle v}$${\ Displaystyle а \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}}$

${\ Displaystyle v ^ {3} = a ^ {3} (v: a) ^ {3} = a ^ {3} (v: a) (w: v) (2a: w) = a ^ {3} (2a: a) = 2a ^ {3}.}$

Предварительное рассмотрение

Рис.2: Удвоение куба с помощью циссоидов Диокла

В декартовы координаты в cissoids являются г. Б.

${\ displaystyle x ^ {3} + xy ^ {2} -2ay ^ {2} = 0.}$

Конструкция упрощается, если значение множителя в декартовых координатах зиссоидов равно длине ребра исходного куба . Требуется только та часть графика циссоидов, которая находится в 1-м квадранте декартовой системы координат. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

метод

Пусть это будет начало координат, центр полукруга с любым радиусом и диаметром. ${\ Displaystyle P = (0,0)}$${\ displaystyle M}$${\ Displaystyle г = а}$${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$

Для того, чтобы определить точку на cissoid (см. Рис.1), вам нужны две параллели и которые перпендикулярны к диаметру и на одинаковом расстоянии от центра . После продолжения линии за ее пределы , полупрямая, проведенная от сквозной до продолжения, создает пересечение на циссоиде.${\ displaystyle {\ overline {DE}}}$${\ displaystyle {\ overline {FG}},}$${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ overline {DE}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle Q.}$

Непрерывное изменение расстояния между двумя параллелями и друг другом генерирует график циссоидов в 1-м квадранте с помощью перемещаемой точки в начале координат . ${\ displaystyle {\ overline {DE}}}$${\ displaystyle {\ overline {FG}}}$${\ displaystyle Q,}$${\ displaystyle P}$

Он продолжается (см. Рис. 2) с тем, что на диаметре перпендикулярное расстояние, имеющее длину, равную соединению точки с пересекается график цисоида в конечном соединении точки с поставками с запрошенной страницей удвоенного куба. ${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$${\ displaystyle {\ overline {МБ}}}$${\ displaystyle 2a.}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ overline {MV}}}$${\ Displaystyle v = а \ cdot {\ sqrt [{3}] {2}}}$

Линия, проведенная параллельно пунктирной линии, используется только в качестве доказательства.${\ displaystyle {\ overline {МБ}}}$${\ displaystyle {\ overline {CN}}}$

Итерационное построение аппроксимации кубического корня ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$

По причинам, уже описанным выше, результат кубического корня не может быть точно представлен с помощью циркуля и линейки с конечными шагами построения. ${\ displaystyle 2}$

Метод Ньютона позволяет получить очень хорошие приближения . В дальнейшем он используется для представления реального нуля в функции удвоения кубы

Функция выдает точное значение , но не может быть построена только с помощью циркуля и линейки.${\ Displaystyle е (х) = х ^ {3} -2}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {3} -2}$

может быть достигнуто как приближение с помощью нескольких итерационных шагов.

Может использоваться как начальное значение . Шаги итерации алгоритма проходят через ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$

${\ displaystyle x_ {n + 1} = x_ {n} - {\ frac {f (x_ {n})} {f '(x_ {n})}} = x_ {n} - {\ frac {x_ { n} ^ {3} -2} {3 \ x_ {n} ^ {2}}} = {\ frac {2 \ x_ {n} ^ {3} +2} {3 \ x_ {n} ^ {2 }}}}$

Определяются.

Поскольку выражение содержит только основные арифметические операции , результат каждого шага итерации может быть построен как сегмент с циркулем и линейкой . ${\ displaystyle x_ {n + 1}}$

Расчет итерационных шагов

В формуле

${\ displaystyle x_ {n + 1} = {\ frac {2 \ x_ {n} ^ {3} +2} {3 \ x_ {n} ^ {2}}}}$

член в правой части уравнения дает результат десятого шага итерации. Шаг итерации состоит из шести алгебраических операций , из которых пятая всегда является числителем, а вторая - знаменателем неправильной дроби . ${\ displaystyle n-}$

${\ Displaystyle x_ {n} ^ {2}, \ 3 \ x_ {n} ^ {2}, \ x_ {n} ^ {3}, \ 2 \ x_ {n} ^ {3}, \ 2 \ x_ {n} ^ {3} +2 \; \ Rightarrow \; \; {\ frac {2 \ x_ {n} ^ {3} +2} {3 \ x_ {n} ^ {2}}} = x_ { п + 1}}$

1-й шаг итерации , пять операций имеют, например, Б. использованное значение для${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle n = 0,}$${\ displaystyle x_ {0} ^ {2},}$${\ displaystyle x_ {n} = x_ {0} = 1}$

${\ Displaystyle x_ {0} ^ {2} = 1, \ 3 \ x_ {0} ^ {2} = 3, \ x_ {0} ^ {3} = 1, \ 2 \ x_ {0} ^ {3 } = 2, \ 2 \ x_ {0} ^ {3} + 2 = 4 \; \; \ Rightarrow}$

${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {2 \ x_ {0} ^ {3} +2} {3 \ x_ {0} ^ {2}}} = {\ frac {4} {3}}}$

Уточнение вычисленных значений: соответствует 1-му шагу итерации с и 3-му шагу итерации с . 2-й шаг итерации с , который не показан, уже очень близок
${\ Displaystyle P_ {1} = (x_ {1} | y_ {1})}$${\ displaystyle x_ {1} = {\ tfrac {4} {3}}}$
${\ Displaystyle P_ {3} = (x_ {3} | y_ {3})}$${\ displaystyle x_ {3} = {\ tfrac {1126819} {894348}}.}$
${\ displaystyle x_ {2} = 1 {,} 263 {\ overline {8}}}$${\ displaystyle P_ {3}.}$

2-й шаг итерации , пять операций имеют, например, Б. использованное значение для${\ displaystyle x_ {2}}$${\ Displaystyle п = 1,}$${\ displaystyle x_ {1} ^ {2},}$${\ displaystyle x_ {n} = x_ {1} = {\ frac {4} {3}}}$

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} = {\ tfrac {16} {9}}, \ 3 \ x_ {1} ^ {2} = {\ tfrac {16} {3}}, \ x_ {1 } ^ {3} = {\ tfrac {64} {27}}, \ 2 \ x_ {1} ^ {3} = {\ tfrac {128} {27}}, \ 2 \ x_ {1} ^ {3 } +2 = {\ tfrac {182} {27}} \; \; \ Rightarrow}$

${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {2 \ x_ {1} ^ {3} +2} {3 \ x_ {1} ^ {2}}} = {\ tfrac {\ tfrac {182} {27 }} {\ tfrac {16} {3}}}}$

3-й шаг итерации , пять операций имеют, например, Б. использованное значение для${\ displaystyle x_ {3}}$${\ Displaystyle п = 2,}$${\ displaystyle x_ {2} ^ {2},}$${\ displaystyle x_ {n} = x_ {2} = {\ frac {91} {72}}}$

${\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {2 \ x_ {2} ^ {3} +2} {3 \ x_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {1126819} {894348}} = 1 {,} 2599334934 \ ldots}$

Этот процесс можно повторять сколько угодно раз. Имеется квадратичная скорость сходимости , что делает метод сравнительно эффективным.

Строительство с компасом и линейкой

Уже после двух шагов итерации эффективность применения метода Ньютона становится очевидной; приблизительное значение, достигнутое до этой точки , теперь является конструктивным продолжением до тех пор, пока на третьем шаге итерации не будет достигнуто приблизительное значение . ${\ displaystyle x_ {2} = 1 {,} 263 {\ overline {8}}.}$${\ displaystyle x_ {3}}$

Сначала неправильная дробь переформулируется в ( неправильную ) десятичную дробь, а затем отображается в виде точной длины на числовой прямой (рис. 1). Это з. Б. Метод построения десятичного числа с помощью теоремы о 3-м луче . Из-за пропорций это выгодно показать на собственном снимке. ${\ displaystyle {\ tfrac {91} {72}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {9 {,} 1} {7 {,} 2}}}$${\ displaystyle x_ {2}}$